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1、大學(xué)物理第三章 課后習(xí)題答案 3-1 半徑為R、質(zhì)量為M的均勻薄圓盤(pán)上，挖去一個(gè)直徑為R的圓孔，孔的中心在處，求所剩部分對(duì)通過(guò)原圓盤(pán)中心且與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 分析：用補(bǔ)償法（負(fù)質(zhì)量法）求解，由平行軸定理求其挖去部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，用原圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減去挖去部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即得。注意對(duì)同一軸而言。 解：沒(méi)挖去前大圓對(duì)通過(guò)原圓盤(pán)中心且與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： ① 由平行軸定理得被挖去部分對(duì)通過(guò)原圓盤(pán)中心且與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： ② 由①②式得所剩部分對(duì)通過(guò)原圓盤(pán)中心且與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 3-2 如題圖3-2所示，

2、一根均勻細(xì)鐵絲，質(zhì)量為M，長(zhǎng)度為，在其中點(diǎn)O處彎成角，放在平面內(nèi)，求鐵絲對(duì)軸、軸、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 分析：取微元，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義求積分可得 解：（1）對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 題圖3-2 （2）對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： （3）對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 3-3 電風(fēng)扇開(kāi)啟電源后經(jīng)過(guò)5s達(dá)到額定轉(zhuǎn)速，此時(shí)角速度為每秒5轉(zhuǎn)，關(guān)閉電源后經(jīng)過(guò)風(fēng)扇停止轉(zhuǎn)動(dòng)，已知風(fēng)扇轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，且摩擦力矩和電磁力矩均為常量，求電機(jī)的電磁力矩。 分析：，為常量，開(kāi)啟電源5s內(nèi)是勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，關(guān)閉電源16s內(nèi)是勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)，可得相應(yīng)加速度，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律求得電磁力矩M。 解：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：，即 3-4 飛

3、輪的質(zhì)量為60kg，直徑為，轉(zhuǎn)速為，現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動(dòng)，求制動(dòng)力F，假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)，飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上，尺寸如題圖3-4所示。 分析：分別考慮兩個(gè)研究對(duì)象：閘瓦和桿。對(duì)象閘瓦對(duì)飛輪的摩擦力f對(duì)O點(diǎn)的力矩使飛輪逐漸停止轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)飛由輪轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程，因摩擦系數(shù)是定值，則飛輪做勻角加速度運(yùn)動(dòng)，由轉(zhuǎn)速求角加速度。對(duì)象桿受的合力矩為零。 題圖3-4 解：設(shè)閘瓦對(duì)飛輪的壓力為N，摩擦力為f，力矩為M， 飛輪半徑為R,則依題意得， ① ② ③ ④ ⑤ 解：①②③④⑤式得 3-5 一質(zhì)量為的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上，如題圖3

4、-5所示．軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為，整個(gè)裝置架在光滑的固定軸承之上．當(dāng)物體從靜止釋放后，在時(shí)間內(nèi)下降了一段距離．試求整個(gè)輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(用表示)． 分析：隔離物體，分別畫(huà)出輪和物體的受力圖，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律和牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解。 題圖3-5 解：設(shè)繩子對(duì)物體(或繩子對(duì)輪軸)的拉力為T(mén)， 則根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律得： ① b ② 由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系有： ③ 由①、②、③式解得： ④ 題圖3-5 又根據(jù)已知條件 ，

5、 ⑤ 將⑤式代入④式得： 3-6 一軸承光滑的定滑輪，質(zhì)量為半徑為一根不能伸長(zhǎng)的輕繩，一端固定在定滑輪上，另一端系有一質(zhì)量為的物體，如題圖3-6所示．已知定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，其初角速度 方向垂直紙面向里．求：(1) 定滑輪的角加速度的大小和方向； (2) 定滑輪的角速度變化到時(shí)，物體上升的高度；(3) 當(dāng)物體回到原來(lái)位置時(shí)，定滑輪的角速度的大小和方向 分析：隔離體受力分析，對(duì)平動(dòng)物體由牛頓第二定律列方程， 對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體由轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程。 解：(1) ∵ 題圖3-6

6、∴ 方向垂直紙面向外 (2) ∵ 當(dāng) 時(shí)， 圖3-6 物體上升的高度 (3) 方向垂直紙面向外. 3-7 如題圖3-7所示，質(zhì)量為m的物體與繞在質(zhì)量為M的定滑輪上的輕繩相連，設(shè)定滑輪質(zhì)量M=2m，半徑R，轉(zhuǎn)軸光滑，設(shè)，求：（1）下落速度與時(shí)間t的關(guān)系；（2）下落的距離；（3）繩中的張力T。 分析：對(duì)質(zhì)量為m物體應(yīng)用牛頓第二定律、對(duì)滑輪應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程。 解：(1)設(shè)物體m與滑輪間的拉力大小為T(mén)，則 題圖3-7 ① ② ③

7、 ④ 解：①②③式得，并代入④式得 （2）設(shè)物體下落的距離為s，則 （3）由（1）的②式得， 3-8 如題圖3-8所示，一個(gè)組合滑輪由兩個(gè)勻質(zhì)的圓盤(pán)固接而成，大盤(pán)質(zhì)量，半徑，小盤(pán)質(zhì)量，半徑。兩盤(pán)邊緣上分別繞有細(xì)繩，細(xì)繩的下端各懸質(zhì)量的物體，此物體由靜止釋放，求：兩物體的加速度大小及方向。 分析：分別對(duì)物體應(yīng)用牛頓第二定律，對(duì)滑輪應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 解：設(shè)物體的加速度大小分別為與滑輪的拉力分別為 題圖3-8 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 把數(shù)據(jù)代入，解上述各式得 方向向上 方向向下 3-9 如

8、題圖3-9所示，一傾角為30的光滑斜面固定在水平面上，其上裝有一個(gè)定滑輪，若一根輕繩跨過(guò)它，兩端分別與質(zhì)量都為m的物體1和物體2相連。 （1）若不考慮滑輪的質(zhì)量，求物體1的加速度。 （2）若滑輪半徑為r，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用m和r表示為（k是已知常量），繩子與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，再求物體1的加速度。 分析：（1）對(duì)兩物體分別應(yīng)用牛頓第二定律列方程。 （2）兩物體分別應(yīng)用牛頓第二定律、對(duì)滑輪應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程。 解：設(shè)物體1、物體2與滑輪間的拉力分別為、它們對(duì)地的加速度為a。 （1）若不考慮滑輪的質(zhì)量，則物體1、物體2與滑輪間的拉力、相等，記為T(mén)。則對(duì)1、2兩物體分別應(yīng)用牛頓第二定

9、律得， 題圖3-9 解上兩式得：，方向豎直向下。 （2）若考慮滑輪的質(zhì)量，則物體1、物體2與滑輪間的 拉力、不相等。則對(duì)1、2兩物體分別應(yīng)用牛頓第 二定律，和對(duì)滑輪應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 ① ② ③ ④ ⑤ 解上述各式得：，方向豎直向下。 3-10一飛輪直徑為0.3m，質(zhì)量為5.0kg，邊緣繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻地繞中心軸加速，經(jīng) 0.5s轉(zhuǎn)速達(dá)每秒10轉(zhuǎn)，假定飛輪可看作實(shí)心圓柱體，求：（1）飛輪的角加速度及在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)；（2）拉力及拉力所作的功；（3）從拉動(dòng)后時(shí)飛輪的角速度及輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。 分析：利用轉(zhuǎn)動(dòng)

10、定律，力矩作的功定義，線量與角量的關(guān)系求解。 解：（1）角加速度為： 轉(zhuǎn)過(guò)的角度為： 轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為：圈 （2）由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 力矩做的功為： （3）角速度為： 邊緣一點(diǎn)的線速度為： 邊緣一點(diǎn)的法向加速度為： 邊緣一點(diǎn)的切向加速度為： 3-11 一質(zhì)量為M，長(zhǎng)為的勻質(zhì)細(xì)桿，一端固接一質(zhì)量為m的小球，可繞桿的另一端無(wú)摩擦地在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)將小球從水平位置A向下拋射，使球恰好通過(guò)最高點(diǎn)C，如題圖3-11所示。求：（1）下拋初速度；（2）在最低點(diǎn)B時(shí)，細(xì)桿對(duì)球的作用力。 分析：由機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、角線量關(guān)系求解。 解：（1）如圖3-11，取向下拋點(diǎn)作勢(shì)能零點(diǎn)

11、，由機(jī)械能守恒定律得， 題圖3-11 ① J= ② ③ 解①②③得， （2）取最低點(diǎn)作勢(shì)能零點(diǎn)， 由機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律得， ① ② ③ ④ 解：①②③④得， 3-12 物體質(zhì)量為時(shí)位于，如一恒力作用在物體上，求3s后，（1）物體動(dòng)量的變化；（2）相對(duì)z軸角動(dòng)量的變化。 分析：寫(xiě)出的表達(dá)式及力f對(duì)Z軸的力矩。由動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理求解。 解：（1）由動(dòng)量定理得，動(dòng)量的增量為： （2）由角動(dòng)量定理得，角動(dòng)量的增量為

12、： ① 而 ② ③ ④ 把③④代入②解得： ⑤ 把⑤代入①解得： 3-13 水平面內(nèi)有一靜止的長(zhǎng)為、質(zhì)量為的細(xì)棒，可繞通過(guò)棒一末端的固定點(diǎn)在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。今有一質(zhì)量為、速率為的子彈在水平面內(nèi)沿棒的垂直方向射向棒的中點(diǎn)，子彈穿出時(shí)速率減為，當(dāng)棒轉(zhuǎn)動(dòng)后，設(shè)棒上單位長(zhǎng)度受到的阻力正比于該點(diǎn)的速率（比例系數(shù)為k）試求：（1）子彈穿出時(shí)，棒的角速度為多少？（2）當(dāng)棒以轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，受到的阻力矩為多大？（3）棒從變?yōu)闀r(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間為多少？ 分析：把子彈與棒看作一個(gè)系統(tǒng)，子彈擊穿棒的過(guò)程中，轉(zhuǎn)軸處的作用力的力矩為零，所以擊穿前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，可求待擊穿瞬間棒的角速度。棒

13、轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，對(duì)棒劃微元計(jì)算元阻力矩，積分可得總阻力矩，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律或角動(dòng)量定理可求得所需時(shí)間。 解：（1）以子彈和棒組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。取子彈和棒碰撞中間的任一狀態(tài)分析受力，子彈與棒之間的碰撞力、是內(nèi)力。一對(duì)相互作用力對(duì)同一轉(zhuǎn)軸來(lái)說(shuō)，其力矩之和為零。因此，可以認(rèn)為棒和子彈組成的系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，則系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒。 解上述兩式得： （2）設(shè)在離轉(zhuǎn)軸距離為得取一微元，則該微元所受的阻力為： 該微元所受的阻力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為： 則細(xì)棒所受到的總阻力矩為： （3）由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得， 即上式可化為： 對(duì)上式兩邊分別積分得： 解上式積分得： 把代

14、入上式得： 3-14兩滑冰運(yùn)動(dòng)員，質(zhì)量分別為，，它們的速率，在相距1.5m的兩平行線上相向而行，當(dāng)兩人最接近時(shí)，便拉起手來(lái)，開(kāi)始繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)并保持兩人間的距離1.5m不變。求：（1）系統(tǒng)總的角動(dòng)量；（2）系統(tǒng)一起繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角速度；（3）兩人拉手前后的總動(dòng)能，這一過(guò)程中機(jī)械能是否守恒，為什么？ 分析：利用系統(tǒng)質(zhì)心公式，兩人組成系統(tǒng)前后角動(dòng)量守恒和動(dòng)能公式求解。 解：（1）設(shè)兩人相距最近時(shí)以運(yùn)動(dòng)員A作原點(diǎn)，由質(zhì)心公式得，兩運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)心為： 兩人組成的系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心的總的角動(dòng)量為： （2）兩人拉手過(guò)程中，所受力對(duì)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的力矩之和為零，則兩人組成系統(tǒng)前后角動(dòng)量守恒。 解上式

15、得： （3）兩人拉手前的動(dòng)能為： 兩人拉手后的動(dòng)能為： 因此，系統(tǒng)前后的機(jī)械能不守恒。我們可以把兩人拉手的過(guò)程看作完全非彈性碰撞，因此系統(tǒng)前后機(jī)械能不守恒。 3-15 如題圖3-15所示，一長(zhǎng)為、質(zhì)量為M的勻質(zhì)細(xì)棒，可繞棒中點(diǎn)的水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)棒靜止在水平位置，一質(zhì)量為m的小球以速度垂直下落在棒的端點(diǎn)，設(shè)小球與棒作彈性碰撞，求碰撞后小球的反彈速度及棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度各為多少？ 分析：以小球和棒組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。取小球和棒碰撞中間的任一狀態(tài)分析受力，棒受的重力和軸對(duì)棒的支撐力N對(duì)O軸的力矩均為零。小球雖受重力mg作用，但比起碰撞時(shí)小球與棒之間的碰撞力、而言，可以忽

16、略不計(jì)。又、是內(nèi)力，一對(duì)相互作用力對(duì)同一轉(zhuǎn)軸來(lái)說(shuō)，其力矩之和為零。因此，可以認(rèn)為棒和小球組成的系統(tǒng)對(duì)O軸的合外力矩為零，則系統(tǒng)對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒。 題圖3-15 解：取垂直紙面向里為角動(dòng)量L正向，則系統(tǒng)初態(tài)角動(dòng)量為，終態(tài)角動(dòng)量為（小棒）和（小球），有角動(dòng)量守恒定律得 ① 因?yàn)閺椥耘鲎?，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可得 ② 又 ③ 聯(lián)立式①，②，③解得 3-16 一長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)棒，如題圖3-16所示，可繞水平軸在豎直面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，若軸光滑，今使棒從水平位置自由下擺。求：（1）在水平位置和豎直位置棒的角加速度；（2）棒轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)的角速度。 分析：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律求角加速度，由在轉(zhuǎn)動(dòng)

17、過(guò)程中機(jī)械能守恒求角速度。 解：（1）有剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得， 題圖3-16 細(xì)棒在水平位置的角加速度為： 細(xì)棒在豎直位置的角加速度為： （2）細(xì)棒在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得， 解上述兩式得： 3-17 彈簧、定滑輪和物體如題圖3-17所示放置，彈簧勁度系數(shù)k為；物體的質(zhì)量?；喓洼p繩間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，開(kāi)始時(shí)用手托住物體，彈簧無(wú)伸長(zhǎng)。求： （1）若不考慮滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，手移開(kāi)后，彈簧伸長(zhǎng)多少時(shí)，物體處于受力平衡狀態(tài)及此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能； 題圖3-17 （2）設(shè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑，手移開(kāi)后，物體下落0.4m時(shí)，它的速度為多大？ 分析：（1）不考慮滑輪

18、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由物體受力平衡求伸長(zhǎng)量x， 再求彈性勢(shì)能。 （2）若考慮滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則彈簧、滑輪、物體和地球 組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒 解：（1）若不考慮滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)了x距離 時(shí)物體處于受力平衡狀態(tài)， 則： 此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為： （2）若考慮滑輪得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，設(shè)物體下落的距離為h時(shí)，它的速度為v，滑輪的角速度為，則由機(jī)械能守恒定律得， 把數(shù)據(jù)代入上述兩式得， 解上述兩式得： 3-18一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的圓盤(pán)繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，起初角速度為．設(shè)它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度成正比，即(k為正的常數(shù))，求圓盤(pán)的角速度從變?yōu)闀r(shí)所需的時(shí)間． 分析：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律及角加速度的定

19、義，對(duì)角速度積分可求解。 解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律： ∴ 兩邊積分： 得 3-19 質(zhì)量為的子彈，以速度水平射入放在光滑水平面上質(zhì)量為、半徑為R的圓盤(pán)邊緣，并留在該處，的方向與射入處的半徑垂直，圓盤(pán)盤(pán)心有一豎直的光滑固定軸，如所示，試求子彈射入后圓盤(pán)的角速度。 分析：在子彈射入圓盤(pán)的過(guò)程中，子彈和圓盤(pán)組成的系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量和力矩為零，因此對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒。 解：設(shè)子彈射入后圓盤(pán)的角速度為，則由角動(dòng)量守恒定律得， 題圖3-19 解上式得： 3-20一均質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)，可繞通過(guò)一端的水平光滑軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，如

20、題圖3-20所示。開(kāi)始時(shí)桿處于鉛垂位置，今有一子彈沿水平方向以的速度射入細(xì)桿。設(shè)入射點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為 ，子彈的質(zhì)量為細(xì)桿質(zhì)量的。試求：（1）子彈和細(xì)桿開(kāi)始共同運(yùn)動(dòng)的角速度。（2）子彈和細(xì)桿共同擺動(dòng)能到達(dá)的最大角度。 分析：子彈射入細(xì)桿過(guò)程中，子彈和細(xì)桿組成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒；細(xì)桿擺動(dòng)時(shí)，機(jī)械能守恒。 解（1）子彈打進(jìn)桿的過(guò)程中子彈和桿組成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒， 設(shè)子彈開(kāi)始時(shí)的角速度為，彈和桿一起共同運(yùn)動(dòng)的角速度 為，則由角動(dòng)量守恒定律得: ① O 題圖3-20 又 ② ③ ④ 把②③④式代入①式并解得： ⑤ （2）設(shè)子彈與桿共同擺動(dòng)能達(dá)到最大角度為角， 在擺動(dòng)的過(guò)程中桿和子彈及地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒， 則由機(jī)械能守恒定律得， ⑥ 把②③⑤式及，L=1代入⑥式解得：。即