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1、 復(fù) 習(xí) 提 問1、 角 平 分 線 的 概 念o BCA12 復(fù) 習(xí) 提 問 2、 點(diǎn) 到 直 線 距 離 :從 直 線 外 一 點(diǎn) 到 這 條 直 線 的 垂 線 段 的 長 度 ，叫 做 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 。OPA B我 的 長 度 如 圖 ,是 一 個 平 分 角 的 儀 器 ,其 中 AB=AD,BC=DC.將 點(diǎn) A放在 角 的 頂 點(diǎn) ,AB和 AD沿 著 角 的 兩 邊 放 下 ,沿 AC畫 一 條 射線 AE,AE就 是 角 平 分 線 .你 能 說 明 它 的 道 理 嗎 ?CAD B你 能 由 上 面 的 探 究 得 出 作 已 知 角 的 平 分 線 的 方

2、法 嗎 ?E角 的 平 分 線 的 作 法證 明 ： 在 ACD和 ACB中 AD=AB（ 已 知 ） DC=BC（ 已 知 ） CA=CA（ 公 共 邊 ） ACD ACB（ SSS） CAD= CAB（ 全 等 三 角 形 的 對 應(yīng) 邊 相 等 ） AC平 分 DAB（ 角 平 分 線 的 定 義 ） 尺 規(guī) 作 角 的 平 分 線畫 法 ： 以 為 圓 心 ， 適 當(dāng)長 為 半 徑 作 弧 ， 交 于 ，交 于 分 別 以 ， 為圓 心 大 于 1/2 的 長為 半 徑 作 弧 兩 弧 在 的 內(nèi) 部 交 于 作 射 線 射 線 即 為 所 求 為 什 么 OC是 角 平 分 線 呢

3、？ 想 一 想 ：已 知 ： OM=ON， MC=NC。求 證 ： OC平 分 AOB。證 OMC ONC（ SSS） 得 MOC= NOC 即 ： OC平 分 AOBP50 練 習(xí) 1 ABO AO E BCPD 將 AOB對 折 ,再 折 出 一 個 直 角 三 角 形 (使 第 一 條 折 痕 為 斜 邊 ),然 后 展 開 ,觀 察 兩 次 折 疊 形 成 的 三 條 折 痕 ,你 能 得 出 什 么 結(jié) 論 ? 可 以 看 一 看 ,第 一 條 折 痕 是 AOB的 平 分 線 OC,第 二 次 折 疊形 成 的 兩 條 折 痕 PD,PE是 角 的 平 分 線 上 一 點(diǎn) 到 AO

4、B兩 邊 的 距離 ,這 兩 個 距 離 相 等 . 判 定 依 據(jù) 角 平 分 線 的 性 質(zhì) 證 明 幾 何 命 題 的 一 般 步 驟 ：1、 明 確 命 題 的 已 知 和 求 證2、 根 據(jù) 題 意 ， 畫 出 圖 形 ， 并 用 數(shù) 學(xué) 符 號 表 示已 知 和 求 證 ；3、 經(jīng) 過 分 析 ， 找 出 由 已 知 推 出 求 證 的 途 徑 ，寫 出 證 明 過 程 。角 的 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 這 個 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 。 角 平 分 線 的 性 質(zhì)定 理 ： 角 的 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等O BAPED12命

5、 題 如 果 ： 一 個 點(diǎn) 在 一 個 角 的 平 分 線 上 那 么 ： 這 個 點(diǎn) 到 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等已 知 ： 如 圖 ， OC是 AOB的 平 分 線 ， 點(diǎn) P在 OC上 ，PD OA， PE OB， 垂 足 分 別 是 D， E。求 證 ： PD=PE圖 形 直 觀 化 C 已 知 ： 如 圖 ， OC是 AOB的 平 分 線 ， 點(diǎn) P在 OC上 ，PD OA， PE OB， 垂 足 分 別 是 D， E。求 證 ： PD=PE證 明 ： PD OA， PE OB（ 已 知 ） PDO= PEO=90（ 垂 直 的 定 義 ）在 PDO和 PEO中 PD=P

6、E（ 全 等 三 角 形 的 對 應(yīng) 邊 相 等 ） 3= 4 1= 2 OP=OP PDO PEO（ AAS）角 的 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 這 個 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 。D PEAO BC12 34 BADO PE C定 理 應(yīng) 用 所 具 備 的 條 件 ： （ 1） 角 的 平 分 線 ；（ 2） 點(diǎn) 在 該 平 分 線 上 ； （ 3） 垂 直 距 離 。定 理 的 作 用 ： 證 明 線 段 相 等 。 如 圖 ， AD平 分 BAC（ 已 知 ） = ， ( ) 在 角 的 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 這個 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 。BD CD（

7、） A DCB 如 圖 ， DC AC， DB AB （ 已 知 ） = ， ( ) 在 角 的 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 這個 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 。BD CD（ ） AD CB AD平 分 BAC, DC AC， DB AB （ 已 知 ） = ， （ ） DB DC 在 角 的 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 這 個角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 。 A D C B不 必 再 證 全 等 BADO PE C定 理 應(yīng) 用 所 具 備 的 條 件 ： （ 1） 角 的 平 分 線 ；（ 2） 點(diǎn) 在 該 平 分 線 上 ； （ 3） 垂 直 距 離 。定 理 的 作 用

8、： 證 明 線 段 相 等 。應(yīng) 用 格 式 ： 1= 2（ 或 OP平 分 AOB) PD OA ， PE OB PD=PE(角 的 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 )推 理 的 理 由 有 三 個 ， 必須 寫 完 全 ， 不 能 少 了 任何 一 個 。 如 圖 ， OC是 AOB的 平 分 線 ， 又 _ PD=PE ( )PD OA， PE OB B OAC DP E 角 的 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 在 OAB中 ， OE是 它 的 角 平 分 線 ， 且 EA=EB，EC、 ED分 別 垂 直 OA， OB，

9、垂 足 為 C， D.求 證 ： AC=BD. OA BEC D 在 ABC中 ， C=90 ， AD為 BAC的 平 分 線 ， DE AB， BC 7， DE 3.求 BD的 長 。 EDC BA 如 圖 ， 在 ABC中 ， C=90 AD是 BAC的平 分 線 ， DE AB于 E， F在 AC上 ， BD=DF； 求 證 ： CF=EB AC D EBF ，1、 在 Rt ABC中 ， BD是 角 平 分 線 ， DE AB，垂 足 為 E， DE與 DC相 等 嗎 ？ 為 什 么 ？ AB CDE 2、 如 圖 ,OC是 AOB的 平 分 線 ,點(diǎn) P在 OC上 ,PD OA,PE

10、 OB,垂 足 分 別 是 D、 E,PD=4cm,則PE=_cm. ADO BEP C知 識 應(yīng) 用 1 . 如 圖 ， DE AB， DF BC， 垂 足分 別 是 E， F， DE =DF， EDB= 60 ， 則 EBF= 度 ，BE= 。 A B C D C E F 60BF2 如 圖 ， 在 ABC中 ， C=90 ， DE AB， 1= 2， 且 AC=6cm， 那 么 線 段 BE是 ABC的 ， AE+DE= 。角 的 平 分 線 6cm 練 習(xí) 3.已 知 ABC中 , C=900,AD平 分 CAB,且 BC=8,BD=5,求 點(diǎn) D到 AB的 距 離 是 多 少 ？A

11、BC DE你 會 嗎 ？ 如 圖 ， 的 的 外 角 的 平 分 線 與 的 外 角 的 平 分 線 相 交 于 點(diǎn) 求 證 ： 點(diǎn) 到 三 邊 ， ， 所 在 直 線的 距 離 相 等 例 已 知 ： ABC的 角 平 分 線 BM、 CN相 交 于 點(diǎn) P. 求 證 ： 點(diǎn) P到 三 邊 AB、 BC、 CA的 距 離 相 等 .證 明 ： 過 點(diǎn) P作 PD AB、 PE BC、 PF CA， 垂 足 為 D、 E、 F BM平 分 ABC， 點(diǎn) P在 BM上 PD AB、 PE BC PD=PE（ 在 角 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 ） 同 理 PE

12、=PF. PD=PE=PF. 即 點(diǎn) P到 邊 AB、 BC、 CA的 距 離 相 等 AB CMN PD E F怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點(diǎn)？ 角 平 分 線 的 判 定定 理 ： 角 的 內(nèi) 部 到 角 兩 邊 的 距 離 相 等 的 點(diǎn) 在 角 的 平 分 線 上O BAPED12命 題 如 果 ： 角 內(nèi) 部 一 個 點(diǎn) 到 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 那 么 ： 這 個 點(diǎn) 在 這 個 角 的 平 分 線 上已 知 ： 如 圖 ， AOB內(nèi) 部 一 點(diǎn) P在 OC上 ， PD OA，PE OB， 垂 足 分 別 是 D， E， 且 PD=PE。求 證 ： OP是 A

13、OB的 平 分 線圖 形 直 觀 化 C 證 明 : QD OA， QE OB（ 已 知 ） ， QDO QEO 90 （ 垂 直 的 定 義 ）在 Rt QDO和 Rt QEO中 QO QO（ 公 共 邊 ） QD=QE Rt QDO Rt QEO（ HL） QOD QOE 點(diǎn) Q在 AOB的 平 分 線 上已 知 ： 如 圖 ,QD OA， QE OB， 點(diǎn) D、 E為 垂 足 ，QD QE求 證 ： 點(diǎn) Q在 AOB的 平 分 線 上 1.角 平 分 線 的 性 質(zhì) 定 理 ：角 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 2.角 平 分 線 的 判 定 定 理 :到

14、 一 個 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 的 點(diǎn) ， 在 這 個 角 平分 線 上 。 3.角 平 分 線 的 性 質(zhì) 定 理 和 角 平 分 線 的 判定 定 理 是 證 明 角 相 等 、 線 段 相 等 的 新 途 徑 . 判 定 ： 到 角 的 兩 邊 的 距 離 相等 的 點(diǎn) 在 角 的 平 分 線 上 。 QD OA， QE OB， QD QE 點(diǎn) Q在 AOB的 平 分 線 上 用 數(shù) 學(xué) 語 言 表 示 為 ：性 質(zhì) ： 角 的 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 角 的 兩 邊 的 距 離相 等 . QD OA,QE OB,點(diǎn) Q在 AOB的 平 分 線 上 QD QE用 數(shù) 學(xué)

15、 語 言 表 示 為 ： 如 圖 ， 已 知 ABC的 外 角 CBD和 BCE的 平 分 線 相 交 于 點(diǎn) F，求 證 ： 點(diǎn) F在 DAE的 平 分 線 上 證 明 ： 過 點(diǎn) F作 FG AE于 G，F(xiàn)H AD于 H， FM BC于 M G HM 點(diǎn) F在 BCE的 平 分 線 上 ， FG AE， FM BC FG FM又 點(diǎn) F在 CBD的 平 分 線 上 ， FH AD， FM BC FM FH FG FH 點(diǎn) F在 DAE的 平 分 線 上 如 圖 ， 在 ABC中 ， D是 BC的 中 點(diǎn) ， DE AB，DF AC， 垂 足 分 別 是 E， F， 且 BE CF。求 證

16、： AD是 ABC的 角 平 分 線 。 AB CE FD 利 用 結(jié) 論 ， 解 決 問 題練 一 練 1、 如 圖 ， 為 了 促 進(jìn) 當(dāng)?shù)?旅 游 發(fā) 展 ， 某 地 要 在三 條 公 路 圍 成 的 一 塊 平地 上 修 建 一 個 度 假 村 .要使 這 個 度 假 村 到 三 條 公路 的 距 離 相 等 ,應(yīng) 在 何 處修 建 ?想一想 在 確 定 度 假 村 的 位 置 時 ,一 定 要 畫出 三 個 角 的 平 分 線 嗎 ?你 是 怎 樣 思 考的 ?你 是 如 何 證 明 的 ? 拓 展 與 延 伸2、 直 線 表 示 三 條 相 互 交 叉 的 公 路 ,現(xiàn) 要 建一

17、個 貨 物 中 轉(zhuǎn) 站 ,要 求 它 到 三 條 公 路 的 距離 相 等 ,則 可 供 選 擇 的 地 址 有 :( ) A.一 處 B. 兩 處 C.三 處 D.四 處分 析 :由 于 沒 有 限 制 在何 處 選 址 ,故 要 求 的 地址 共 有 四 處 。 到 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 的 點(diǎn)在 角 的 平 分 線 上 。 QD OA， QE OB， QD QE 點(diǎn) Q在 AOB的 平 分 線 上 用 數(shù) 學(xué) 語 言 表 示 為 ：角 的 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 . QD OA,QE OB,點(diǎn) Q在 AOB的 平 分 線 上 QD QE用 數(shù) 學(xué) 語 言 表 示 為 ： 拓 展 與 延 伸3、 已 知 :BD AM于 點(diǎn) D,CE AN于 點(diǎn) E,BD,CE交 點(diǎn) F,CF=BF,求 證 :點(diǎn) F在 A的 平 分 線 上 .A D NE BF MC 練 習(xí) 1： 平 分 平 角 AOB。歸 納 ： “ 過 直 線 上 一 點(diǎn) 作 這 條 直 線 的 垂 線 ”的 方 法 。 AB O CD