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1、面齒輪傳動(dòng)嚙合剛度數(shù)值計(jì)算 　　0、 引言 　　作為機(jī)械裝置中的一個(gè)重要零部件,齒輪傳動(dòng)被廣泛應(yīng)用于航空、風(fēng)電、汽車等領(lǐng)域。隨著工作轉(zhuǎn)速的逐步提高,齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)性能越來(lái)越受到設(shè)計(jì)、制造及使用者的重視。相比較其他類型的傳動(dòng)系統(tǒng),齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的主要不同之處在于: 它不但會(huì)因?yàn)橥獠考?lì)而產(chǎn)生動(dòng)態(tài)響應(yīng),同時(shí)會(huì)因?yàn)閭鲃?dòng)過(guò)程中嚙合齒對(duì)數(shù)的改變、輪齒的彈性變形及輪齒誤差而導(dǎo)致嚙合剛度發(fā)生變化,從而產(chǎn)生輪齒動(dòng)態(tài)嚙合力,且此種由于嚙合綜合剛度的時(shí)變性引起的動(dòng)態(tài)激勵(lì)是齒輪傳動(dòng)中最主要的動(dòng)態(tài)激勵(lì)形式之一。因此,確定齒輪傳動(dòng)的時(shí)變嚙合剛度一直是齒輪動(dòng)力學(xué)研究中的重要

2、問(wèn)題。 　　對(duì)于圓柱齒輪的嚙合剛度計(jì)算問(wèn)題,已有較多的學(xué)者進(jìn)行過(guò)深入研究,得到了一些比較成熟的計(jì)算方法。對(duì)于面齒輪及螺旋錐齒輪等結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜的齒輪傳動(dòng)形式的嚙合剛度計(jì)算問(wèn)題,由于其齒面為復(fù)雜曲面,要準(zhǔn)確計(jì)算時(shí)變嚙合剛度存在較大難度,因此相關(guān)研究文獻(xiàn)較少。 　　Gosselin 等基于有限條法給出了計(jì)算螺旋錐齒輪剛度的方法,但也只得到了沿齒高和齒長(zhǎng)方向的位移曲線,并沒(méi)有得到剛度曲線。Mennem等使用有限單元法計(jì)算了不同載荷下輪齒接觸柔度,獲得了時(shí)變剛度。 　　面齒輪傳動(dòng)是近二十年才真正發(fā)展起來(lái)的一種主要用于航空領(lǐng)域的齒輪傳動(dòng)形式,針對(duì)其嚙合剛度的計(jì)算方法,目前尚未見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道。在面齒輪

3、的動(dòng)力學(xué)研究中,齒輪嚙合剛度都采用經(jīng)過(guò)傅里葉變換后的一次正余弦函數(shù)來(lái)近似,與實(shí)際嚙合剛度存在比較大的差異。有學(xué)者研究發(fā)現(xiàn),采用近似時(shí)變嚙合剛度得到的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)因子比采用實(shí)際嚙合剛度時(shí)大,而且不能有效地得到系統(tǒng)在低頻階段的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。因此,采用近似時(shí)變嚙合剛度來(lái)擬合實(shí)際嚙合剛度研究齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為,并不能正確反映齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 　　本文提出了一種新的齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度數(shù)值計(jì)算方法。首先以直齒圓柱齒輪為例,建立合理的有限元模型,得到直齒圓柱齒輪時(shí)變嚙合剛度曲線,并與 ISO6336方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,說(shuō)明該嚙合剛度計(jì)算方法的正確性及有限元模型的精確性; 然后應(yīng)用該嚙合剛度計(jì)算方法,研

4、究面齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度變化規(guī)律,得到精確的面齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度曲線。研究結(jié)果為面齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析及設(shè)計(jì)提供參考。 　　1 齒輪傳動(dòng)嚙合剛度計(jì)算方法 　　在齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中,輪齒之間的嚙合作用可以簡(jiǎn)化為一個(gè)在嚙合線方向上的時(shí)變彈簧,彈簧剛度等于該時(shí)刻的嚙合剛度,如圖 1 所示。圖中,ω 為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速,Rbp、Rbg分別為主從動(dòng)輪基圓半徑,Km為嚙合剛度,T為負(fù)載扭矩,LOA(line of action) 表示嚙合線。 　　齒輪嚙合剛度的一般表達(dá)式為Kn= Fn/ δn(1)其中,Fn為法向接觸力;δn為法向綜合彈性變形,它應(yīng)包括由于局部赫茲接觸產(chǎn)

5、生的接觸彈性變形量 δH、輪齒彎曲產(chǎn)生的接觸位置的位移 δF、輪轂變形產(chǎn)生的接觸位置的位移 δR、軸和支撐結(jié)構(gòu)變形對(duì)接觸點(diǎn)位置的影響量 δA。由于考慮軸、軸承及支撐結(jié)構(gòu)變形會(huì)使問(wèn)題過(guò)于復(fù)雜,故本文暫只考慮 δH、δF及 δR,因此可以得到 　　在齒輪傳動(dòng)過(guò)程中,由于輪齒受載變形及齒輪誤差,從動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)位置會(huì)偏離其不考慮受載變形及齒輪誤差時(shí)所應(yīng)處的理想轉(zhuǎn)動(dòng)位置。齒輪傳遞誤差eT在1958 年被Harris定義為"從動(dòng)輪實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)位移與理想轉(zhuǎn)動(dòng)位移之差";,如圖 2 所示,其一般表達(dá)式為 　　式中,&theta

6、;p、θg分別為主從動(dòng)輪轉(zhuǎn)角; zp、zg分別為主從動(dòng)輪齒數(shù)。 　　假設(shè)齒輪沒(méi)有承受載荷,此時(shí)輪齒沒(méi)有彈性變形,但是由于輪齒誤差的存在,依舊會(huì)產(chǎn)生無(wú)負(fù)載傳遞誤差 eNLT。在齒輪傳動(dòng)的加載接觸分析中,由于存在幾何模型誤差、有限元網(wǎng)格劃分產(chǎn)生的幾何誤差以及網(wǎng)格劃分產(chǎn)生的尺側(cè)間隙,故無(wú)負(fù)載傳遞誤差是不可避免的。無(wú)負(fù)載傳遞誤差導(dǎo)致齒輪嚙合過(guò)程中輪齒產(chǎn)生剛性位移,該位移在計(jì)算輪齒受載變形時(shí)必須減除。同時(shí),為了方便理解,將傳遞誤差轉(zhuǎn)換成嚙合線方向上的位移,因此可以得到齒輪副在一定負(fù)載下的受載傳遞誤差eLT一般表達(dá)式 　　由此可以得到輪齒嚙合過(guò)程中綜合彈性變形 　　2、 嚙合剛度

7、數(shù)值計(jì)算方法驗(yàn)證 　　由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,面齒輪傳動(dòng)嚙合剛度計(jì)算方法目前尚未見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。為了說(shuō)明上述嚙合剛度計(jì)算方法的正確性及有限元模型的精確性,本文先以直齒圓柱齒輪為例進(jìn)行計(jì)算,并將其與 ISO6336: 2006 方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。 　　2. 1 有限元建模 　　基于唐進(jìn)元等提出的齒輪虛擬加工制造方法,采用表 1 所示齒輪傳動(dòng)參數(shù),得到高精度的直齒圓柱齒輪三維幾何裝配模型。 　　 　　為了節(jié)約計(jì)算成本,忽略軸及軸承等支撐結(jié)構(gòu)的影響。鑒于靜力學(xué)分析中質(zhì)量分布不會(huì)影響分析結(jié)果,因此在模型中僅考慮可能產(chǎn)生嚙合的5 對(duì)輪齒,其他部分簡(jiǎn)化為一個(gè)輪緣圓柱,并分別在大小輪內(nèi)孔面與其對(duì)應(yīng)

8、旋轉(zhuǎn)軸線上的參考點(diǎn)之間建立剛性耦合約束,在大輪耦合節(jié)點(diǎn)施加負(fù)載扭矩,在小輪耦合節(jié)點(diǎn)施加轉(zhuǎn)動(dòng)位移,以此來(lái)模擬小輪通過(guò)與大輪嚙合抵消大輪反抗扭矩帶動(dòng)大輪運(yùn)轉(zhuǎn)的實(shí)際工況,邊界條件如圖 3 所示。對(duì)可能發(fā)生接觸的 5 對(duì)輪齒進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)化,齒厚方向最小網(wǎng)格尺寸為 0. 037 mm,齒高方向最小網(wǎng)格尺寸為 0. 142 mm,總節(jié)點(diǎn)數(shù)為180 462,總單元數(shù)為158 592。網(wǎng)格模型如圖 4 所示。 　　將大輪及小輪的工作齒面定義為接觸對(duì),暫不考慮摩擦對(duì)嚙合剛度的影響。采用隱式靜力學(xué)分析算法,輸出接觸力及大小輪的繞自身旋轉(zhuǎn)軸線的旋轉(zhuǎn)位移歷程曲線。 　　2. 2 直齒圓柱齒輪嚙合剛度計(jì)算

9、　　理論上,標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪的靜態(tài)傳遞誤差為零,但考慮到有限元模型不可避免地存在網(wǎng)格劃分帶來(lái)的幾何誤差,且有限元分析時(shí)必須要有完整的邊界約束條件,因此,本文近似以大輪負(fù)載為13. 2 N&m 時(shí)的傳遞誤差作為無(wú)負(fù)載傳遞誤差,該負(fù)載與額定負(fù)載 660 N&m 相比較小,產(chǎn)生的輪齒接觸變形及彎曲變形可以忽略不計(jì)?；谏鲜鳊X輪傳動(dòng)嚙合剛度計(jì)算方法,計(jì)算得到該齒輪副時(shí)變嚙合剛度曲線,并與 ISO6336: 2006 給出的計(jì)算公式得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如圖 5 所示。 　　由圖 5 可知,所提出的方法得到的時(shí)變嚙合剛度曲線與 ISO6336: 2006 方法計(jì)算結(jié)果相比,平均值相對(duì)誤差為 5. 86

10、%。因此可以證明所提出的齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法的正確性,同時(shí)說(shuō)明有限元模型已足夠精確。 　　3、 面齒輪傳動(dòng)嚙合剛度數(shù)值計(jì)算 　　3. 1 有限元模型 　　面齒輪傳動(dòng)幾何參數(shù)如表 2 所示,其中面齒輪輪緣系數(shù)定義為面齒輪輪齒高度與面齒輪齒根平面到面齒輪齒底平面之間距離的比值。 　　 　　采用上述有限元建模方法,將可能發(fā)生接觸的 5 對(duì)輪齒之外的部分簡(jiǎn)化為一個(gè)階梯圓柱,忽略軸及軸承等支撐結(jié)構(gòu)變形對(duì)面齒輪傳動(dòng)接觸位置的影響,在小輪內(nèi)孔面與位于其旋轉(zhuǎn)軸線上的參考節(jié)點(diǎn)之間建立剛性耦合約束,在面齒輪與位于其旋轉(zhuǎn)軸線上的參考節(jié)點(diǎn)之間建立剛性耦合約束,即將軸及軸承簡(jiǎn)化為剛性支撐,在小輪參考節(jié)

11、點(diǎn)施加旋轉(zhuǎn)位移,在面齒輪參考節(jié)點(diǎn)施加負(fù)載扭矩,以模擬小輪通過(guò)與大輪嚙合作用帶動(dòng)大輪抵消負(fù)載扭矩而運(yùn)轉(zhuǎn)的實(shí)際工況,邊界條件設(shè)置如圖 6 所示。 　 　　對(duì)于未修形的直齒面齒輪傳動(dòng)而言,面齒輪由齒頂進(jìn)入嚙合,由齒根退出嚙合,其理論接觸軌跡在齒高方向大致呈一條豎直線。經(jīng)齒輪接觸分析得到,該對(duì)齒輪理論接觸軌跡大致位于半徑為164. 4 mm 處,因此對(duì)面齒輪靠近內(nèi)端的一半輪齒及配對(duì)小輪對(duì)應(yīng)嚙合位置進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化,其網(wǎng)格密度與上述直齒圓柱齒輪模型中細(xì)化部分網(wǎng)格密度基本一致,總節(jié)點(diǎn)數(shù)為242 312,總單元數(shù)為201 420,網(wǎng)格模型如圖 7 所示。接觸定義、材料參數(shù)及分析步設(shè)置與上述直齒圓柱齒輪有限元

12、模型保持一致。此時(shí)對(duì)于單個(gè)面齒輪輪齒而言,約有 54 個(gè)計(jì)算點(diǎn)。 　　 　　3. 2 面齒輪傳動(dòng)嚙合剛度數(shù)值計(jì)算 　　采用上述有限元模型,在大輪額定載荷為1536. 8 N&m 條件下,取負(fù)載為 38. 42 N&m 時(shí)的傳遞誤差為無(wú)負(fù)載傳遞誤差。額定載荷作用下各齒對(duì)法向接觸力歷程曲線如圖 8 所示。由圖 8 可知,該對(duì)齒輪副存在雙齒接觸區(qū)(DT) 及三齒接觸區(qū)(TT) ,并且,由于在三齒接觸區(qū)時(shí)前一對(duì)輪齒即將退出嚙合,后一對(duì)輪齒剛剛進(jìn)入嚙合,齒間載荷分布非常不均勻,因此該對(duì)輪齒法向接觸力最大值出現(xiàn)在該嚙合區(qū)域。 　　 　　進(jìn)一步根據(jù)式(6) 計(jì)算得到面齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度曲線,如圖

13、 9 所示。由圖 9 可以看出,面齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度曲線類似于一條正弦曲線,呈現(xiàn)明顯的周期特征,其最小值大致出現(xiàn)在三齒接觸區(qū)內(nèi)前后兩對(duì)輪齒受載相同的位置(圖 8中點(diǎn) A 處) 。此時(shí)該兩對(duì)輪齒約各承擔(dān)總載荷的6. 44% ,中間一對(duì)輪齒約承擔(dān)總載荷的 87. 15% ,齒間載荷的分布非常不均勻,并且此時(shí)前后兩對(duì)輪齒分別在靠近齒根及齒頂位置接觸,因此該嚙合位置齒輪副彈性綜合變形最大,嚙合剛度最小。 　　嚙合剛度最大值出現(xiàn)在雙齒嚙合區(qū)內(nèi)參與嚙合的兩對(duì)輪齒受載相同的位置(圖 8 中點(diǎn) B 處) ,此時(shí)該兩對(duì)輪齒各承擔(dān)總載荷的 50%,載荷分布最為均勻,因此該嚙合位置齒輪彈性綜合變形最小,嚙合剛度最大。 　　圖 9 時(shí)變嚙合剛度曲線(T =1536. 8 N&m) 　　4、 結(jié)論 　　(1) 提出了一種新的齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度數(shù)值計(jì)算方法,并給出了相應(yīng)的加載接觸分析有限元建模方法。 　　(2) 以直齒圓柱齒輪為例,采用該方法得到該齒輪副時(shí)變嚙合剛度曲線,與 ISO6336 方法計(jì)算結(jié)果相對(duì)比,驗(yàn)證了上述方法的正確性及所建有限元模型的精確性。 　　(3) 應(yīng)用該嚙合剛度數(shù)值計(jì)算方法得到了面齒輪傳動(dòng)載荷分布規(guī)律及時(shí)變嚙合剛度曲線。