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1、精細(xì)辛有限元方法研究 精細(xì)辛有限元方法研究 2016/05/13 《力學(xué)學(xué)報(bào)》2016年第二期 摘要 哈密頓系統(tǒng)是一類(lèi)重要的動(dòng)力系統(tǒng)，針對(duì)哈密頓系統(tǒng)，設(shè)計(jì)出多類(lèi)辛方法：SRK、SPRK、辛多步法、生成函數(shù)法等.長(zhǎng)久以來(lái)數(shù)值方法在求解哈密頓系統(tǒng)過(guò)程中辛特性和保能量特性不能得到同時(shí)滿(mǎn)足，近年來(lái)提出的有限元方法，對(duì)于線性系統(tǒng)具有保辛和保能量的優(yōu)良特性.但是，以上方法都存在相位漂移(軌道偏離)現(xiàn)象，長(zhǎng)時(shí)間仿真，計(jì)算效果會(huì)大打折扣.提出精細(xì)辛有

2、限元方法(HPD-FEM)求解哈密頓系統(tǒng)，該方法繼承時(shí)間有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)所具有的保哈密頓系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)和哈密頓函數(shù)守恒性的優(yōu)良特性，同時(shí)，通過(guò)精細(xì)化時(shí)間步長(zhǎng)極大地減小了時(shí)間有限元方法的相位誤差.HPD-FEM相較與針對(duì)相位誤差專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)的計(jì)算格式FSJS、RKN以及SRPK方法具有更好的糾正效果，幾乎達(dá)到機(jī)器精度，誤差為O(1013),同時(shí)，HPD-FEM克服了FSJS、RKN和SPRK方法不能保證哈密頓函數(shù)守恒的缺點(diǎn).對(duì)于高低混頻系統(tǒng)和剛性系統(tǒng)，常規(guī)算法很難在較大步長(zhǎng)下，同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)高低頻精確仿真，HPD-FEM通過(guò)精細(xì)計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)，在大步長(zhǎng)情況下，實(shí)現(xiàn)高低混頻的精確仿真.HPD-FEM方

3、法在計(jì)算過(guò)程中精細(xì)方法沒(méi)有額外增加計(jì)算量，計(jì)算效率高.數(shù)值結(jié)果顯示本文提出的方法切實(shí)有效. 關(guān)鍵詞 哈密頓系統(tǒng)，辛算法，相位誤差，精細(xì)積分，時(shí)間有限元 辛性質(zhì)是哈密頓系統(tǒng)重要的性質(zhì)，有人[1-3]針對(duì)哈密頓系統(tǒng)提出了辛積分方法.辛算法的優(yōu)異的穩(wěn)定性和長(zhǎng)時(shí)間跟蹤能力有著重要的應(yīng)用前景,許多計(jì)算領(lǐng)域,如:分子電子計(jì)算、經(jīng)典力學(xué)、流體力學(xué)等.辛算法解決了在長(zhǎng)期計(jì)算過(guò)程中幅值誤差的積累問(wèn)題，但相位誤差積累問(wèn)題仍然存在.還有人[4-6]給出了辛算法誤差分析和修正，文中的方法是一種后驗(yàn)誤差修正，根據(jù)單步辛算法的誤差進(jìn)行時(shí)間修正，并得到：相位誤差不影響系統(tǒng)的能

4、量而只影響位移和速度等物理量的幅值變化規(guī)律和跟蹤精度的結(jié)論.陳璐等[7]對(duì)幾種常見(jiàn)的保結(jié)構(gòu)方法(AVF、Pade´對(duì)角逼近、生成函數(shù)法)的相位誤差及修正給出詳盡的分析，但是文中對(duì)缺乏對(duì)哈密頓函數(shù)守恒性的討論，文中的算例顯示12階相位誤差的算法能量誤差僅有O(106).近年來(lái)，辛方法相位誤差現(xiàn)象越來(lái)越引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注，RKN方法[8-9]和SPRK方法[10-12]，都是通過(guò)泰勒展開(kāi)研究相位誤差，推導(dǎo)出很多相位誤差較小的計(jì)算格式，這些方法需要優(yōu)化求解出合適的參數(shù)使得相位誤差最小,所得參數(shù)也比較復(fù)雜.劉曉梅等[13]提出FSJS方法，該方法巧妙的利用向前和向后差分方法引起的相位誤差分

5、別是正方向和負(fù)方向的性質(zhì)，提出分?jǐn)?shù)步計(jì)算方案，該方法極大的減小了相位誤差，但是每一步計(jì)算過(guò)程中都要計(jì)算分?jǐn)?shù)步數(shù)步，從而增加了計(jì)算量. 顏娜[14]則對(duì)引起辛算法的漂移的原因，以及幾種傳遞矩陣的相位誤差進(jìn)行了分析.文獻(xiàn)[15]指出時(shí)間有限元方法求解ODE在有些情況下和有限差分方法是等價(jià)的，論文同時(shí)指出C-TFE求解哈密頓系統(tǒng)可以保證哈密頓函數(shù)的守恒.陳傳淼等[16-18]提出有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)，該方法顯示對(duì)線性哈密頓系統(tǒng)連續(xù)有限元方法可以保證哈密頓系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)以及哈密頓函數(shù)的守恒.有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)有著保能量守恒和保辛結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)，但是對(duì)有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)的相位誤

6、差，尚沒(méi)有文章進(jìn)行分析.鐘萬(wàn)勰[19-20]提出精細(xì)積分方法通過(guò)積累計(jì)算小量的技巧，有效地避免了計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中“大數(shù)吃小數(shù)”現(xiàn)象.曾進(jìn)等[21]針對(duì)哈密頓系統(tǒng)提出精細(xì)辛幾何算法，該克服了算法對(duì)積分時(shí)間步長(zhǎng)的依賴(lài)性，同時(shí)保證哈密頓系統(tǒng)的性質(zhì).徐明毅等[22]則對(duì)精細(xì)辛幾何算法的誤差進(jìn)行詳盡分析.本文提出的求解哈密頓系統(tǒng)精細(xì)辛有限元方法，這種方法結(jié)合有限元方法和精細(xì)方法的特點(diǎn).不增加計(jì)算工作量就能保證哈密頓系統(tǒng)的性質(zhì)(辛結(jié)構(gòu)和哈密頓函數(shù)守恒)同時(shí)極大的減少相位誤差.對(duì)高低混頻和剛性系統(tǒng)在大步長(zhǎng)下實(shí)現(xiàn)對(duì)高頻信號(hào)的精確仿真.數(shù)值結(jié)果令人滿(mǎn)意. 1哈密頓系統(tǒng) 考慮如下

7、哈密頓正則方程方程(1)對(duì)應(yīng)的哈密頓函數(shù) 2時(shí)間有限元的精細(xì)辛積分方法 2.1時(shí)間有限元方法的保辛和保能量特性利用時(shí)間有限元方法求解，線性哈密頓系統(tǒng)(2)正則方程及初始條件可以證明連續(xù)有限元方法是辛方法[15-16].同時(shí)，連續(xù)時(shí)間有限元方法同時(shí)可以保證能量守恒[15-16]. 2.2精細(xì)辛有限元方法的相位誤差及辛特性時(shí)間有限元方法求解(2)，能夠保持系統(tǒng)原有的辛性質(zhì)，因而在長(zhǎng)期定量計(jì)算中顯示出傳統(tǒng)算法不可比擬的優(yōu)點(diǎn)：守恒性和長(zhǎng)期跟蹤能力.但時(shí)間有限元方法都不可避免的產(chǎn)生相位誤差.雖然系統(tǒng)守恒性得到保持，但是，長(zhǎng)時(shí)間的計(jì)算相位誤差仍舊不理想.為了

8、進(jìn)一步提高計(jì)算精度，減少相位誤差，可以將精細(xì)辛積分方法[21]引入時(shí)間有限元的計(jì)算格式中.為了表述方便,記,時(shí)間一次元、二次元分別為T(mén)FE1和TFE2;本文提出的精細(xì)化時(shí)間有限元分別為HPD-FEM1和HPD-FEM2. 3數(shù)值算例 3.1橢圓型哈密頓系統(tǒng)因?yàn)樗憷木_解是個(gè)周期函數(shù)，單純的比較指定時(shí)刻的誤差值，比較片面.表1和表2所列誤差均是指在[0,1000s]內(nèi)所有單元節(jié)點(diǎn)誤差絕對(duì)值的最大值.從表1和表2可以看出本文提出的TFE1-HPD,TFE2-HPD和TFE[16]方法一樣可以保持哈密頓系統(tǒng)的能量守恒，但本文的方法具有極高的點(diǎn)態(tài)數(shù)值精度，即，漂移誤差

9、極小.相較FSJS[13],RKN[8-9]和SPRK[12]等設(shè)計(jì)的糾漂或者相位誤差極小化的方法，本文方法的相位誤差更小，而且本文算法克服了糾漂方法FSJS,RKN以及SPRK方法不能保證哈密頓系統(tǒng)的能量守恒的弱點(diǎn). 3.2高低混頻哈密頓系統(tǒng)對(duì)于高低混頻系統(tǒng)，文獻(xiàn)[23]指出數(shù)值方法的計(jì)算步長(zhǎng)和系統(tǒng)頻率之間必須滿(mǎn)足CFL條件，即hw≈1.這意味著對(duì)于高頻信號(hào)的仿真，數(shù)值上必須采用極小的步長(zhǎng).圖1和圖2是高頻信號(hào)的計(jì)算誤差圖，圖3和圖4是低頻信號(hào)誤差圖.從時(shí)域誤差圖可以看出HPD-FEM在大步長(zhǎng)下同時(shí)對(duì)高頻和低頻信號(hào)的精確仿真，計(jì)算誤差均在1012以下.這是現(xiàn)有方法所無(wú)法比擬的

10、.圖5是哈密頓函數(shù)的誤差圖，HPD-FEM方法同樣可以在大步長(zhǎng)的情況下，實(shí)現(xiàn)算法的保能量特性.精細(xì)化參數(shù)N,是HPD-FEM方法設(shè)計(jì)過(guò)程中引入的參量.圖6是不同的精細(xì)化參數(shù)，時(shí)域上計(jì)算誤差最大值.從圖6，對(duì)于高頻信號(hào)p1q1,較小的參數(shù)N，對(duì)于計(jì)算精度提高不大.可以看出參數(shù)N越大，計(jì)算的精度越高，但N>60，N的增加對(duì)計(jì)算誤差的影響極小.同時(shí)較大的參數(shù)也會(huì)引入計(jì)算機(jī)舍入誤差以及較多的計(jì)算量.所以，在計(jì)算過(guò)程中，需要選擇合適的N.根據(jù)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，參數(shù)N和系統(tǒng)的剛性有關(guān)，剛性越大，N就越大.表3可以看出HPD-FEM方法可以在大步長(zhǎng)下實(shí)現(xiàn)對(duì)剛性系統(tǒng)的精確仿真.這是其他方法所沒(méi)有的特性. 4結(jié)論 精細(xì)辛有限元方法繼承了有限元方法在求解哈密頓系統(tǒng)中保辛和保能量的優(yōu)良特性，同時(shí)，極大的減少相位漂移誤差，幾乎達(dá)到機(jī)器精度.對(duì)于高低混頻或者剛性系統(tǒng)，HPD-FEM方法可以在較大步長(zhǎng)下實(shí)現(xiàn)對(duì)高低頻信號(hào)的精確仿真.數(shù)值結(jié)果令人滿(mǎn)意，具有廣泛的工程實(shí)踐價(jià)值.