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1、課 標(biāo) 版 理 數(shù) 8.3空間點、線、面的位置關(guān)系及平行關(guān)系 1.基本公理知 識 梳 理名稱文字語言符號語言公理1如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi) l 公理2過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面A、B、C不共線 A、B、C平面且是唯一的公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線若P ,且P ,則 =a,且P aA lB lAB 公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行設(shè)a、b、c為直線,a b且b c,則a c2.空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系公共點的個數(shù)共面直線相交直線有且僅有一個公共點平行直線在同一個平面內(nèi),沒有公共點異面直

2、線不在同一平面內(nèi),沒有公共點 位置關(guān)系公共點的個數(shù)直線在平面內(nèi)直線上有兩個點在平面內(nèi),則所有點都在平面內(nèi)直線在平面外直線和平面相交直線與平面有且僅有一個公共點直線和平面平行直線與平面沒有公共點3.直線與平面的位置關(guān)系 4.平面與平面的位置關(guān)系5.平行關(guān)系的判定定理(1)直線與平面平行的判定定理:平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面 平行.(2)平面與平面平行的判定定理:位置關(guān)系公共點的個數(shù)兩個平面平行沒有公共點兩個平面相交有一條公共直線 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行.6.平行關(guān)系的性質(zhì)定理(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理:一條直線與一個平面平行

3、,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.(2)平面與平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行. 1.已知直線l1、l2與平面,則下列結(jié)論正確的是()A.若l1 ,l2 =A,則l1、l2為異面直線B.若l1 l2,l1 ,則l2 C.若l1 l2,l1 ,則l2 D.若l 1 ,l2 ,則l1 l2答案DA錯,l1、l2也可能相交;B錯,l2也可能在內(nèi);C錯,l2也可能在內(nèi);D正確,垂直于同一平面的兩條直線平行.故選D. 2.若平面平面,直線a平面,點B ,則在平面內(nèi)過B點的所有直線中()A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.

4、存在無數(shù)條與a平行的直線D.存在唯一與a平行的直線答案A當(dāng)直線a在平面內(nèi)且經(jīng)過B點時,a平面,但這時在平面內(nèi)過B點的所有直線中,不存在與a平行的直線,而在其他情況下,都可以存在與a平行的直線,故選A. 3.已知m、n是不重合的直線,、是不重合的平面,有下列命題:若m ,n ,則m n;若m ,m ,則 ;若 =n,m n,則m 且m ;若m ,m ,則 .其中真命題的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3 答案B如圖:m不平行于n;如圖:與相交; 如圖:m在內(nèi);同時垂直于一條直線的兩個不重合平面平行,故選B. 4.、為兩個互相平行的平面,a、b為兩條不重合的直線,下列條件:a,b ;a ,b ;a

5、 ,b ;a ,b .其中是a b的充分條件的為()A.B.C.D.答案C由可得出a、b平行或異面,故不充分;由可得出a b,故不充分;由可得出a、b平行或異面或相交.只有滿足題意,故選C. 5.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是一直角梯形,AB CD,BA AD,CD=2AB,PA底面ABCD,E為PC的中點,則BE與平面PAD的位置關(guān)系為. 解析取PD的中點F,連結(jié)EF、AF,在PCD中,EF CD.又 AB CD且CD=2AB, EF AB, 四邊形ABEF是平行四邊形, EB AF.又 EB面PAD,AF面PAD, BE面PAD. 12答案平行 典例1(1)(2014遼寧,4,5分)

6、已知m,n表示兩條不同直線,表示平面.下列說法正確的是()A.若m ,n ,則m nB.若m ,n ,則m nC.若m ,m n,則n D.若m ,m n,則n (2)(2013課標(biāo)全國,4,5分)已知m,n為異面直線,m平面,n平面.直線l滿足l m,l n,l ,l ,則()A. 且l B. 且l C.與相交,且交線垂直于l D.與相交,且交線平行于l典 例 題 組空間點、線、面的位置關(guān)系 答案(1)B(2)D解析(1)A選項m、n也可以相交或異面,C選項也可以n ,D選項也可以n 或n與斜交.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知選B.(2)若 ,則m n,這與m、n為異面直線矛盾,所以A不正確.將已知

7、條件轉(zhuǎn)化到正方體中,易知與不一定垂直,但與的交線一定平行于l,從而排除B、C.故選D. 長(正)方體、三棱柱、三棱錐等常見幾何體模型承載著空間線面位置關(guān)系,具有很好的驗證功能,在客觀性試題中用好模型,會事半功倍. 1-1若直線l不平行于平面,且l ,則()A.內(nèi)的所有直線與l異面B.內(nèi)不存在與l平行的直線C.內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.內(nèi)的直線與l都相交答案B解析若內(nèi)存在直線m l, l ,則l ,與題設(shè)矛盾,故選B. 1-2m、n是不同的直線,、是不同的平面,有以下四個命題:若 , ,則 ;若 ,m ,則m ;若m ,m ,則 ;若m n,n ,則m .其中真命題的序號是()A.B.C.D.

8、答案A解析確定命題正確常常需要嚴(yán)格的證明,判斷命題錯誤只需舉一個反例就可以了.如圖,在正方體AC中,平面BC垂直平面AC,直線AD平行于平面BC,但直線AD并不垂直于平面AC故錯誤,排除C,D;由線面平行 的判定定理知,缺少條件m ,故錯誤.故選A. 典例2(2014課標(biāo),18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點.(1)證明:PB平面AEC;(2)設(shè)二面角D-AE-C為60,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積. 3線面平行的判定與性質(zhì) 解析(1)連結(jié)BD交AC于點O,連結(jié)EO.因為ABCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點.又E為PD的中點

9、,所以EO PB.又EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)因為PA平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點,的方向為x軸的正方向,|為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則D(0, ,0),E,=.AB AP3 3 10 ,2 2 AE 3 10, ,2 2 設(shè)B(m,0,0)(m0),則C(m,0),=(m,0).設(shè)n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,3 AC 3 則即可取n1=.又n2=(1,0,0)為平面DAE的法向量,由題設(shè)知|cos|=,即=,解得m=.因為E為PD的中點,所以三棱錐E-ACD的高為.三棱錐E-ACD

10、的體積V= =.11 0,0,n ACn AE 3 0,3 1 0,2 2mx yy z 3, 1, 3m 12 233 4m 12 321213 12 3 32 12 38 證明線面平行的方法:(1)利用定義證明直線a與平面沒有公共點,一般結(jié)合反證法來證明,這時“平行”的否定應(yīng)是“在平面內(nèi)”或“相交”,只有在排除這兩種位置關(guān)系后才能得出“直線a與平面平行”這一結(jié)論.(2)利用直線與平面平行的判定定理,使用該定理時,應(yīng)注意定理成立時所滿足的條件.(3)利用面面平行的性質(zhì)定理,把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行.(i)一直線在兩平行平面中的一平面內(nèi),則這條直線與另一平面平行.(ii)一直線在兩平行平面外,

11、且與其中一平面平行,則這條直線與另一平面也平行. 2-1如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點N在BD上,點M在B1C上,且CM=DN,求證:MN平面AA1B1B.證明如圖,作ME BC,交BB 1于E,作NF AD,交AB于F,連結(jié)EF,則EF平面AA1B1B. 易知=,=.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1C=BD,CM=DN, B 1M=NB, =, ME=NF.又ME BC AD NF,四邊形MEFN為平行四邊形, MN EF.MEBC 11BMBC NFAD BNBDMEBC BNBD NFAD EF平面AA1B1B且MN平面AA1B1B, MN平面AA1B1B. 典例

12、3(2014首師大大興附中檢測)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求證:平面AB1D1平面C1BD;(2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E,F,并證明A1E=EF=FC. 解題導(dǎo)引(1)利用面面平行的判定定理證明.(2)利用面面平行的性質(zhì)得面面平行的判定與性質(zhì) 到平行關(guān)系,進而得到相等關(guān)系.解析(1)證明:因為在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD B1C1,所以四邊形AB1C1D是平行四邊形,所以AB1 C1D.又因為C1D平面C1BD,AB1平面C1BD,所以AB 1平面C1BD.同理,B1D1平面C1BD.又因為AB1 B1D1=B1,AB1

13、平面AB1D1,B1D1平面AB1D1,所以平面AB1D1平面C1BD. (2)如圖,連結(jié)A1C1交B1D1于點O1,連結(jié)AO1,與A1C交于點E.因為AO1平面AB1D1, 所以點E在平面AB1D1內(nèi),所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點.連結(jié)AC交BD于點O,連結(jié)C1O,與A1C交于點F,則點F就是A1C與平面C1BD的交點.下面證明A1E=EF=FC:因為平面A 1C1C平面AB1D1=EO1,平面A1C1C平面C1BD=C1F,平面AB1D1平面C1BD,所以EO1 C1F,在A1C1F中,O1是A1C1的中點,所以E是A1F的中點,即A1E=EF.同理可證OF AE,所以F是CE

14、的中點,即FC=EF,所以A 1E=EF=FC. (2)利用面面平行的判定定理.(3)利用兩個平面垂直于同一直線.(4)證明兩個平面同時平行于第三個平面.1.平面與平面平行的判定方法(1)利用面面平行的定義,此法一般與反證法結(jié)合.2.在平面和平面平行的判定定理中,“兩條相交直線”中的“相交”兩個字不能忽略,否則結(jié)論不一定成立. 3-1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中點,E、F、G分別是BC、DC、SC的中點,求證:(1)直線EG平面BDD1B1;(2)平面EFG平面BDD1B1. 證明(1)如圖,連結(jié)SB, E、G分別是BC、SC的中點, EG SB.又 SB平面BDD 1B1,EG平面BDD1B1, 直線EG平面BDD1B1.(2)連結(jié)SD, F、G分別是DC、SC的中點, FG SD.又 SD平面BDD1B1,FG平面BDD1B1, FG平面BDD1B1,又EG平面BDD1B1,EG平面EFG,FG平面EFG,EG FG=G,平面EFG平面BDD 1B1.