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1、專題11 立體幾何中的向量方法 立體幾何中的向量方法主 干 知 識 梳 理熱 點 分 類 突 破真 題 與 押 題 3 1.以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間中平行與垂直的證明，常出現(xiàn)在解答題的第(1)問中，考查空間想象能力，推理論證能力及計算能力，屬低中檔問題.2.以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間角(主要是線面角和二面角)的計算，是高考的必考內(nèi)容，屬中檔題.3.以已知結(jié)論尋求成立的條件(或是否存在問題)的探索性問題，考查邏輯推理能力、空間想象能力以及探索能力，是近幾年高考命題的新亮點，屬中高檔問題考情解讀 主干知識梳理1.直線與平面、平面與平面的平行

2、與垂直的向量方法設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1).平面、的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)(以下相同).(1)線面平行l(wèi) a a0a1a2b1b2c1c20. (2)線面垂直l a aka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行 vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直 vv0a2a3b2b3c2c30. 2.直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).平面、的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同).(1)線線夾角 (2)線面夾角(3)面面

3、夾角設(shè)半平面、的夾角為(0 )，提醒求二面角時，兩法向量的夾角有可能是二面角的補角，要注意從圖中分析. 3.求空間距離直線到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，點P到平面的距離：d (其中n為的法向量，M為內(nèi)任一點). 熱點一 利用向量證明平行與垂直 熱點二 利用向量求空間角 熱點三 利用空間向量求解探索性問題熱點分類突破 例1如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點，O為DF的中點.運用向量方法證明：(1)OM平面BCF；熱點一 利用向量證明平行與垂直思維啟迪 從A點出發(fā)的三條直線AB、AD，AE兩兩垂直,可建立空間直角坐標

4、系. 證明方法一由題意，得AB，AD，AE兩兩垂直，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系. 棱柱ADEBCF是直三棱柱， AB平面BCF， 是平面BCF的一個法向量，且OM平面BCF， OM平面BCF. (2)平面MDF平面EFCD.證明 設(shè)平面MDF與平面EFCD的一個法向量分別為n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2). 同理可得n2(0,1,1). n1n20，平面MDF平面EFCD. 又OM平面BCF， OM平面BCF.(2)由題意知，BF，BC，BA兩兩垂直， OM CD，OM FC，又CD FCC， OM平面EFCD.又OM平面MDF，平面MDF平面EFCD. (1)要

5、證明線面平行，只需證明向量 與平面BCF的法向量垂直；另一個思路則是根據(jù)共面向量定理證明向量 與 ， 共面.(2)要證明面面垂直，只要證明這兩個平面的法向量互相垂直；也可根據(jù)面面垂直的判定定理證明直線OM垂直于平面EFCD，即證OM垂直于平面EFCD內(nèi)的兩條相交直線,從而轉(zhuǎn)化為證明向量 與 向量、 垂直.思維升華 變式訓(xùn)練1如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，PAAB2， BAD60，E是PA的中點.(1)求證：直線PC平面BDE；證明設(shè)AC BDO.因為 BAD60，AB2，底面ABCD為菱形，所以BO1，AOCO ，AC BD. 如圖，以O(shè)為坐標原點，以O(shè)B，

6、OC所在直線分別為x軸，y軸，過點O且平行于PA的直線為z軸，建立空間直角坐標系Oxyz， (1)設(shè)平面BDE的法向量為n1(x1，y1，z1)，所以PC平面BDE. 故BD PC.(2)求證：BD PC； 例2如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，AB EF，AD平面ABEF，且AD1，AB EF2，AFBE2 ，P、Q分別為AE、BD的中點.(1)求證：PQ平面BCE；熱點二 利用向量求空間角 思維啟迪 易知PQ為ACE的中位線； 證明連接AC，四邊形ABCD是矩形，且Q為BD的中點， Q為AC的中點，又在AEC中，P為AE的中點， PQ EC， EC面BCE，PQ面BCE， PQ平面BC

7、E. (2)求二面角ADFE的余弦值.思維啟迪 根據(jù)AD平面ABEF構(gòu)建空間直角坐標系.解如圖，取EF的中點M，則AF AM，以A為坐標原點，以AM、AF、AD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.則A(0,0,0)，D(0,0,1)，M(2,0,0)，F(xiàn)(0,2,0). 令x1，則y1，z2，故n(1,1,2)是平面DEF的一個法向量. 由圖可知所求二面角為銳角， (1)運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；求出相關(guān)點的坐標；寫出向量坐標；結(jié)合公式進行論證、計算；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.思維升華 (2)求空間角注意：兩條異面直線所成的角不一定是直線的方向向量的夾角

8、，即cos |cos |.兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補角.直線和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值，即注意函數(shù)名稱的變化.思維升華 變式訓(xùn)練2 (2013山東)如圖所示，在三棱錐PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH. (1)求證：AB GH；證明因為D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，所以EF AB，DC AB.所以EF DC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD.又EF平面EF

9、Q，平面EFQ平面PCDGH，所以EF GH.又EF AB，所以AB GH. (2)求二面角DGHE的余弦值.解方法一在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以 ABQ90，即AB BQ.因為PB平面ABQ，所以AB PB.又BP BQB，所以AB平面PBQ.由(1)知AB GH，所以GH平面PBQ.又FH平面PBQ，所以GH FH.同理可得GH HC，所以 FHC為二面角DGHE的平面角. 設(shè)BABQBP2，連接FC，在RtFBC中，由勾股定理得FC ，在RtPBC中，由勾股定理得PC .又H為PBQ的重心， 方法二在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以 ABQ90又PB平面ABQ，所以BA，B

10、Q，BP兩兩垂直.以B為坐標原點，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系. 設(shè)BABQBP2，則E(1,0,1)，F(xiàn)(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2).設(shè)平面EFQ的一個法向量為m(x1，y1，z1)， 設(shè)平面PDC的一個法向量為n(x2，y2，z2)，因為二面角DGHE為鈍角，所以二面角DGHE的余弦值為 . 例3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2AA1， ABC90，D是BC的中點.(1)求證：A1B平面ADC1；熱點三 利用空間向量求解探索性問題由ABCA 1B1C1是直三棱柱，得四

11、邊形ACC1A1為矩形，O為A1C的中點.證明連接A1C，交AC1于點O，連接OD. 又D為BC的中點，所以O(shè)D為A1BC的中位線，所以A1B OD.因為OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1. (2)求二面角C1ADC的余弦值；解由ABCA1B1C1是直三棱柱，且 ABC90，得BA，BC，BB1兩兩垂直.以BC，BA，BB1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz.設(shè)BA2，則B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C 1(2,0,1)，D(1,0,0)， 易知平面ADC的一個法向量為v(0,0,1). 因為二面角C1ADC是銳二

12、面角，所以二面角C1ADC的余弦值為 . (3)試問線段A1B1上是否存在點E，使AE與DC1成60角？若存在，確定E點位置；若不存在，說明理由.解假設(shè)存在滿足條件的點E.因為點E在線段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可設(shè)E(0，1)，其中0 2.因為AE與DC 1成60角， 所以當(dāng)點E為線段A1B1的中點時，AE與DC1成60角. 空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷.解題時，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解,是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題

13、的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法.思維升華 變式訓(xùn)練3如圖，在三棱錐PABC中，ACBC2， ACB90，APBPAB，PC AC，點D為BC的中點.(1)求二面角APDB的余弦值；解 ACBC，PAPB，PCPC，PCAPCB， PCA PCB， PC AC， PC CB，又AC CBC， PC平面ACB，且PC，CA，CB兩兩垂直，故以C為坐標原點，分別以CB，CA，CP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(0,2,0)，D(1,0,0)，P(0,0,2)， 設(shè)平面PAD的一個法向量為n(x，y，z)，設(shè)二面角APDB的平面角為，且為鈍角， (2)在直線A

14、B上是否存在點M，使得PM與平面PAD所成角的正弦值為 ，若存在，求出點M的位置；若不存在，說明理由.解方法一存在，M是AB的中點或A是MB的中點.解得x1或x2， M(1,1,0)或M(2,4,0)， 在直線AB上存在點M，且當(dāng)M是AB的中點或A是MB的中點時，使得PM與平面PAD所成角的正弦值為 .方法二存在，M是AB的中點或A是MB的中點. M是AB的中點或A是MB的中點.在直線AB上存在點M，且當(dāng)M是AB的中點或A是MB的中點時，使得PM與平面PAD所成角的正弦值為 . 空間向量在處理空間問題時具有很大的優(yōu)越性，能把“非運算”問題“運算”化，即通過直線的方向向量和平面的法向量，把立體幾

15、何中的平行、垂直關(guān)系，各類角、距離以向量的方式表達出來，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的運算問題.應(yīng)用的核心是充分認識形體特征，進而建立空間直角坐標系，通過向量的運算解答問題，達到幾何問題代數(shù)化的目的，同時注意運算的準確性. 本講規(guī)律總結(jié) 提醒三點：(1)直線的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的絕對值是線面角的正弦值，而不是余弦值.(2)求二面角除利用法向量外，還可以按照二面角的平面角的定義和空間任意兩個向量都是共面向量的知識，我們只要是在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作 和二面角的棱垂直的向量，并且兩個向量的方向均指向棱或者都從棱指向外，那么這兩個向量所成的角的大小就是二面角的大小.如圖所示.

16、真題感悟 押題精練真題與押題 真題感悟(2014北京)如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點，在五棱錐PABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點，平面ABF與棱PD，PC分別交于點G，H. 真題感悟(1)求證：AB FG；證明在正方形AMDE中，因為B是AM的中點，所以AB DE.又因為AB平面PDE，DE平面PDE，所以AB平面PDE.因為AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以AB FG. 真題感悟(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長.解因為PA底面ABCDE，所以PA AB，PA AE.如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)x

17、yz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)， (1,1,0). 真題感悟設(shè)平面ABF的一個法向量為n(x，y，z)，令z1，則y1，所以n(0，1,1).設(shè)直線BC與平面ABF所成角為， 真題感悟設(shè)點H的坐標為(u，v，w).即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u2，v，w22. 真題感悟即(0，1,1)(2，22)0， 押題精練如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB ，AF1.(1)求直線DF與平面ACEF所成角的正弦值；解以C為坐標原點，分別以CD，CB，CE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， 押題精練因為平面ABCD平面ACEF，且平面ABCD平面ACEFAC， 押題精練 押題精練