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1、公式 1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a – b ) 2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 3. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 4. 等差數(shù)列公式 Sn = a1+an2n = a1n + n(n-1)2d n = an-a1d + 1 5. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2

2、– ab + b2 ) 6. 立方差公式: a3 – b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 ) 7. 奇數(shù)和公式: 1 + 3 + 5 + …… + (2n-1) = n2 8. 偶數(shù)和公式: 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n(n+1) 9. 多數(shù)平方和公式: 12 + 22 + 32 + …… + n2 = nn+1(2n+1)6 10. 多數(shù)立方和公式: 13 + 23 + 33 + …… + n3 = (1 + 2 + …… + n)2 11. 特

3、種公式: 12 + 23 + 34 + …… + n(n+1) = 12 + 22 + 32 + …… + n2 + 1 + 2 + 3 + …… + n =13 n(n+1)(n+2) 與因數(shù)相關(guān)的知識 1. 因數(shù)個(gè)數(shù)：分解質(zhì)因數(shù)后，所有指數(shù)加1后的乘積。 2. 因數(shù)和：設(shè)A＝2a3b5c 那么因數(shù)和＝（20+21+…+2a）（30+31+…+3b）（50+51+…+5c） 3. 因數(shù)積：設(shè)A＝2a3b5c

4、那么因數(shù)積＝A因數(shù)個(gè)數(shù)/2(完全平方數(shù)除外) 4. 因數(shù)倒數(shù)和：設(shè)A＝2a3b5c 那么 1a + 1b + 1c = 因數(shù)和A 17 57 1 37 循環(huán)小數(shù) 7 4 7： 17＝0.142857 27＝0.285714 5 47 8 27 2 37＝0.428571 67 47＝0.571428 57＝0.714285 513 1213 1013 913 413 313 213 113 67＝0.857142 13： 113＝0.076923 21

5、3＝0.153846 8 3 5 1 6 4 3 2 9 6 7 0 313＝0.230769 513＝0.384615 413＝0.307692 613＝0.461538 713 1113 813 813 913＝0.692307 713＝0.538461 1013＝0.769230 813＝0.615384 1213＝0.923076 1113＝0.846153 排列組合進(jìn)階 ※ 排列是先選再排，組合是只選不排。 Cnm=Cnn-m(n里選m個(gè)的數(shù)量和n里(n-

6、m)個(gè)不選的數(shù)量是一樣的) Cn0=Cnn＝1（一個(gè)不選和全部都選只有一種情況） Cn0+Cn1+Cn2+……+Cnn=2n(每個(gè)元素有選中和不選中兩種情況) 常用方法： 1. 優(yōu)限法：找出特殊的情況，先把特殊的情況分組（有可能需要細(xì)分，如0，2，4又分為0和2，4），再計(jì)算其他情況 2. 捆綁法：相鄰問題，直接捆在一起，算一個(gè)，再與其他的排，注意捆在一起包內(nèi)的，也 要排序，然后兩個(gè)數(shù)乘積即可。 3. 插空法：求不相鄰問題，那就把他們?nèi)猿鋈?，先排剩下的，排完，再插空，查出多少個(gè) 空位再選多少個(gè)元素去插空即可。 4. 大除法：先把所有的元素排列數(shù)量求出來，再找出限定

7、條件的元素單獨(dú)排一排，并找到 限定條件后占全部限定元素排列的比率，再與所有排列數(shù)量相乘即可。 5. 插板法：都變?yōu)椤爸辽僖粋€(gè)”的情況，再查空位，插板，用C計(jì)算即可。 6. 排除法：正面求解困難，則利用反向求解，再用全部減去反向，可得正向解。 余數(shù) a b = m ......n (0≤n＜b) 推論1： m為(a b)的整數(shù)部分,而n為(a b)的小數(shù)部分的b倍。 推論2： 當(dāng)a、b同時(shí)擴(kuò)大k倍，則商值m不變，余數(shù)n擴(kuò)大k倍。 推論3： （a, b）= （b, r） 最大公因數(shù)相等，輾轉(zhuǎn)相除求最大

8、公因。 余數(shù)性質(zhì)： 1. 周期性。 2. 余數(shù)的和等于和的余數(shù)。 3 余數(shù)的差等于差的余數(shù)。 虞姬每周拿著魚叉去魚河抓魚。 4. 余數(shù)的積等于積的余數(shù)。 物不知數(shù)（中國剩余定理） 1. 減同余：如果一個(gè)數(shù)除以不同的數(shù)余數(shù)相同，則只需求出除數(shù)的最小公倍數(shù)，再加上余數(shù)，即為最小的被除數(shù)。 例：A3余1， A5余1，問A最小多少？ 解：3和5的最小公倍數(shù)為15，15+1＝16，A最小值為16. 2. 加同補(bǔ)：如果一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，余數(shù)分別與除數(shù)互補(bǔ)，則只需求出除數(shù)的最小公倍數(shù)，再減去補(bǔ)數(shù)，即為最小的被除數(shù)。 例：A7余6 A6

9、余5， A5余4， A4余3，求A最小多少？ 解：余數(shù)與除數(shù)互補(bǔ)，[7，6，5，4]＝420，420－1＝419，A最小為419. 3. 試數(shù)法：先找第一個(gè)式子滿足的數(shù)，再套用第二個(gè)式子，求解。 例：A7余5 A6余3，求A最小多少？ 解：試第一項(xiàng)滿足的數(shù)：5，12，19，26，33，40 分別套用第二式，發(fā)現(xiàn)33滿足條件，所以A最小為33，通式為33+42K。 4. 逐級滿足法：用第一個(gè)式子設(shè)商值為K，然后求得被除數(shù)，代入二式，求K，即為最小的被除數(shù)。 例：A7余5 A6余3，求A最小多少？ 解：設(shè)A7

10、＝K余5 A=7K+5代入第二式中，得，（7K+5）6余3，得7K6余4 當(dāng)K＝4時(shí)，滿足。即A=7K+5＝33，通式為A=33+42K 同余 定義：對于自然數(shù)A、B，除以相同的數(shù)m，所得的余數(shù)也相同，則稱A、B 對于模m同余。表示為 A≡B（mod m）讀作：“A同余于B，模m ” 推論1：若A＞B，Am＝X…….n Bm＝Y(jié)…….n 那么，A-B＝（X-Y）m; m能整除A、B的差, m∣(A-B). 推論２：若A≡B（mod m），B≡C（mod m） 　　　　那么，A≡C（m

11、od m）； 推論３：若A≡B（mod m），C≡D（mod m） 　　　　那么，（AC）≡（BD）（mod m）；AC≡BD（mod m） 推論4： 若A≡B（mod m），那么An≡Bn（mod m） 分?jǐn)?shù)比較大小 手段一：十字相乘法 ba dc baca dacc bc ad 即bc代表左邊，ad代表右邊。 手段二：作差 A－B＞0 A＞B A－B＜0 A＜B 手段三：作商 AB＞1 A＞B AB＜1

12、 A＜B 手段四：取倒數(shù) 1A＞1B A＜B 1A＜1B A＞B 手段五：化小數(shù) 手段六：基準(zhǔn)法 真分?jǐn)?shù)：當(dāng)分子與分母差一定時(shí)，分母越大，值越大 假分?jǐn)?shù)：當(dāng)分子與分母差一定時(shí)，分母越大，值越小 在1013，1417之間比較大小，因分子與分母差都為3，且是真分?jǐn)?shù)，則1417＞1013 在1310，1714之間比較大小，因分子與分母差都為3，且是假分?jǐn)?shù)，則1310＞1714 手段七：通分差法（將分子分母變?yōu)椴钜欢ǎ儆檬侄瘟袛啻笮。? 在56，1419之間比較

13、大小，先將56變?yōu)?530，分子與分母差都為5，真分?jǐn)?shù)，則56＞1419 手段八：糖水法 （糖水的甜度＝糖糖+水） 模型一：ba＜b+ma+m (在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解為通分差) 模型二：ba＜b+da+c＜dc (糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之間) 模型三：ba=mbma＜mb+ndma+nc＜ndnc=dc ba＜mb+ndma+nc＜dc 有趣的巧數(shù) 1. 33……333……3＝11……1088……89 n個(gè)3 n個(gè)3 n－1個(gè)1 n－1個(gè)8 推論：

14、66666666＝44435556，99999999＝99980001，33336666＝22217778 33339999＝33326667，66669999＝66653334 2. 33……333……34＝11……122……2 n個(gè)3 n－1個(gè)3 n個(gè)1 n個(gè)2 推論：66663334＝22224444，99993334＝33336666 3. 111＝337 10001＝7337 2007＝32223 999＝2737

15、10101＝371337 2008＝23251 11111＝27141 1995＝35719 2015＝51331 111111＝37111337 1998＝23337 2016＝2537 4. 頭同尾和10：兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如首位相同，末位加和為10，則得數(shù)四位數(shù)中前兩位為首位與首位加1的乘數(shù)，末兩位為尾數(shù)相乘的乘數(shù)。 如：5357＝3021，8486＝7224，3931＝1209…… 5. 完全平方數(shù)口算：找到接近5與0的數(shù)再利用平方差公式計(jì)算 如：782＝802-（802－782）＝6400-（

16、80+78）2＝6400-316＝6084 762＝752+（762－752）＝5625+（76+75）＝5625+151＝5776 6. 1234567898+9＝987654321 7. M99……9的數(shù)字和為9K.（其中M＜99……9） K個(gè)9 8. （13 + 17 + 115）（17 + 115 + 123）－（13 + 17 + 115 + 123）（17 + 115）＝13123 兩項(xiàng)乘積－兩項(xiàng)乘積問題：把最長的算式看作小龍，則原式為： （有頭無尾小龍）（無頭有尾小龍）－小龍（無頭無尾小龍）

17、則結(jié)果為頭尾相乘。 9. 12 + 23 +……+ n(n+1) ＝13nn+1(n+2) 1a1 + 2a2 +……+ nan ＝16n(n+1)(2an+a1),a1,a2……an為等差數(shù)列 分?jǐn)?shù)的分解 設(shè) 1A ＝ 1A+m + 1A+n ， 則得出：1A ＝ 1A+m + 1A+n ＝ 2A+m+nA+m（A+n) 所以：（A+m）(A+n)＝A(2A+m+n)，即A2+(m+n)A+mn＝2A2+(m+n)A 可得：A2＝mn 解題思路：只需將分母平方后分解質(zhì)因數(shù)，找到一對質(zhì)因數(shù)后，分別加上原分母作為等式右邊的兩個(gè)分母。 例

18、：將112拆分成若干個(gè)分?jǐn)?shù)單位的和。 解：12的平方＝144，而144＝1144＝272＝436＝818＝…… 所以112 ＝ 113 + 1156 ＝ 114 + 184 ＝ 116 + 148 ＝ 120 + 130 ＝…… 要拆分成三個(gè)式子相加如何做？ 先拆成兩個(gè)，再將其中一個(gè)拆成兩個(gè)即可。 最值問題 （1）兩數(shù)和一定，則兩數(shù)差越小，乘積越大，兩數(shù)差越大，乘積越小。 （2）兩數(shù)積一定，則兩數(shù)差越小，加和越小，兩數(shù)差越大，加和越大。 （3）多3少2不拆1原則。 例：14拆成幾個(gè)自然數(shù)的積，求積最大值？ +

19、  六大幾何模型 1. 等積模型：平行平移模型和等高模型 2. 一半模型： 3. 鳥頭模型（共角模型） S4 S3 S2 b a S3 S2 S4 D A A D ADAEABAC＝SADESABC O E C B B C 4. 蝴蝶模型 （1）風(fēng)

20、箏模型（任意四邊形） S1S3＝S2S4 （對頂面積乘積相等） AO:OC＝S1：S4＝S2：S3＝（S1+S2）：（S4+S3) （2）梯形中的蝴蝶模型（梯形） S1 S1 S1＝S3 S1S3＝S2S4 （對頂面積乘積相等） S1：S2：S3：S4＝ab:b2:ab:a2 梯形S對應(yīng)的份數(shù)為(a+b)2 5. 燕尾模型 A A f e d c b a abcdef＝1 ace＝bdf 左面積右面積＝左線

21、段右線段（每一底邊對應(yīng)三對面積與線段的比） 串性：大面積小面積＝大面積包含的線段小面積包含的線段 6. 金字塔、沙漏模型（比例模型）：形狀相同，大小不同的兩個(gè)三角形。 如果DE平行BC，那么 （1）ADAB＝AEAC＝DEBC＝AFAG B G F E E D D C C B （2）兩個(gè)三角形面積比＝對應(yīng)邊長的平方比 7. 勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊長為a,b,斜邊長為c,則有c2＝a2+b2 a c a b b b a b a a b b b b a 內(nèi)弦圖

22、： 外弦圖： a b-a a S1 S2 S3 a c b b-a C2 a2 b2 a b a 常見勾股整數(shù)： 常見模型： 3， 4， 5； 5，12，13； S3 S2 S1 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； S1+S2＝S3 8. 畢克定理：計(jì)算點(diǎn)陣中頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的多邊形面積 S＝（n + l2 -1）小四邊形面積 其中：n是多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)

23、 l是多邊形邊界上點(diǎn)數(shù) 9. 海倫公式：S2＝p(p-a)(p-b)(p-c)，a,b,c為三角形三邊長，p＝a+b+c2（半周長） 循環(huán)小數(shù) 1. 有限小數(shù)：分母質(zhì)因子只有2或5 2. 純循環(huán)小數(shù)：分母質(zhì)因子無2也無5 3. 混循環(huán)小數(shù)：分母質(zhì)因子即含其他也含2或5. 小數(shù)化分?jǐn)?shù)： 1. 純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)： 0.a＝a9; 0.ab＝ab99; 0.abc＝abc999 2. 混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)： 0.ab＝ab-a90; 0.abc＝abc-a990; 0.abcd＝abcd-ab9900

24、 正方體展開圖（共11種） A1 A1 A1 A1 A2 A A2 A A2 A2 A A B B B B 規(guī)律：（1）對面規(guī)律，兩個(gè)相對的面展開后是日字或之字兩個(gè)距離最遠(yuǎn)的面。 （2）對角點(diǎn)規(guī)律：在展開圖中出現(xiàn)日字，通常用來尋找正方體復(fù)合的重合點(diǎn)。 如上圖中，A點(diǎn)的對角點(diǎn)為B點(diǎn)，A1，A2點(diǎn)與A點(diǎn)重合。 質(zhì)數(shù) 1. 0和1即不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。 2. 除了2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，除了2和5，其

25、余的質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只有1，3，7，9. 3. 最小的三位質(zhì)數(shù)是101，最小的四位質(zhì)數(shù)是1009. 質(zhì)數(shù)的判定方法： 找到一個(gè)大于且接近該數(shù)的完全平方數(shù)K2，再列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)，判斷這些質(zhì)數(shù)能否被該數(shù)整除，如不能，則該數(shù)就是質(zhì)數(shù)。 例149是否是質(zhì)數(shù)：132是大于149的，最接近149的數(shù)，所以用149除以2，3，5，7，9，11，13，都不能整除，那么149是質(zhì)數(shù)。 兩數(shù)互質(zhì)的情況： 1. 兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)必互質(zhì)。 2. 兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)必互質(zhì)。 3. 一個(gè)大質(zhì)數(shù)與一個(gè)小合數(shù)必互質(zhì)。 4. 1與任何非零自然數(shù)互質(zhì)。 因數(shù) 公因數(shù) 公

26、倍數(shù) 最大公因數(shù)性質(zhì)： 1. 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公因數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。 2. 幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)N，所得積的最大公因數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)乘以N 最小公倍數(shù)性質(zhì)： 1. 兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)就是它們的乘積。 2. 兩個(gè)數(shù)有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最小公倍數(shù)就是較大的數(shù)，最大公因數(shù)為較小的數(shù)。 分?jǐn)?shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)： 最大公因數(shù)：先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變，求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)A及分子的最大公因數(shù)B，AB 即為所求。簡記為“子同母反”（分子求最大公因，分母求最小公倍） 最小公倍數(shù)：先把帶

27、分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變，求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最小公倍數(shù)A及分母的最大公因數(shù)B，AB 即為所求。簡記為“子同母反”（分子求最小公倍，分母求最大公因） 對于任意連接3個(gè)自然數(shù)，如果它們的奇偶性為： 奇偶奇：那么三個(gè)數(shù)的乘積為最小公倍數(shù)（三數(shù)互質(zhì)） 偶奇偶：三個(gè)數(shù)乘積的一半為最小公倍數(shù)。 奇數(shù) 偶數(shù) 推論：對于任意2個(gè)整數(shù)A，B ，有A+B與A-B同奇或同偶。 完全平方數(shù) 性質(zhì)： 1. 尾數(shù)為0，1，4，5，6，9. 2. 被4除，余數(shù)為1或0. 3. 被3除，余數(shù)為1或0. 4. 偶指奇因：分解質(zhì)因數(shù)后，指數(shù)都為偶數(shù)；完全平方數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)。