《直線與雙曲線位置關(guān)系典例精析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《直線與雙曲線位置關(guān)系典例精析（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、直線和雙曲線的位置關(guān)系 一、要點精講 1．直線和雙曲線的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離. 2．弦長公式：設(shè)直線交雙曲線于，， 則， 或． 二、基礎(chǔ)自測 1．經(jīng)過點且與雙曲線僅有一個公共點的直線有（ ） (A) 4條 (B) 3條 (C) 2條 (D) 1條 2．直線y= kx與雙曲線不可能（ ） （A）相交 （B）只有一個交點 （C）相離 （D）有兩個公共點 3．過雙曲線的一個焦點且與雙曲線的實軸垂直的弦叫做雙曲線的通徑，則雙曲線的通徑長是 (A) (B)

2、 (C) (D) 4．若一直線平行于雙曲線的一條漸近線，則與雙曲線的公共點個數(shù)為 ． 解：與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個公共點，應(yīng)注意直線與雙曲線不是相切 5．經(jīng)過雙曲線的右焦點且斜率為2的直線被雙曲線截得的線段的長是 ． 6．直線在雙曲線上截得的弦長為4，且的斜率為2，求直線的方程． 三、典例精析 題型一：直線與雙曲線的位置關(guān)系 1. 如果直線與雙曲線沒有公共點，求的取值范圍．有兩個公共點呢？ 解，所以△=， 所以，，故選D. 2．(2010安徽)若直線y

3、＝kx＋2與雙曲線x2－y2＝6的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 解：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0，∴，解得－

4、用根與系數(shù)的關(guān)系或“平方差法”求解．此時，若已知點在雙曲線的內(nèi)部，則中點弦一定存在，所求出的直線可不檢驗，若已知點在雙曲線的外部，中點弦可能存在，也可能不存在，因而對所求直線必須進行檢驗，以免增解，若用待定系數(shù)法時，只需求出k值對判別式△>0進行驗證即可． 6. 雙曲線方程為. 問：以定點B(1,1)為中點的弦存在嗎？若存在，求出其所在直線的方程；若不存在，請說明理由． 7、已知中心在原點，頂點在軸上，離心率為的雙曲線經(jīng)過點 （Ⅰ）求雙曲線的方程； （Ⅱ）動直線經(jīng)過的重心，與雙曲線交于不同的兩點，問是否存在直線使平分線段。試證明你的結(jié)論。

5、 題型三： 求雙曲線方程 8. 已知焦點在x軸上的雙曲線上一點，到雙曲線兩個焦點的距離分別為4和8，直線被雙曲線截得的弦長為，求此雙曲線的標準方程． 9、設(shè)雙曲線與直線相交于不同的點A、B. ⑴求雙曲線的離心率的取值范圍； ⑵設(shè)直線與軸的交點為，且，求的值。 解：(1)將y＝－x＋1代入雙曲線－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 ① 由題設(shè)條件知， ，解得0且e≠. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)． ∵＝，

6、 ∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．∴x1＝x2， ∵x1、x2是方程①的兩根，且1－a2≠0， ∴x2＝－，x＝－， 消去x2得，－＝， ∵a>0，∴a＝. 10. 已知雙曲線的焦點為，，過且斜率為的直線交雙曲線于、兩點，若 (其中為原點），，求雙曲線方程。 11. 雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點垂直于的直線分別交于兩點．已知成等差數(shù)列，且與同向． （Ⅰ）求雙曲線的離心率； （Ⅱ）設(shè)被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程． 解：（Ⅰ）設(shè)，， 由勾股定理可得： 得：，， 由倍角公式，解得,則離心率

7、． （Ⅱ）過直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立，將，代入， 化簡有 將數(shù)值代入，有, 解得 故所求的雙曲線方程為。 12、已知雙曲線－＝1(b>a>0)，O為坐標原點，離心率e＝2，點M(，)在雙曲線上． (1) 求雙曲線的方程；(2) 若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且.求＋的值． 解： (1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，雙曲線方程為－＝1，即3x2－y2＝3a2. ∵點M(，)在雙曲線上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4. ∴所求雙曲線的方程為－＝1. (2)設(shè)直線OP的方程為y＝kx(k≠0)，聯(lián)立－＝1，得 ∴|OP|2＝x2＋y2＝.

8、則OQ的方程為y＝－x， 同理有|OQ|2＝＝， ∴＋＝＝＝. 13．(2012上海)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1. (1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積； (2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點．若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ； (3)設(shè)橢圓C2：4x2＋y2＝1.若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值． 解：(1)雙曲線C1：，左頂點A，漸近線方程為：y＝x. 過點A與漸近線y＝x平行的直線方程為，即y＝x＋1. 解方程組，得.

9、 ∴所求三角形的面積為S＝|OA||y|＝. (2)證明：設(shè)直線PQ的方程是y＝x＋b，∵直線PQ與已知圓相切，∴＝1，即b2＝2. 由得x2－2bx－b2－1＝0. 設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則 又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)， ∴＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0. 故OP⊥OQ. (3)證明：當直線ON垂直于x軸時，|ON|＝1，|OM|＝，則O到直線MN的距離為. 當直線ON不垂直于x軸時，設(shè)直線ON的方程為y＝kx(顯然)， 則直線OM的方程為y＝－x. 由得 ∴|O

10、N|2＝.同理|OM|2＝. 設(shè)O到直線MN的距離為d. ∵(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2， ∴＝＋＝＝3，即d＝. 綜上，O到直線MN的距離是定值． 五、能力提升 1．若不論k為何值，直線y=k(x-2)+b與雙曲線總有公共點，則b的取值范圍是（ ） (A) (B) (C) (D) 2．過雙曲線的右焦點F作直線交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線有（ ） (A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條 3．過點的直線與雙曲

11、線有且僅有一個公共點，且這個公共點恰是雙曲線的左頂點，則雙曲線的實軸長等于（ ） (A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或4 4. 已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ） (A) (1，2] (B)（1，2) (C) [2，+∞) (D) (2，+∞) 6．直線與雙曲線的右支交于不同兩點，則k的取值范圍是 ． 7. 已知傾斜角為的直線被雙曲線截得的弦長，求直線的方程． 8. 設(shè)直線與雙曲線于相交于A、B兩點，且弦AB中點的橫坐標為． (1)求的值；(2)求雙曲線離心率． 9. 已知雙曲線的離心率，左、右焦點分別為、，左準線為，能否在雙曲線的左支上找到一點P，使得是P到的距離與的等比中項？