《(江蘇專(zhuān)用)2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 綜合仿真練(二)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專(zhuān)用)2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 綜合仿真練(二)(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、綜合仿真練(二)
1.(2019金陵中學(xué)模擬)如圖,在四棱錐S ABCD中,底面ABCD是平行四邊形.已知平面SAB⊥平面SBC,AS⊥BS,M為線段SC的中點(diǎn).
(1)求證:AS∥平面BDM;
(2)若BS=BC,求證:BM⊥AC.
證明:(1)設(shè)AC,BD交點(diǎn)為O,連接OM.
∵底面ABCD是平行四邊形
∴O為AC的中點(diǎn)
∵M(jìn)為線段SC的中點(diǎn),∴OM∥AS
∵OM?平面BDM,AS?平面BDM
∴AS∥平面BDM.
(2)∵平面SAB⊥平面SBC,
平面SAB∩平面SBC=BS,
AS⊥BS,AS?平面SAB
∴AS⊥平面SBC
又∵BM?平面SBC,∴AS
2、⊥BM
∵BS=BC,M為線段SC的中點(diǎn) ∴BM⊥SC
又AS∩SC=S,AS,SC?平面SAC ∴BM⊥平面SAC
∵AC?平面SAC ∴BM⊥AC.
2.已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知向量m=,n=(c,b-2a),且mn=0.
(1)求角C的大??;
(2)若△ABC的面積為2,a+b=6,求c.
解:(1)∵由已知可得m=(cos B,cos C),n=(c,b-2a),mn=0,
∴ccos B+(b-2a)cos C=0,∴sin Ccos B+(sin B-2sin A)cos C=0,即sin A=2sin Acos C,
∵sin
3、A≠0,∴cos C=,又∵C∈(0,π),∴C=.
(2)∵S△ABC=absin C=2,∴ab=8,
又c2=a2+b2-2abcos C,即(a+b)2-3ab=c2,
∴c2=12,故c=2.
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓+=1(a>b>0)的焦距為2,離心率為,橢圓的右頂點(diǎn)為A.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)D(,-)作直線PQ交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q,求證:直線AP,AQ的斜率之和為定值.
解:(1)由已知得c=1,又e==,
則a=,b2=a2-c2=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)證明:設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-)-,P(x
4、1,y1),Q(x2,y2),
由消去y,整理得(2k2+1)x2-(4k2+4k)x+4k2+8k+2=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
所以y1+y2=k(x1+x2)-2k-2=,
又A(,0),所以kAP+kAQ=+
=,
由y1x2+y2x1=[k(x1-)- ]x2+[k(x2-)- ]x1=2kx1x2-(k+)(x1+x2)=-,
故kAP+kAQ=
==1,
所以直線AP,AQ的斜率之和為定值1.
4.如圖所示,某公路AB一側(cè)有一塊空地△OAB,其中OA=3 km,OB=3 km,∠AOB=90.當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在中間開(kāi)挖一個(gè)人工湖△OMN,其中M,N都在邊
5、AB上(M,N不與A,B重合,M在A,N之間),且∠MON=30.
(1)若M在距離A點(diǎn)2 km處,求點(diǎn)M,N之間的距離;
(2)為節(jié)省投入資金,人工湖△OMN的面積要盡可能小.試確定M的位置,使△OMN的面積最小,并求出最小面積.
解:(1)在△OAB中,因?yàn)镺A=3,OB=3,∠AOB=90,所以∠OAB=60.
在△OAM中,由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AOAMcos A=7,所以O(shè)M=,
所以cos∠AOM==,
在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90)=cos∠AOM=.
在△OMN中,由=,得MN==.
(2)法一:
6、設(shè)AM=x,0<x<3.
在△OAM中,由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AOAMcos A=x2-3x+9,
所以O(shè)M=,
所以cos∠AOM==,
在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)
=sin(∠AOM+90)=cos∠AOM= .
由=,得ON==.
所以S△OMN=OMONsin∠MON
=
=,0<x<3.
令6-x=t,則x=6-t,3<t<6,
則S△OMN==
≥=.
當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=3,x=6-3時(shí)等號(hào)成立,S△OMN的最小值為.
所以M的位置為距離A點(diǎn)6-3 km處,
可使△OMN的面積最小,
最小面積是 km2.
7、
法二:設(shè)∠AOM=θ,0<θ<,在△OAM中,
由=,得OM=
在△OAN中,由=,
得ON==.
所以S△OMN=OMONsin∠MON
=
==
=
=,0<θ<.
當(dāng)2θ+60=90,即θ=15時(shí),S△OMN的最小值為.所以應(yīng)設(shè)計(jì)∠AOM=15,可使△OMN的面積最小,最小面積是 km2.
5.已知數(shù)列{ai}共有m(m≥3)項(xiàng),該數(shù)列前i項(xiàng)和為Si,記ri=2Si-Sm(i≤m,i∈N*).
(1)當(dāng)m=10時(shí),若數(shù)列{ai}的通項(xiàng)公式為ai=2i+1,求數(shù)列{ri}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{ri}的通項(xiàng)公式為ri=2i(i≤m,i∈N*),
①求數(shù)列
8、{ai}的通項(xiàng)公式;
②數(shù)列{ai}中是否存在不同的三項(xiàng)按一定次序排列構(gòu)成等差數(shù)列,若存在求出所有的項(xiàng),若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)因?yàn)镾i=i=i2+2i, 所以由題意得ri=2Si-S10=2i2+4i-120(i≤10,i∈N*).
(2)①因?yàn)閞i=2Si-Sm=2i,
ri+1=2Si+1-Sm=2i+1,
兩式相減得ai+1=2i-1,所以數(shù)列{ai}從第2項(xiàng)開(kāi)始是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
即ai=2i-2(2≤i≤m,i∈N*).
又2a1=2+Sm,即a1=2+(a2+a3+…+am)=2+=2m-1+1.
所以數(shù)列{ai}的通項(xiàng)公式為ai=
②
9、數(shù)列{ai}中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列,理由如下:
因?yàn)閿?shù)列{ai}從第2項(xiàng)開(kāi)始是以2為公比的等比數(shù)列,所以若存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列,不妨設(shè)為ap,aq,ar(2≤p
10、aq≤am2m-1,所以該情況下也無(wú)解.
因此,數(shù)列{ai}中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
6.(2019泰州中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=,g(x)=1-ax2(a∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當(dāng)0
11、′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減
所以當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)存在極大值f(0)=1,無(wú)極小值.
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=+ax2-1,
h′(x)=-+2ax=2ax
∵01,即ln>0,令h′(x)=0,解得x=0或x=ln
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增
又h(0)=0,h0,
函數(shù)h(x)在R上連續(xù),所以h(x)有一個(gè)零點(diǎn)0,且在上有一個(gè)零點(diǎn)
12、,即函數(shù)h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)
∴當(dāng)00,h(x)單調(diào)遞增∴h(x)min=h(0)=0,∴當(dāng)x≥-1時(shí),h(x)≥0恒成立;
②當(dāng)-10,h(x)單調(diào)遞增;x∈,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;x∈(0,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(
13、x)單調(diào)遞增
∴h(x)min=min{h(0),h(-1)}
∵h(yuǎn)(0)=0,h(-1)=a-1≥0,∴當(dāng)x≥-1時(shí),h(x)≥0恒成立;
綜上:當(dāng)a≥1時(shí),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈[-1,+∞),h(x)≥0恒成立,即不等式f(x)≥g(x)恒成立.
法二:由(2)知,即證:當(dāng)a≥1時(shí),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈[-1,+∞),不等式h(x)≥0恒成立.
①在x≥0時(shí),∵a≥1,∴0<≤,又x≥0,ex≥1得h′(x)≥0,
∴h(x)為在[0,+∞)上是增函數(shù),故h(x)≥h(0)=0;
②在-1≤x≤0時(shí),由于a≥1,所以ax2-1≥x2-1
要證明h(x)≥0成立,即證+x2-1≥0,
也即證(x+1)≥0
由于x+1≥0,只需證+x-1≥0
不妨令m(x)=+x-1,m′(x)=1-=由-1≤x≤0,得m′(x)≤0且不恒為0,所以m(x)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞減,m(x)≥m(0)=0,從而+x-1≥0得證.
綜上,當(dāng)a≥1時(shí),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈[-1,+∞),h(x)≥0恒成立,即不等式f(x)≥g(x)恒成立.
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