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大學物理第一章習題解答

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1、第一章 運動學 1.4 一個正在沿直線行駛的汽船,關閉發(fā)動機后,由于阻力得到一個與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度,即dv/dt = -kv2,k為常數(shù). (1)試證在關閉發(fā)動機后,船在t時刻的速度大小為; (2)試證在時間t內(nèi),船行駛的距離為. [證明](1)分離變量得, 積分 , 可得 . (2)公式可化為, 由于v = dx/dt,所以 積分 . 因此 . 證畢. 1.5 一質點沿半徑為0.10m的圓周運動,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:θ = 2 + 4t3.求: (1)t = 2s時,它的法向加

2、速度和切向加速度; (2)當切向加速度恰為總加速度大小的一半時,θ為何值? (3)在哪一時刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值? [解答](1)角速度為 ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rads-1), 法向加速度為 an = rω2 = 230.4(ms-2); 角加速度為 β = dω/dt = 24t = 48(rads-2), 切向加速度為 at = rβ = 4.8(ms-2). (2)總加速度為a = (at2 + an2)1/2, 當at = a/2時,有4at2 = at2 + an2,即 . 由此得, 即 , 解

3、得 . 所以 =3.154(rad). (3)當at = an時,可得rβ = rω2, 即 24t = (12t2)2, 解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s). 1.8 一升降機以加速度1.22ms-2上升,當上升速度為2.44ms-1時,有一螺帽自升降機的天花板上松落,天花板與升降機的底面相距2.74m.計算: (1)螺帽從天花板落到底面所需的時間; (2)螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離. [解答]在螺帽從天花板落到底面時,升降機上升的高度為 ; 螺帽做豎直上拋運動,位移為 . 由題意得h = h1 - h2,所

4、以 , 解得時間為 = 0.705(s). 算得h2 = -0.716m,即螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離為0.716m. [注意]以升降機為參考系,釘子下落時相對加速度為a + g,而初速度為零,可列方程 h = (a + g)t2/2, 由此可計算釘子落下的時間,進而計算下降距離. 1.10 如圖所示,一汽車在雨中沿直線行駛,其速度為v1,下落雨的速度方向與鉛直方向的夾角為θ,偏向于汽車前進方向,速度為v2.今在車后放一長方形物體,問車速v1為多大時此物體剛好不會被雨水淋濕? v1 h l v2 θ v3 α α v⊥ [解答]雨對地的速度等于

5、雨對車的速度加車對地的速度,由此可作矢量三角形.根據(jù)題意得tanα = l/h. 方法一:利用直角三角形.根據(jù)直角三角形得 v1 = v2sinθ + v3sinα, 其中v3 = v⊥/cosα,而v⊥ = v2cosθ, 因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα, 即 . 證畢. 方法二:利用正弦定理.根據(jù)正弦定理可得 , 所以 , 即 . 方法三:利用位移關系.將雨滴的速度分解為豎直和水平兩個分量,在t時間內(nèi),雨滴的位移為 l = (v1 – v2sinθ)t, h = v2cosθ?t. 兩式消去時間t即得所求. 證畢.

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