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1、第二章 質(zhì)點(diǎn)動力學(xué) (2) 2.3 動 能 力對時間的積累 動量 的變化 力對空間的積累 狀態(tài)量？ 的變化 沖量 ？ 力矩對時間的積累 角沖量 角動量 的變化 c o sdc o sd d sF|r|F rFAd 一 、 功 （ work） 由 所作的功 ba baba sFrFAA dc o sd.d 1、 外力對質(zhì)點(diǎn)的功 元功 ： F a b rd 2、 多個力作用時的功 （ 對質(zhì)點(diǎn) ） rFFFrFA n d). . .(d 21 rFrFrF n d. . .dd 21 nAAA 21 合力對質(zhì)點(diǎn)所作的功，等于每個分力所作的功的 代數(shù)和。 bababa zz zyy yxx x zFy

2、FxFA ddd 直角坐標(biāo)下： zFyFxFrFA zyx ddddd （ 1） 功是 標(biāo)量 （可正、可負(fù)、可為零） （ 2） 功與路徑有關(guān)，是過程的函數(shù)（ 過程量 ） （ 3） 功是力對空間的積累 （ 4） 功的單位為焦耳 （ J） 說明 例 1 彈簧彈力的功。 k )a O x O x )b k F ax bx O x )c k F bx ax 解 當(dāng)物體處于 x 處時所受的彈力為： kxF 物體由 x a 移動到 x b 處 時彈性力所作的功為： baxx xkxA d 22 2 1 2 1 ba kxkx 由此可見 ：彈簧伸長時，彈力作負(fù)功； 彈簧收縮時，彈力作正功。 例 2 萬有引力

3、的功 。 m 在 M 的引力場沿其橢圓軌道由 ra移 到 r b 。 求引力對 m 所作的功 。 |d|c o sdd rrMmGrFA 20 )c o s (|d|c o s|d| rr )11(dd 020 ab r r r r rr MmGrrMmGAA b a b a 解： rrMmGF 20 rrMmGA dd 20 F r rr d rd br M m ar a b rd rd r dd baba FAA b a sF dc o s 功是力對空間的積分 rFA dd c o ssF d 力是位置的函數(shù)是可直接積分， 當(dāng)力是時間的函數(shù)時如何 求力的功呢？ itF 12 例 3 質(zhì)量為

4、 2kg的質(zhì)點(diǎn)在力 (SI)的作用下， 從靜止出發(fā)，沿 x軸正向作直線運(yùn)動。求前三秒內(nèi)該力所作 的功。 3030 121221 ttvtivitrFA rr ddd 解： 2 0000 32120 ttttmFtavv ttt ddd JttttttA 7 2 9936312 43 0 33 0 2 dd 平均功率： t AP 瞬時功率： t A t AP t d dl i m 0 二 、 功率 (power) 表示 做功快慢 的物理量 t AP d d t rF d d vF 定義： 功隨時間的變化率 . SI單位 : 焦耳 /秒 (瓦特 ) vFP 三 、 質(zhì)點(diǎn)的動能定理 rFA dd d

5、sdd tvm vmv d sFtd F rd tF rF dc os )( 221d mv 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 12 1 mvmv)mv(AA v v b a dd 末態(tài)的狀態(tài)量 初態(tài)的狀態(tài)量 導(dǎo)致狀態(tài)量 變化 221 mv 1. 動 能 （ kinetic energy） 質(zhì)點(diǎn)的 動能 ： 標(biāo)量 由于運(yùn)動而具有的能量 狀態(tài)量 2 2 1 mvE K 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1dd 2 1 mvmv)mv(AA v v b a kakb EEA 2. 質(zhì)點(diǎn)的 動能定理 合外力對質(zhì)點(diǎn)做的功等于該質(zhì)點(diǎn)動能的增量。 質(zhì)點(diǎn)的動能定理 功是動能量變化的量度 外力作正

6、功，質(zhì)點(diǎn)動能增加 外力作負(fù)功，質(zhì)點(diǎn)動能減少 A為過程量，與過程有關(guān)，而 Ek為狀態(tài)量 A與 v應(yīng)對應(yīng)同一慣性系 說明 3. 用動量表示動能 m PE K 2 2 vvmmvE K 2121 2 mPmPPvP 22121 2 例題 4 在光滑的水平桌面上平放有 半圓形屏障 。 質(zhì)量為 m的滑塊以速度 v0 沿切線方向進(jìn)入屏障內(nèi) ， 滑塊與屏障間 的摩擦系數(shù)為 ， 試證明：當(dāng)滑塊從屏 障的另一端滑出時 ， 摩擦力所作的功為： )( 121 220 emv m 0v m 0v 證明：由 牛頓第二定律 ： t vmf d d R vmN 2 又由于 ,Nf 故有： t vm R vm d d2 即：

7、 t s s v vR d d d d 2 1 sv v d d 亦即： v vs R dd f N 作定積分，得： vvR v vdsR 0)d(0 RRvvln 0 即： e v v 0 故： evv 0 由質(zhì)點(diǎn)的 動能定理 得： 2 0 2 2 1 2 1 mvmvA )( 2 1 2 0 22 0 vevm )1(21 220 emv 四 、 保守力 （ conservative force） 與非保守力 (nonconservative) O x k F ax bx F r rr d rd br M m ar a b rdO x y z ),( zyxM )0,( 000 yxM g

8、m rd m 22 2 1 2 1 ba kxkxA )11(0 ab rr MmGA m g zA 特點(diǎn)：功只與初、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)的具體路徑無關(guān) 1、 保守力 ： 作功只與物體的始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān) 的力。例：重力、萬有引力、彈性力、靜電力等 保守力的環(huán)流等于零。 3、 非保守力：力所做的功與路徑有關(guān) ， 或力沿閉合路徑的 功不為零 。 這種力為 非保守力 。 如摩擦力 、 沖力 、 火箭的推動力等 2、 保守力沿任何一閉合路徑所作的功為零。 0d L rF 證明： B D AACBL rFrFrF ddd A D BA C B rFrF dd 0 A D C B B D AA

9、D B rFrF dd 2.4 勢 能 一、 勢能 (potential energy) 在保守力場中與相互作用的物體間的相對位置有關(guān)的能量。 0rrp rFrE d)( 積分路徑是任意的。 r 0 為零勢 能點(diǎn)位矢的大小。 質(zhì)點(diǎn)從 M 點(diǎn)移到零勢能點(diǎn) M0 的過程中，保守力作的功。 2、幾個典型力場的勢能 1） 重力勢能： 0MMp rgmE d m g zzmgz 0 d a、 b 兩點(diǎn)間重力勢能差為： O x y z ),( zyxM )0,( 000 yxM gm rd m bapbp m ghm ghEE a rd gm m zd 1、 勢能 的定義 選 無限遠(yuǎn)為零勢能點(diǎn) ，則某點(diǎn)的

10、勢能為： r MmGr r mMGE rP 020 d 引力場中的勢能為 負(fù)值 ，有限 遠(yuǎn)處的勢能表示皆小于無窮遠(yuǎn)處的 勢能 。 a、 b 兩點(diǎn)間引力勢能差為： rrMmGEE b a r rpbpa d20 )11()()( 000 abba rr MmGrMmGrMmG m r ar br M a b F pE r 2） 萬有引力勢能 自由伸長處 O 為零勢能點(diǎn)： 20 2 1 xkxkxE xp d x1 、 x2 兩點(diǎn)間的勢能差為： 2 2 2 1 2 1 2 1 21 kxkxEE pp 只有保守力場才能引入勢能的概念 。 O x k F x 勢能是屬于整個系統(tǒng)的。 勢能只有相對的意

11、義，在零勢能點(diǎn)確定之后， 各點(diǎn)的勢能才具有唯一的確定值。 pE r 3） 彈力勢能 說明 3、勢能與保守力的功 A 保守 的關(guān)系 （勢能定理） ppp EEEA )( 12保守 保守力在某一過程所作的功，等于該過程中勢能增量的負(fù)值。 證明： 21MM rFA d保 2001 dd MMMM rFrF 0201 MMMM rFrF dd )( 1221 pppp EEEE pE 三、保守力與勢能梯度 pEA dd 由 zFyFxFA zyx dddd 而 zzEyyExxEEd pppp ddd )( kzEjyEixEF ppp 則： pp EEF g r a d kzjyix 在保守力場中，

12、質(zhì)點(diǎn)在某點(diǎn)所受的保守力等于該點(diǎn) 勢能梯度矢量的負(fù)值。 哈密頓算符 例 1、 一隕石從距地面高為 h處由靜止開始落向地面，求 隕石下落過程中，萬有引力的功是多少？ a b h R o 解 ：取地心為原點(diǎn)，引力與矢徑方向相反 R hR rFA d )( 0 hRR M m hG 20 R hR rrMmG d 20 R hR r rMmG d hRRMmG 110 )( 00 RMmGhRMmG 另解： pEA )( 0 hRR M m hG 例題 2 一個在 xoy平面內(nèi)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，所受的作用力為 試判斷此力是否是保守力 jyx+ixy=F 22 分析： 要判斷一個力是否是保守力，可以應(yīng)用 保守

13、力的 定義 ，即看它是否滿足 0d L rF 但作環(huán)路積分一般比較復(fù)雜根據(jù) 保守力與勢能函數(shù) 之間的微分關(guān)系式 可以得到判斷一個力是否是保守力的簡單方法。 z EF, y EF, x EF P z P y P x - - - 解 若 F(x,y)是保守力，則必然存在著一個勢能函數(shù) EP(x,y)，必有 y EF x EF P y P x -, - = 將上兩式分別對 y和 x求導(dǎo)數(shù)，得 yx E x F xy E y F PyPx - ,- 22 = 即有 x F y F yx 反之，如力 F 滿足上式， 必定是 保守力 由于 jyx+ixy=F 22 所以 xy x F,xy y F yx 22 因此， F 是保守力。 一 、 質(zhì)點(diǎn)的動能定理 kkk EEErFA 12 2 1 d 二、勢能 0d L rF 保守力： pEA 保守 重力勢能： m ghE p 萬有引力勢能： r MmGE P 0 2 2 1 xkE p 彈力勢能： 0rrp rFrE d)(勢能： pEF 小 結(jié)