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1、綜合仿真練(四)
1.已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},則集合A∪B中的元素的個數(shù)為________.
解析:集合A={1,2,3},B={2,4,5},則A∪B={1,2,3,4,5},所以A∪B中元素的個數(shù)為5.
答案:5
2.復數(shù)z=(其中i是虛數(shù)單位),則復數(shù)z的共軛復數(shù)為________.
解析:z===1+i,則復數(shù)z的共軛復數(shù)為1-i.
答案:1-i
3.如圖是一個算法的流程圖,則輸出的k的值為________.
解析:閱讀流程圖,當k=2,3,4,5時,k2-7k+10≤0,一直進行循環(huán),當k=6時,k2-7k+10>0,此時終止循環(huán),輸出k=
2、6.
答案:6
4.一個袋子中裝有2個紅球和2個白球(除顏色外其余均相同),現(xiàn)從中隨機摸出2個球,則摸出的2個球中至少有1個是紅球的概率為________.
解析:從2個紅球和2個白球中隨機摸出2個球,共有6種結果,其中摸出的2個球中沒有紅球的結果有1種,則摸出的2個球中至少有1個是紅球的概率為1-=.
答案:
5.雙曲線-=1的右焦點與左準線之間的距離是____________.
解析:由已知得,雙曲線的右焦點為(3,0),左準線方程為x=-,所以右焦點與左準線之間的距離是3-=.
答案:
6.下表是關于青年觀眾的性別與是否喜歡戲劇的調查數(shù)據(jù),人數(shù)如表所示:
不喜歡戲
3、劇
喜歡戲劇
男性青年觀眾
40
10
女性青年觀眾
40
60
現(xiàn)要在所有參與調查的人中用分層抽樣的方法抽取n個人做進一步的調研,若在“不喜歡戲劇的男性青年觀眾”的人中抽取了8人,則n的值為________.
解析:由題意,得=,所以n=30.
答案:30
7.(2019高郵中學模擬)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心為M(x0,y0),記函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f ′(x),f ′(x)的導函數(shù)為f ″(x),則有f ″(x0)=0.若函數(shù)f(x)=x3-3x2,則f+f+f+…+f+f=________.
解析:由f(x)=x3-3x
4、2得f ′(x)=3x2-6x,f ″(x)=6x-6,又f ″(x0)=0,所以x0=1且f(1)=-2,即函數(shù)f(x)的對稱中心為(1,-2),即f(x)+f(2-x)=-4.令S=f+f+f+…+f+f,則S=f+f+…+f+f+f,所以2S=4 037(-4)=-16 148,S=-8 074.
答案:-8 074
8.底面邊長為2,側棱長為的正四棱錐的體積為________.
解析:取點O為底面ABCD的中心,則SO⊥平面ABCD,取BC的中點E,連結OE,SE,則OE=BE=1,在Rt△SBE中,SE==,在Rt△SOE中,SO==1,從而該正四棱錐的體積V=S四邊形ABCD
5、SO=221=.
答案:
9.若直線l1:2x-y+4=0,直線l2:2x-y-6=0都是⊙M:(x-a)2+(y-1)2=r2的切線,則⊙M的標準方程為________________________.
解析:根據(jù)題意,l1∥l2,且l1,l2都是⊙M:(x-a)2+(y-1)2=r2的切線,則直線l1與直線l2之間的距離就是⊙M的直徑,即d=2r,而d==2,則r=,且圓心(a,1)在直線2x-y+=0,即2x-y-1=0上,則有2a-1-1=0,解得a=1,即圓心的坐標為(1,1),則⊙M的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=5.
答案:(x-1)2+(y-1)2=5
10.
6、若a>0,b>0,且+=1,則a+2b的最小值為________.
解析:由已知等式得2a+2b+1=2ab+2a+b2+b,從而a=,所以a+2b=+2b=+b+≥+2=,當且僅當b=時等號成立,故a+2b的最小值為.
答案:
11.已知cos=,θ∈,則sin2θ-=________.
解析:由θ∈知θ+∈.
又cosθ+=,
所以sin=.
令θ+=α,
則sin α=,cos α=,
于是sin 2α=2sin αcos α=,
cos 2α=2cos2α-1=-,
故sin=sin =sin=(-sin 2α-cos 2α)==.
答案:
12.已知函數(shù)f(
7、x)=若對任意的x∈R,不等式f(x)≤m2-m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為________________.
解析:由題意知,m2-m≥f(x)max.當x>1時,f(x)=logx是減函數(shù),且f(x)<0;當x≤1時,f(x)=-x2+x,其圖象的對稱軸方程是x=,且開口向下,
∴f(x)max=-+=.∴m2-m≥,
即4m2-3m-1≥0,∴m≤-或m≥1.
答案:∪[1,+∞)
13.(2019如東模擬)如圖,已知AC=2,B為AC的中點,分別以AB,AC為直徑在AC同側作半圓,M,N分別為兩半圓上的動點(不含端點A,B,C),且BM⊥BN,則的最大值為________.
8、
解析:法一:由題設可知AB=BC=BN=1.
因為點M在以AB為直徑的半圓上,所以AM⊥BM,又BM⊥BN,所以AM∥BN,若設∠MAB=θ,則∠NBC=θ.如圖,建立平面直角坐標系xBy,則點A(-1,0),M(-sin2θ,sin θcos θ),C(1,0),N(cos θ,sin θ),所以=(-sin2 θ+1,sin θcos θ)=(cos2θ,sin θcos θ),=(cos θ-1,sin θ).于是,=cos2θ(cos θ-1)+sin2θcos θ=cos3θ-cos2θ+(1-cos2θ)cos θ
=-cos2θ+cos θ=-2.
又易知0<θ<,所以,
9、當θ=時,可得的最大值為.
法二:如圖,建立平面直角坐標系xBy,設直線BN的方程為y=kx(k>0),則因為BM⊥BN,所以直線BM的方程為y=-x.點N是直線BN與以AC為直徑的半圓的交點,所以將y=kx與x2+y2=1聯(lián)立,可求得點N的坐標為.點M是直線BM與以AB為直徑的半圓的交點,所以將y=-x與2+y2=聯(lián)立,可求得點M的坐標為.又點A(-1,0),C(1,0),所以向量=,=,所以=+==-=-2,故當=,即k=時,可得的最大值為.
法三:由題設可知AB=BC=BN=1,
因為點M在以AB為直徑的半圓上,所以AM⊥BM,又BM⊥BN,所以AM∥BN,
所以=||1co
10、s 0=||.
因為AM⊥BM,AB=1,所以||=1cos∠MAB=cos∠MAB,所以==||1cos∠MAB=||2.
于是,=(-)=-
=||-||2=-2.
又0<||<1,所以,當||=時,
可得的最大值為.
法四:如圖,分別延長AM,CN,設其交點為E,并設ME與大半圓的交點為D,連接CD,則易知AM⊥MB,AD⊥DC,所以BM∥CD,又B為AC的中點,
所以M為AD的中點,所以=.又易知∥,且B為AC的中點,所以N為CE的中點,所以=.于是,==(+)=+=0+||||cos 0=||||.因為BN為△ACE的中位線,所以||+||=||=2||=2.從而,
11、=||||≤2=2=,當且僅當||=||,即D為AE的中點時不等式取等號.故所求的最大值為.
法五:如圖,以BC為直徑畫半圓,交BN于點D,連接CD,則BD⊥CD.又易知AM∥BD,且AM=BD,所以=(+)=+=0+||||cos 0=||||≤2=2=,當且僅當||=||,即D為BN中點時不等式取等號.故所求的最大值為.
答案:
14.(2019靖江中學模擬)若關于x的方程=x有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是________.
解析:法一:由題意知,當k=0時,原方程僅有一個解,不符合題意,∴k≠0.
=x可化為k|x+1|=x(x-2)(x≠2),
令y1=k|
12、x+1|(x≠2),y2=x(x-2)(x≠2),
分k>0,k<0兩種情況,分別在平面直角坐標系內作出兩個函數(shù)的大致圖象,如圖所示.
①k>0時,易知當x≥-1時,函數(shù)y1=k|x+1|的圖象與y2=x(x-2)的圖象有兩個不同的交點.當x<-1時,設y1=-k(x+1)的圖象與y2=x(x-2)的圖象相切,令-k(x+1)=x(x-2),即x2+(k-2)x+k=0,由Δ=(k-2)2-4k=0,得k=42(在圖2中作出k=4+2時,y1=k|x+1|的大致圖象),由圖2可知,k=4+2,且當k>4+2時,在x∈(-∞,-1)上,兩個函數(shù)的圖象又有兩個不同的交點,故兩個函數(shù)的圖象共
13、有四個不同的交點,與方程=x有兩個不相等的實數(shù)根矛盾,不符合題意,故僅當00時,t+-4≥2-4,當且僅當t=時等號成立,
∴由圖象可知,當2-4