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1、 必修五知識點(diǎn)總結(jié) 《必修五 知識點(diǎn)總結(jié)》 第一章：解三角形知識要點(diǎn) 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，，則有 (為的外接圓的半徑) 2、正弦定理的變形公式： ①，，； ②，，； ③； 3、三角形面積公式：． 4、余弦定理：在中，有，推論： ，推論： ，推論： 二、解三角形 處理三角形問題，必須結(jié)合三角形全等的

2、判定定理理解斜三角形的四類基本可解型，特別要多角度（幾何作圖，三角函數(shù)定義，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“邊邊角”型問題可能有兩解、一解、無解的三種情況，根據(jù)已知條件判斷解的情況，并能正確求解 1、三角形中的邊角關(guān)系 （1）三角形內(nèi)角和等于180； （2）三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊； （3）三角形中大邊對大角，小邊對小角； （4）正弦定理中,a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC，其中R是△ABC外接圓半徑. （5）在余弦定理中:2bccosA=. （6）三角形的面積公式有:S=ah, S=absinC=bcsin

3、A=acsinB , S=其中，h是BC邊上高，P是半周長. 2、利用正、余弦定理及三角形面積公式等解任意三角形 （1）已知兩角及一邊，求其它邊角，常選用正弦定理. （2）已知兩邊及其中一邊的對角，求另一邊的對角，常選用正弦定理. （3）已知三邊，求三個(gè)角，常選用余弦定理. （4）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角，常選用余弦定理. （5）已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個(gè)角，常選用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判斷三角形的形狀 常用方法是：①化邊為角；②化角為邊. 4、三角形中的三角變換 （1）角的變換 因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+

4、C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； （2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。 r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半 （3）在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列. 三、解三角形的應(yīng)用 1.坡角和坡度： 坡面與水平面的銳二面角叫做坡角，坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度，用表示，根據(jù)定義可知：坡度是坡角的正切，即. 2.俯角和仰角： 如圖所示，在同一鉛垂面

5、內(nèi)，在目標(biāo)視線與水平線所成的夾角中，目標(biāo)視線在水平視線的上方時(shí)叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線的下方時(shí)叫做俯角. 3. 方位角 從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為. 注：仰角、俯角、方位角的區(qū)別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的。 4. 方向角： 相對于某一正方向的水平角. 5.視角： 由物體兩端射出的兩條光線，在眼球內(nèi)交叉而成的角叫做視角. 第二章：數(shù)列知識要點(diǎn) 一、數(shù)列的概念 1、數(shù)列的概念： 一般地，按一定次序排列成一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列

6、的一般形式可以寫成，簡記為數(shù)列，其中第一項(xiàng)也成為首項(xiàng)；是數(shù)列的第項(xiàng)，也叫做數(shù)列的通項(xiàng). 數(shù)列可看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大取值時(shí)，該函數(shù)對應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個(gè)數(shù)列. 2、數(shù)列的分類： 按數(shù)列中項(xiàng)的多數(shù)分為： （1） 有窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為有限個(gè)，即項(xiàng)數(shù)有限； （2） 無窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為無限個(gè)，即項(xiàng)數(shù)無限. 3、通項(xiàng)公式： 如果數(shù)列的第項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式. 4、數(shù)列的函數(shù)特征： 一般地，一個(gè)數(shù)列， 如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于

7、它前面的一項(xiàng)，即，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞增數(shù)列; 如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，即，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞減數(shù)列; 如果數(shù)列的各項(xiàng)都相等，那么這個(gè)數(shù)列叫做常數(shù)列. 5、遞推公式： 某些數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，這個(gè)關(guān)系用一個(gè)公式來表示，叫做遞推公式． 二、等差數(shù)列 1、等差數(shù)列的概念： 如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列久叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差. 即（常數(shù)），這也是證明或判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的依據(jù). 2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則通項(xiàng)公式為： . 3、等差中項(xiàng)：

8、 （1）若成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且; （2）若數(shù)列為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，即是與的等差中項(xiàng)，且；反之若數(shù)列滿足，則數(shù)列是等差數(shù)列. 4、等差數(shù)列的性質(zhì)： （1）等差數(shù)列中，若則，若則； （2）若數(shù)列和均為等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列； （3）等差數(shù)列的公差為，則 為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，為常數(shù)列. 5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和： （1）數(shù)列的前n項(xiàng)和=； （2）數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系： （3）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差為，則前n項(xiàng)和 6、等差數(shù)列前n和的性質(zhì)： （1）等差數(shù)列中，連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等差數(shù)列，即 ,仍為等差數(shù)列（即成等差數(shù)列）；

9、 （2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，可看作關(guān)于n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)； （3）若等差數(shù)列共有2n+1（奇數(shù)）項(xiàng)，則若等差數(shù)列共有2n（偶數(shù)）項(xiàng)，則 7、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題： 設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差為，則 （1）（即首正遞減）時(shí)，有最大值且的最大值為所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)之和； （2）（即首負(fù)遞增）時(shí)，有最小值且的最小值為所有非正數(shù)項(xiàng)之和. 三、等比數(shù)列 1、等比數(shù)列的概念： 如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)不為零的常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示（）. 即，這也是證明或判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的依據(jù)

10、. 2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： 設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則通項(xiàng)公式為：. 3、等比中項(xiàng)： （1）若成等比數(shù)列，則叫做與的等比中項(xiàng)，且; （2）若數(shù)列為等比數(shù)列，則成等比數(shù)列，即是與的等比中項(xiàng)，且；反之若數(shù)列滿足，則數(shù)列是等比數(shù)列. 4、等比數(shù)列的性質(zhì)： （1）等比數(shù)列中，若則，若則； （2）若數(shù)列和均為等比數(shù)列，則數(shù)列也為等比數(shù)列； （3）等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則 為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列， 為常數(shù)列. 5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和： （1）數(shù)列的前n項(xiàng)和=； （2）數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系： （3）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則 由等比數(shù)列

11、的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可知，已知中任意三個(gè)，便可建立方程組求出另外兩個(gè). 6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)： 設(shè)等比數(shù)列中，首項(xiàng)為，公比為，則 （1）連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等比數(shù)列，即,仍為等比數(shù)列（即成等差數(shù)列）； （2）當(dāng)時(shí)，， 設(shè)，則. 四、遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法總結(jié) 1、遞推數(shù)列的概念： 一般地，把數(shù)列的若干連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系叫做遞推關(guān)系，把表達(dá)遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式，而把由遞推公式和初始條件給出的數(shù)列叫做遞推數(shù)列. 2、兩個(gè)恒等式： 對于任意的數(shù)列恒有： （1） （2） 3、遞推數(shù)列的類型以及求通項(xiàng)方法總結(jié)： 類型一（公式法）：已知（即）求，用

12、作差法： 類型二（累加法）：已知：數(shù)列的首項(xiàng),且，求. 給遞推公式中的n依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1個(gè)式子： 利用公式可得： 類型三（累乘法）：已知：數(shù)列的首項(xiàng),且，求. 給遞推公式中的n一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1個(gè)式子： 利用公式可得： 類型四（構(gòu)造法）：形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。 ①解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。 ②解法：該類型較要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用的方法解決。

13、 類型五（倒數(shù)法）：已知：數(shù)列的首項(xiàng),且，求. 設(shè)， 若則，即數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列. 若則（轉(zhuǎn)換成類型四①）. 五、數(shù)列常用求和方法 1.公式法 直接應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，以及正整數(shù)的平方和公式，立方和公式等公式求解. 2.分組求和法 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減. 3.裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)和就變成了首尾少數(shù)項(xiàng)之和. 4.錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)

14、列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的，此時(shí)可把式子的兩邊同乘以公比，得到，兩式錯(cuò)位相減整理即可求出. 5、常用公式： 1、平方和公式： 2、立方和公式： 3、裂項(xiàng)公式： 六、數(shù)列的應(yīng)用 1、零存整取模型： 銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務(wù),即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和,這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利. 注：單利的計(jì)算是僅在原本金上計(jì)算利息,對本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息.其公式為:利息=本金利率存期.以符號p代表本金,n代表存期,r代表利率,s代表本金和利息和(即本利和),則有s=p(1+nr). 零存整取是等差

15、數(shù)列求和在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用. 2、定期自動轉(zhuǎn)存模型： 銀行有一種儲蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動轉(zhuǎn)存.例如,儲戶某日存入一筆1年期定期存款,1年后,如果儲戶不取出本利和.則銀行自動辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù),第2年的本金就是第1年的本利和. 注：復(fù)利是把上期末的本利和作為下一期的本金,在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的.復(fù)利的計(jì)算公式是:s=p(1+r)n. 定期自動轉(zhuǎn)存（復(fù)利）是等比數(shù)列求和在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用. 3、分期付款模型： 分期付款要求每次付款金額相同外,各次付款的時(shí)間間隔也相同.分期付款總額要大于一次性付款總額,二者的差額與分多少次付款有關(guān),且付款的次數(shù)越少,差額越大.分期付款是等比數(shù)列的模

16、型. 采用分期付款的方法，購買售價(jià)為a元的商品（或貸款a元），，每期付款數(shù)相同，購買后1個(gè)月（或1年）付款一次，如此下去，到第n次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）為b，按復(fù)利計(jì)算，那么每期付款x元滿足下列關(guān)系： 設(shè)第n次還款后，本利欠款數(shù)為，則 由知， 數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. . 令得：， 第三章：不等式知識要點(diǎn) 一、不等式的解法 1、不等式的同解原理： 原理1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得不等式與原不等式是同解不等式； 原理2：不等式的兩邊都乘以（或除

17、以）同一個(gè)正數(shù)或同一個(gè)大于零的整式，所得不等式與原不等式是同解不等式； 原理3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)或同一個(gè)小于零的整式，并把不等式改變方向后所得不等式與原不等式是同解不等式。 2、一元二次不等式的解法： 一元二次不等式的解集的端點(diǎn)值是對應(yīng)二次方程的根，是對應(yīng)二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 二次函數(shù) （） 的圖象 有兩相異實(shí)根 有兩相等實(shí)根 無實(shí)根 注意： （1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)； （2）表中不等式的二次系數(shù)均為

18、正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二　 　　　次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決； （3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集。 3、一元高次不等式的解法： 解高次不等式的基本思路是通過因式分解，將它轉(zhuǎn)化成一次或二次因式的乘積的形式，然后利用數(shù)軸標(biāo)根法或列表法解之。 數(shù)軸標(biāo)根法原則：（1）“右、上”（2）“奇過，偶不過” 4、分式不等式的解法： （1）若能判定分母（子）的符號，則可直接化為整式不等式。 （2）若不能判定分母（子）的符號，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化： 5、指數(shù)、對數(shù)不等式的解法： （1） （2） 6、含絕

19、對值不等式的解法： 對于含有多個(gè)絕對值的不等式，利用絕對值的意義，脫去絕對值符號。 二、基本不等式 1、基本不等式： 若，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立． 稱為正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù)． 變形應(yīng)用：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立． 2、基本不等式推廣形式： 如果，則≥≥≥，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立． 3、基本不等式的應(yīng)用：設(shè)、都為正數(shù)，則有： ⑴若（和為定值），則當(dāng)時(shí)，積取得最大值． ⑵若（積為定值），則當(dāng)時(shí)，和取得最小值． 注意：在應(yīng)用的時(shí)候，必須注意“一正二定三相等”三個(gè)條件同時(shí)成立。 4、常用不等式： 三、簡

20、單的線性規(guī)劃問題 1、二元一次不等式表示平面區(qū)域: 在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P（x0，y0） B＞0時(shí)，①Ax0+By0+C＞0，則點(diǎn)P（x0，y0）在直線的上方；②Ax0+By0+C＜0，則點(diǎn)P（x0，y0）在直線的下方 對于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），無論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項(xiàng)的系數(shù)變形為正數(shù) 當(dāng)B＞0時(shí)，①Ax+By+C＞0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；②Ax+By+C＜0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域 2、線性規(guī)劃: 求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，

21、統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題 滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類似函數(shù)的定義域）；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題 3、線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下： （1）根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y； （2）找出線性約束條件； （3）確定線性目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y）； （4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）； （5）利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系f（x，y）=t（t為參數(shù)）； （6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案

22、 四、典型解題方法總結(jié) 1、線性目標(biāo)函數(shù)問題 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是線性關(guān)系式如（）時(shí)，可把目標(biāo)函數(shù)變形為， 則可看作在上的截距，然后平移直線法是解決此類問題的常用方法，通過比較目標(biāo)函數(shù)與線性約束條件直線的斜率來尋找最優(yōu)解，一般步驟如下： （1）做出可行域; （2）平移目標(biāo)函數(shù)的直線系,根據(jù)斜率和截距,求出最優(yōu)解. 【例1】設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 2、非線性目標(biāo)函數(shù)問題的解法 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)時(shí)非線性函數(shù)時(shí)，一般要借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后根據(jù)其幾何意義，數(shù)形結(jié)合，來求其最優(yōu)解。近年來，在高考中出現(xiàn)了求目標(biāo)函數(shù)是非線性

23、函數(shù)的范圍問題.這些問題主要考察的是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,出題形式越來越靈活,對考生的能力要求越來越高.常見的有以下幾種： （1）比值問題 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如時(shí),可把z看作是動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線斜率的最值。 【例2】已知變量x，y滿足約束條件則 的取值范圍是（ ）. （A）[，6] （B）（－∞，]∪[6，＋∞） （C）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D）[3，6] （2）距離問題 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如時(shí),可把z看作是動點(diǎn)與定點(diǎn)距離的平方，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就

24、轉(zhuǎn)化為PQ距離平方的最值。 【例3】已知求x2＋y2的最大值與最小值. （3）截距問題 【例4】不等式組表示的平面區(qū)域面積為81，則的最小值為_____ （4）向量問題 【例5】已知點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿足：及A（2，0），則的最大值是 . 3、線性變換問題 【例6】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A＝{（x，y）|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B＝{（x＋y，x－y）|（x，y）∈A}的面積為 . 4、線性規(guī)劃的逆向問題 【例7】給出平面區(qū)域如圖所示.若當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝ 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝ax－y取最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范 圍是 . - 19 -