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1、數(shù) 學(xué) 分 析 電 子 講 義 黃 淮 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 系 數(shù) 學(xué) 分 析 第九章 定積分 第二節(jié) 微積分學(xué)基本公式 主講：師建國(guó) 二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、牛頓 萊布尼茲公式 一、引例 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 主 要 內(nèi) 容 一、引例 在變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中 , 已知位置函數(shù) 與速度函數(shù) 之間有關(guān)系 : )()( tvts 物體在時(shí)間間隔 內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為 )()(d)( 122 1 TsTsttvTT 這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 則變上限函數(shù) xa ttfx d)()( 證 : , ba

2、xxx 則有 x xxx )()( xxx ttfx d)(1 )(f )( xxx x xxx x )()(lim 0 )(lim)(lim 0 ff xx )(xf)(x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理 1. 若 )(xfy xbao y )(x x xx 說(shuō)明 : 1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 . 2) 變限積分求導(dǎo) : )( d)(dd xa ttfx )()( xxf 同時(shí)為 通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分開(kāi)辟了道路 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )( )( d)(dd xx ttfx )()()()( xxfxxf )( )( d)(d)(d d x a

3、 a x ttfttfx ttftxf x d)()( 0 例 1. 證明 在 內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證 : 20 d)( ttfx ttfxfx x d()( 0 20 d)( ttfx ttfxf x d)()( 0)( tx 0 只要證 0)( xF 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 20 d)( ttfx xfx )()( )(xf )0( x 三、牛頓 萊布尼茲公式 )()(d)( aFbFxxfba ( 牛頓 - 萊布尼茲公式 ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證 : 根據(jù)定理 1, 故 CxxfxF xa d)()( 因此 )()(d)( aFxFxxfxa 得 記作 定

4、理 2. 函數(shù) , 則 1)定理 2揭示了微分與積分以及定積分與不定積分之 間的內(nèi)在聯(lián)系，稱(chēng)為微積分學(xué)基本定理。 4)一定要注意公式的條件 ,否則計(jì)算會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。 如： 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2)關(guān)于 f(x)連續(xù)性的條件可以減弱為 可積性 。 3)用定理 2求定積分有一定的局限性。 說(shuō)明 ： 例 2. 計(jì)算正弦曲線(xiàn) 的面積 . 解 : 0 dsi n xxA xcos 0 1 1 2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 y o x xy sin 內(nèi)容小結(jié) ,)()(,)( xfxFbaCxf 且設(shè) 則有 1. 微積分基本公式 xxfba d)( 積分中值定理 )( abF )()( aFbF 微分中值定理 )( abf 牛頓 萊布尼茲公式 2. 變限積分求導(dǎo)公式 公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè) 第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P309 2; 3 ; 4 (1) , (2) , (3) ; 5 數(shù) 學(xué) 分 析 電 子 講 義 黃 淮 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 系