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1、
線面垂直與面面垂直
基礎(chǔ)要點(diǎn)
線面垂直
面面垂直
線線垂直
、若直線與平面所成的角相等,則平面與的位置關(guān)系是( B )
A、 B、不一定平行于 C、不平行于 D、以上結(jié)論都不正確
、在斜三棱柱,,又,過(guò)作⊥底面ABC,垂足為H ,則H一定在( B )
A、直線AC上 B、直線AB上 C、直線BC上 D、△ABC的內(nèi)部
、如圖示,平面⊥平面,與兩平面所成的角分別為和,過(guò)A、B分別作兩平面交線的垂線,垂足為,則(
2、 A )
A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:3
、如圖示,直三棱柱中,,
DC上有一動(dòng)點(diǎn)P,則△周長(zhǎng)的最小值是
5.已知長(zhǎng)方體中,,
若棱AB上存在點(diǎn)P,使得,則棱AD長(zhǎng)
的取值范圍是 。
題型一:直線、平面垂直的應(yīng)用
1.(2014,江蘇卷)如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F(xiàn)分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn). 已知.
求證:(1) ;(2) .
證明: (1) 因?yàn)镈,E分別為棱PC,AC的中點(diǎn),
所以DE∥PA.
又因?yàn)镻A ? 平面DEF,DE 平面DEF,
所以直線PA∥平面D
3、EF.
(2) 因?yàn)镈,E,F(xiàn)分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn),PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4.
又因 DF=5,故DF2=DE2+EF2,
所以∠DEF=90,即DE丄EF.
又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.
因?yàn)锳C∩EF=E,AC平面ABC,EF平面ABC,所以DE⊥平面ABC.
又DE平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.
2. (2014,北京卷,文科)如圖,在三棱柱中,側(cè)棱垂直于底面,,,、分別為、的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;(2)求證:平面.
證明:(1)在三棱柱中,
.
(2)取AB的中點(diǎn)
4、G,連接EG,F(xiàn)G
、分別為、的中點(diǎn), ,
,則四邊形為平行四邊形,
.
3.如圖,是所在平面外的一點(diǎn),且平面,平面平面.求證.
分析:已知條件是線面垂直和面面垂直,要證明兩條直線垂直,應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中,使另一條直線與該平面垂直,即從線面垂直得到線線垂直..
證明:在平面內(nèi)作,交于.因?yàn)槠矫嫫矫嬗?,平面,且,所以.又因?yàn)槠矫?,于是有①.另外平面,平面,所以.由①②及,可知平面.因?yàn)槠矫?,所以?
說(shuō)明:在空間圖形中,高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂直關(guān)系,通過(guò)本題可以看到,面面垂直線面垂直線線垂直.
4. 過(guò)點(diǎn)引三條不共面的直線、、,如圖,,,若截取
5、
(1)求證:平面平面;
(2)求到平面的距離.
分析:要證明平面平面,根據(jù)面面垂直的判定定理,須在平面或平面內(nèi)找到一條與另一個(gè)平面垂直的直線.
(1)證明:∵,
又,
∴和都是等邊三角形,
∴,
取的中點(diǎn),連結(jié),∴.
在中,,∴,,
∴,∴.
在中,∴,,,
∴,∴,∴平面.
∵平面,∴平面平面.
或:∵,∴頂點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的外心,
又為,∴在斜邊上,
又為等腰直角三角形,∴為的中點(diǎn),
∴平面.∵平面,∴平面平面.
(2)解:由前所證:,,∴平面,
∴的長(zhǎng)即為點(diǎn)到
6、平面的距離,,
∴點(diǎn)到平面的距離為.
、如圖示,ABCD為長(zhǎng)方形,SA垂直于ABCD所在平面,過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G,求證:AE⊥SB,AG⊥SD
6.在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PCD是正三角形,且與底面ABCD垂直,已知底面是面積為的菱形,,M是PB中點(diǎn)。
(1)求證:PACD
(2)求證:平面PAB平面CDM
7.在多面體ABCDE中,AB=BC=AC=AE=1,CD=2,面ABC,AE//CD。
(1)求證:AE//平面BCD;
(2)求證:平面BED平面BCD
7、
題型二、空間角的問(wèn)題
1.如圖示,在正四棱柱中,,E為上使的點(diǎn),平面交于F,交的延長(zhǎng)線于G,求:
(1)異面直線AD與所成的角的大小
(2)二面角的正弦值
2.如圖,點(diǎn)在銳二面角的棱上,在面內(nèi)引射線,使與所成的角為,與面所成的角大小為,求二面角的大?。?
分析:首先根據(jù)條件作出二面角的平面角,然后將平面角放入一個(gè)可解的三角形中(最好是直角三角形),通過(guò)解三角形使問(wèn)題得解.
解:在射線上取一點(diǎn),作于,連結(jié),則為射線與平面所成的角,.再作,交于,連結(jié),則為在平面內(nèi)的射影.由三垂線定理的逆定理,,為二面角的平面角.
設(shè),在中,,
8、在△中,
,
是銳角,,即二面角等于.
說(shuō)明:本題綜合性較強(qiáng),在一個(gè)圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角,斜線與平面所稱的角,二面角等空間角,這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角,而且還要彼此聯(lián)系相互依存,要根據(jù)各個(gè)平面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線.
3. 正方體的棱長(zhǎng)為1,是的中點(diǎn).求二面角的大?。?
分析:求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角,按定義在二面角的棱上任取了點(diǎn),在二個(gè)半平面上分別作棱的垂線,方法雖簡(jiǎn)便,但因與其他條件沒(méi)有聯(lián)系,要求這個(gè)平面角一般是很不容易的,所以在解題中不大應(yīng)用.在解題中應(yīng)用得較多的是“三垂線定理”的方法,如圖考慮到垂直于平面,在平面上的射影就是.再過(guò)作的垂線,則面,過(guò)作的垂線,即為
9、所求二面角的平面角了.
解:過(guò)作及的垂線,垂足分別是、,連結(jié).
∵面,面,
∴,又,∴面.
又∵,∴,∴為所求二面角的平面角.
∵∽,∴.
而,,,∴.
在中,.∵,∴.
在中,,在中,,
∴.
4.PA垂直于矩形ABCD所在平面,M、E、N分別是AB、CD和PC的中點(diǎn),
(1)求證:MN∥平面PAD
(2)若二面角P-DC-A為,求證:平面MND⊥平面PDC
5.已知正方體中,E為棱上的動(dòng)點(diǎn),
(1)求證:⊥BD (2) 當(dāng)E恰為棱的中點(diǎn)時(shí),求證:平面⊥平面
(3)在棱上是否存在一個(gè)點(diǎn)E,可以使二面角的大小為?如果存在,試確定E在棱上的位置;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
題型三、探索性、開(kāi)放型問(wèn)題
1.如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,中心為O。設(shè)平面ABCD,EC//PA,且PA=2。問(wèn)當(dāng)CE為多少時(shí),PO平面BED。
2.已知△ABC中,,AB⊥平面BCD,,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且
(1)求證:不論為何值,總有平面BEF⊥平面ABC
(2)當(dāng)為何值時(shí),平面BEF⊥平面ACD?