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1、
【人教 A 版】必修 2《4
基礎達標
1 圓(x-3)2+(y+2)2=13 的周長是(
)
A.
13 π
B. 2 13 π
C.13π
D.26π
解析:由圓方程知圓半徑為 r= 13
,∴周長為 2πr= 2 13
π.
答案: B
2 方程 x2+y2-x+y+m=0 表示一個圓 ,則(
)
A.m≤2
B.m<2
C.m< 1
D.m≤ 1
2
2
解析:由 D2+E2-4F>0,得 1+1-4m>0.解得 m< 1 .
2、答案: C
2
3 如果 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 表示的曲線關于直線 y=x 對稱,
那么(
)
A.D=E
B.D=F
C.E=FD.
D=E=F
解析:由條件知 y=x 過圓的圓心(
D ,
E ),即 D=E.
答案: A
2
2
4 圓心在點 C(3,4),半徑是 5 的圓的標準方程是(
)
A.(x-3)2+(y-4)2=5
B.(x+3)2+(y+4)2=5
C.(
3、x-3)2+(y-4)2=
D.(x+3)2+(y+4)2=
5
5
解析:由圓的標準方程形式知 (x-3)2+(y-4)2=5
答案: A
5 已知圓 (x-2)2+(y+1)2=16 的一條直徑過直線 x-2y-3=0 被圓截弦的中
點,則該直徑所在的直線方程為( )
A.2x+y-5=0 B.x-2y=0
C.2x+y-3=0 D.x+2y=0
解析:由圓的幾何性質(zhì)知,該直徑與已知弦垂直,因此直徑所在直線
的斜率為 k=-2,又知過點( 2,-1),∴其方程為 y+1=-2(x-2) ,即 2x+y-3=0.
4、
答案: C
6 若點 P(2,-1)為圓 (x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中點,則直線 AB 的方程
是 ____________.
解析:如圖,
∵P 為弦 AB 的中點,
∴ OP⊥AB.
又 O(1,0),P( 2,-1),
∴ kOP= 1 =-1.∴kAB=1.
1
故直線 AB 的方程為 y+1=x-2,
即 x-y-3=0.
答案: x-y-3=0
7 若圓 x2+y2-4x+2y+m=0 與 y 軸交于 A、B 兩點,且∠ ACB=90 (其
中 C 為已知圓的
5、圓心),則實數(shù) m 等于 ______________.
解析:由( -4) 2+22-4m>0,得 m<5,
∵△ ACB 是以 C 為直角頂點的直角三角形且
C(2,-1),
∴圓心 C 到斜邊 AB 之距為 2,則圓半徑為 2
2 ,即 1 16 4 4m 2 2 ,
2
∴m=-3.
答案: -3
8 圓 x2+y2-2ax+2ay+3a2-2a-1=0的面積最大值為 _______________.
解析:當圓半徑最大時,面積最大,圓半徑為
r= 1
(
2a) 2
(2a)2
4(3a2
2a 1)
1
4a2
6、
8a 4 ;
2
2
a2
2a 1
( a
1)2
2
當 a=1 時, r 最大為 2 .
∴面積最大值為 πr2=2π.
答案: 2π
綜合運用
9 求圓心在直線 3x+2y=0 上,同時與 x 軸的交點分不為 (-2,0),(6,0)的圓的方程 .
解析:設圓方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 圓心為(
(
D )
2(
E )
0,
3x+2y=0
上同時圓過兩點( -2,0),(6,0),則有:
2
2
D
4,
7、
4
2D
F
0,
解得 E
6,
36
6D
F
0.
F
12.
∴圓方程為 x2+y2-4x+6y-12=0.
D , E ).由于圓心在
2 2
10 已知圓的方程 x2+y2+2(a-1)x+a2-4a+1=0,若點( -1,-1)在圓外 .求實數(shù) a 的取值范疇 .
解析:方程 x2+y2+2(a-1)x+a2-4a+1=0 配方得
[ x+(a-1)]2+y2=2a,則方程表示圓的條件為 2a>0,即 a>0,又因為點(-1,
-1)在圓外,則有( -1)2+(-1)2-2(a-1)+a2
8、-4a+1>0,即 a2-6a+5>0,解得
a>5 或 a<1,由
a 0,
a 5,或a 1.
得 a>5 或 05 或 0
9、+y02 的最值,即求圓 C 上的點到原點距離平方的最值,故過原點 O 與圓心 C 的直線與圓的兩個交點 P1,P
2 即為所求 .
設過 O,C 兩點的直線交⊙ C 于 P1、P2 兩點,則 ωmin=(|OC|-1)2=
16=|OP1|2,現(xiàn)在 dmin=216+2=34,P1(12 ,16 );
5 5
ω max=(|OC|+1)2=36=|OP2|2,現(xiàn)在, dmax=236+2=74,P2(18 , 24 ).
5 5
拓展探究
12 已知矩形 ABCD 中,C(4,4),點 A 在 x2+y2=9(x>0,y>0) 上運動 ,AB,AD
分不平
10、行于 x 軸,y 軸,求當矩形 ABCD 面積最小時 A 點的坐標 .
分析:本題的實質(zhì)是: A 在 x2+y2=9(x>0,y>0) 上何處時,矩形 ABCD 的面積最小,即( 4-x)(4-y)的值最小,進而利用換元法化成二次函數(shù)的最值咨詢題 .
解析:設 A(x,y),則矩形 ABCD 的面積為 S=(4-x)(4-y)=16-4(x+y) +xy ①
令 t=x+y ,則 t>0 且 t2=x2+y2+2xy=9+2xy.
∴①式化為 S=16-4t+ 1
(t2-9)= 1 (t-4)2+ 7
2
72.
2
2
當且僅當 t=4 時, Smin=
,x
2
2
x
y
4,x
2
2
,
現(xiàn)在
7
解得
2
或
2
xy
2.
2
2
2
y
2
2
即 A(2-
2
,2+
y
2
.
2
2
)或
2A( 2+
2
,22-
,
2 )時,矩形面積最小 .
2