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1、 現(xiàn) 代 測 試 技 術(shù) 第 2章測 量 誤 差及 其 分 析 測量誤差的基本概念；系統(tǒng)誤差的消除；隨機誤差的處理；粗大誤差的剔除；測量結(jié)果的估計；測量結(jié)果的表示；微小誤差準(zhǔn)則與對比標(biāo)準(zhǔn)的選取本章主要內(nèi)容 2.1測 量 誤 差 基 本 概 念2.1.1 測 量 誤 差 的 幾 個 名 詞 術(shù) 語 1、 真 值 ： 被 測 量 本 身 客 觀 存 在 的 實 際 值 。 真 值 是 客 觀存 在 ， 但 是 不 可 測 量 的 。 在 實 際 計 量 和 測 量 中 ， 經(jīng)常 使 用 “ 約 定 真 值 ” 、 “ 理 論 真 值 ” 和 “ 相 對 真值 ” 。 約 定 真 值 ： 按 照 國

2、 際 公 認(rèn) 的 單 位 定 義 ， 利 用 科 學(xué) 技 術(shù) 發(fā) 展 的 最 高 水 平 所復(fù) 現(xiàn) 的 單 位 基 準(zhǔn) 。 以 法 律 形 式 規(guī) 定 的 。 可 以 忽 略 的 。 理 論 真 值 ： 理 論 上 推 導(dǎo) 分 析 出 來 的 。 相 對 真 值 （ 實 際 值 ） ： 是 在 滿 足 規(guī) 定 準(zhǔn) 確 度 時 用 來 代 替 真 值 使 用 的 值 。（ 儀 表 校 準(zhǔn) ） 2、 標(biāo) 稱 值 ： 計 量 或 測 量 器 具 上 標(biāo) 注 的 量 值 。3、 示 值 ： 由 測 量 儀 器 給 出 的 量 值 ， 也 稱 測 量 值 。4、 準(zhǔn) 確 度 ： 表 示 測 量 結(jié) 果

3、與 真 值 的 一 致 程 度 ， 是 一 個定 性 概 念 。 與 其 相 近 的 另 一 個 概 念 是 不 確 定 度 。5、 重 復(fù) 性 ： 在 相 同 條 件 下 ， 對 同 一 被 測 量 進(jìn) 行 多 次 連續(xù) 測 量 所 得 結(jié) 果 之 間 的 一 致 性 。6、 誤 差 公 理 ： 一 切 測 量 都 具 有 誤 差 ， 誤 差 自 始 自 終 存在 于 一 切 科 學(xué) 實 驗 之 中 。 2.1.2 測 量 誤 差 的 表 示 1 絕 對 誤 差 ： A=Ax-A0 絕 對 誤 差 的 負(fù) 值 稱 之 為 修 正 值 ， 也 叫 補 值 ， 一 般 用 c表 示 ， 即 c=

4、- A=A0-Ax 儀 器 的 修 正 值 一 般 是 計 量 部 門 檢 定 給 出 。 示 值 加 上 修 正 值 可 獲 得 真 值 ， 即 實 際 值 。2 相 對 誤 差 ： 因 真 值 A 0是 無 法 知 道 ， 往 往 用 測 量 值 代 替 ， 即 在 實 際 測 量 中 ， 相 對 誤 差 常 常 用 來 評 價 測 量 結(jié) 果 的 準(zhǔn) 確 度 ， 相 對 誤 差 越 小 準(zhǔn) 確 度 愈 高 。 0 0 100%AA 100%x AA 絕 對 誤 差相 對 誤 差引 用 誤 差容 許 誤 差 3 引 用 誤 差 ： 絕 對 誤 差 與 測 量 儀 表 量 程 之 比 ， 用

5、 百 分?jǐn)?shù) 表 示 ， 即最 大 引 用 誤 差 ： 確 定 測 量 儀 表 的 準(zhǔn) 確 度 等 級 應(yīng) 用 最 大 引 用 誤 差 。 電 測 量 儀 表 的 準(zhǔn) 確 度 等 級 指 數(shù) a分 為 ： 0.1、 0.2、 0.5、 1.0 1.5、 2.5、 5.0等 7級 。 最 大 引 用 誤 差 不 能 超 過 儀 表 準(zhǔn) 確 度 等 級 指 數(shù) a的 百 分 數(shù) ， 即 電 測 量 儀 表 在 使 用 時 所 產(chǎn) 生 的 最 大 可 能 誤 差 可 由 下 式 求 出 ： 100%n mAA | | 100%mnm mAA % nm a %m mA A a ( / ) %x m xA

6、 A a 例 某 1.0級 電 壓 表 ， 量 程 為 300V,當(dāng) 測 量 值 分 別 為U1=300V,U2=200V， U3=100V時 ， 試 求 出 測 量 值 的 (最 大 )絕 對 誤差 和 示 值 相 對 誤 差 。 解 ： U1= U2= U3= 300 1.0%= 3V U1=( U1 U1) 100%=( 3/300) 100%= 1.0% U2=( U2 U2) 100%=( 3/200) 100%= 1.5% U3=( U3 U3) 100%=( 3/100) 100%= 3.0% 測 量 儀 表 產(chǎn) 生 的 示 值 測 量 誤 差 x不 僅 與 所 選 儀 表 等

7、級 指數(shù) a有 關(guān) ， 而 與 所 選 儀 表 的 量 程 有 關(guān) 。 一 般 不 小 于 滿 度 值 的2/3。 4 容 許 誤 差 ： 指 測 量 儀 器 在 使 用 條 件 下 可 能 產(chǎn) 生 的 最 大 誤 差 范 圍 ， 可 用 工 作 誤 差 、 固有 誤 差 、 影 響 誤 差 、 穩(wěn) 定 性 誤 差 來 描 述 。 容 許 誤 差 通 常 用 絕 對 誤 差 表 示 ： = (Ax %+Am %) 模 擬 儀 表 使 用 ， 例 ： 電 位 差 計 可 忽 略 = (Ax %+n個 字 ) 數(shù) 字 式 儀 表 一 般 常 用 式 中 Ax 測 量 值 或 示 值 ； Am 量

8、限 或 量 程 值 ； 誤 差 的 相 對 項 系 數(shù) ； 固 定 項 系 數(shù) 。 當(dāng) 5 項 可 忽 略 “ n個 字 ” 所 表 示 的 誤 差 值 是 數(shù) 字 儀 表 在 給 定 量 限 下 的 分 辨 力 的 n倍 ， 即 末 位一 個 字 所 代 表 的 被 測 量 量 值 的 n倍 。 例 如 ， 某 3位 數(shù) 字 電 壓 表 ， 當(dāng) n為 5， 在 1V量 限 時 ， “ n個 字 ” 表 示 的 電 壓誤 差 是 5mV， 而 在 10V量 限 時 ,n個 字 ” 表 示 的 電 壓 誤 差 是 50mV。 例 ： 某 四 位 半 數(shù) 字 電 壓 表 ， 量 程 為 2V， 工

9、 作 誤 差 為 = 0.025%UX 1個 字 ，用 該 表 測 量 時 ， 讀 數(shù) 分 別 為 0.0012V和 1.9888V， 試 求 兩 種 情 況 下 的 絕 對 誤差 和 相 對 誤 差 。解 ： 四 位 半 表 分 辨 率 為 0.0001V . 9 9 9 9 41 4 11 1 42 422 2(0.025% 0.0012 0.0001 1) 1.0030 101.0030 10100% 100% 8.36%0.0012(0.025% 1.9888 0.0001 1) 5.9720 105.9720 10100% 100% 0.030%1.9888xx VA VA 2.1.

10、3 測 量 誤 差 的 分 類 1 系 統(tǒng) 誤 差 ： 大 小 、 方 向 恒 定 不 變 或 按 一 定 規(guī) 律 變 化 ， 可 預(yù) 知 、 可 修 正 。 基 本 誤 差 :測 量 設(shè) 備 不 準(zhǔn) 確 或 準(zhǔn) 確 度 等 級 不 高 。 附 加 誤 差 :超 過 正 常 工 作 范 圍 帶 來 的 誤 差 。 理 論 誤 差 （ 方 法 誤 差 ） :測 量 方 法 、 理 論 不 完 善 所 帶 來 的 誤 差 人 員 誤 差 ： 試 驗 人 員 疏 忽 大 意 、 測 量 素 質(zhì) 不 高 產(chǎn) 生 的 人 員 誤 差 。 2 隨 機 誤 差 ：誤 差 是 隨 機 的 、 可 變 的 ，

11、不 可 預(yù) 知 、 不 可 修 正 ， 但 可 用 統(tǒng) 計 學(xué) 方 法 處 理 。3 粗 大 誤 差 ：明 顯 偏 離 真 值 （ 異 常 值 、 壞 值 ） ， 應(yīng) 剔 除 。 系 統(tǒng) 誤 差隨 機 誤 差粗 大 誤 差 1.系 統(tǒng) 誤 差n定 義 ： 在 同 一 測 量 條 件 下 ， 多 次 重 復(fù) 測 量 同 一 量 時 ， 測 量誤 差 的 絕 對 值 和 符 號 都 保 持 不 變 ， 或 在 測 量 條 件 改 變 時 按一 定 規(guī) 律 變 化 的 誤 差 ， 稱 為 系 統(tǒng) 誤 差 。 例 如 儀 器 的 刻 度 誤差 和 零 位 誤 差 ， 或 值 隨 溫 度 變 化 的 誤

12、 差 。n 產(chǎn) 生 的 主 要 原 因 是 儀 器 的 制 造 、 安 裝 或 使 用 方 法 不 正 確 ， 環(huán) 境 因 素（ 溫 度 、 濕 度 、 電 源 等 ） 影 響 ， 測 量 原 理 中 使 用 近 似 計 算 公 式 ， 測 量人 員 不 良 的 讀 數(shù) 習(xí) 慣 等 。n 系 統(tǒng) 誤 差 表 明 了 一 個 測 量 結(jié) 果 偏 離 真 值 或 實 際 值 的 程 度 。 系 差 越 小 ，測 量 就 越 準(zhǔn) 確 。n 系 統(tǒng) 誤 差 的 定 量 定 義 是 ： 在 重 復(fù) 性 條 件 下 ， 對 同 一 被 測 量 進(jìn) 行 無 限 多次 測 量 所 得 結(jié) 果 的 平 均 值

13、與 被 測 量 的 真 值 之 差 。 即 0 x A 2.隨 機 誤 差定 義 : 在 同 一 測 量 條 件 下 （ 指 在 測 量 環(huán) 境 、 測 量 人 員 、測 量 技 術(shù) 和 測 量 儀 器 都 相 同 的 條 件 下 ） ， 多 次 重 復(fù) 測量 同 一 量 值 時 （ 等 精 度 測 量 ） ， 每 次 測 量 誤 差 的 絕 對值 和 符 號 都 以 不 可 預(yù) 知 的 方 式 變 化 的 誤 差 ， 稱 為 隨 機誤 差 或 偶 然 誤 差 ， 簡 稱 隨 差 。 隨 機 誤 差 主 要 由 對 測 量 值 影 響 微 小 但 卻 互 不 相 關(guān) 的大 量 因 素 共 同

14、造 成 。 這 些 因 素 主 要 是 噪 聲 干 擾 、 電 磁場 微 變 、 零 件 的 摩 擦 和 配 合 間 隙 、 熱 起 伏 、 空 氣 擾 動 、大 地 微 震 、 測 量 人 員 感 官 的 無 規(guī) 律 變 化 等 。 例 ： 對 一 不 變 的 電 壓 在 相 同 情 況 下 ， 多 次 測 量 得到 1.235V， 1.237V， 1.234V， 1.236V，1.235V， 1.237V。n 單 次 測 量 的 隨 差 沒 有 規(guī) 律 ;n 但 多 次 測 量 的 總 體 卻 服 從 統(tǒng) 計 規(guī) 律 ;n 可 通 過 數(shù) 理 統(tǒng) 計 的 方 法 來 處 理 ,即 求 算

15、術(shù) 平 均值 。u隨 機 誤 差 定 義 ： 測 量 結(jié) 果 與 在 重 復(fù) 性 條 件 下 ， 對 同一 被 測 量 進(jìn) 行 無 限 多 次 測 量 所 得 結(jié) 果 的 平 均 值 之 差 i ix x ( )n 3.粗 大 誤 差 ： n 定 義 ： 粗 大 誤 差 是 一 種 顯 然 與 實 際 值 不 符 的 誤 差 。n 產(chǎn) 生 粗 差 的 原 因 有 ： 測 量 操 作 疏 忽 和 失 誤 如 測 錯 、 讀 錯 、 記 錯 以 及 實 驗條 件 未 達(dá) 到 預(yù) 定 的 要 求 而 匆 忙 實 驗 等 。 測 量 方 法 不 當(dāng) 或 錯 誤 如 用 普 通 萬 用 表 電 壓 檔

16、直 接 測高 內(nèi) 阻 電 源 的 開 路 電 壓 測 量 環(huán) 境 條 件 的 突 然 變 化 如 電 源 電 壓 突 然 增 高 或 降低 ， 雷 電 干 擾 、 機 械 沖 擊 等 引 起 測 量 儀 器 示 值 的 劇 烈變 化 等 。n 含 有 粗 差 的 測 量 值 稱 為 壞 值 或 異 常 值 ， 在 數(shù) 據(jù) 處 理 時 ， 應(yīng)剔 除 掉 。 2.1.4 有 效 數(shù) 字1 數(shù) 據(jù) 的 舍 入 規(guī) 則 小 于 5舍 去 ； 大 于 5進(jìn) 1； 等 于 5則 應(yīng) 用 偶 數(shù) 法 則 ， 末 位 是 偶 數(shù) ， 則 末 位 不 變 ；末 位 是 奇 數(shù) ， 則 末 位 增 加 1。例 如

17、 ， 將 下 列 數(shù) 據(jù) 舍 入 到 小 數(shù) 第 二 位 。 25.325 0 25.32 （ 0.005 0=0.005， 末 位 為 偶 數(shù) 舍 去 ） 17.695 5 17.70 （ 0.005 5=0.005， 末 位 為 奇 數(shù) 進(jìn) 1） 123.105 123.10 （ 0.005 0=0.005， 末 位 為 0， 按 偶 數(shù) 處 理 ， 舍 去 ） 2 有 效 數(shù) 字 若 截 取 得 到 的 近 似 數(shù) ， 其 截 取 或 舍 入 誤 差 的 絕 對 值 不 超 過 近 似 數(shù) 末位 的 半 個 單 位 ， 則 該 近 似 數(shù) 從 左 邊 第 一 個 非 零 數(shù) 字 到 最

18、末 一 位 數(shù) 字 為止 的 全 部 數(shù) 字 ， 稱 之 為 有 效 數(shù) 字 。3 測 量 結(jié) 果 有 效 數(shù) 字 位 數(shù) 的 確 定 數(shù) 據(jù) 記 錄 、 運 算 的 準(zhǔn) 確 性 要 和測 量 的 準(zhǔn) 確 性 相 適 應(yīng) ！ cm674.1x cm04.0 xcm04.067.1 x測 量 值 的 末 位 數(shù) 與 誤 差 的 末 位 數(shù) 對 齊 有 效 數(shù) 字 :所 有 準(zhǔn) 確 數(shù) 字 和 一 位 欠 準(zhǔn) 確 數(shù) 字 cm?04.0674.1 x 數(shù) 學(xué) ： 2500.025.0 物 理 測 量 ： cm00.25m25.0 有 效 數(shù) 字 位 數(shù) 越 多 ， 測 量 精 度 越 高 數(shù) 字

19、取 舍 規(guī) 則,m/s755.9 2g如 29.74500m/s ,g 如 29.74501m/s ,g 如 29.74m/s ,g 29.75m/s ,g 29.76m/s ,g 運 算 結(jié) 果 (測 量 值 )的 末 位 數(shù) 應(yīng) 與 誤 差 的 末 位 數(shù) 對 齊 。 p 小 于 5舍 去 ；p 大 于 5進(jìn) 1；p 等 于 5則 應(yīng) 用 偶 數(shù) 法 則 ， 末 位 是 偶 數(shù) ， 則 末 位 不 變 ； 末 位 是 奇 數(shù) ， 則 末 位 增 加 1。25.325 025.32 17.695 517.70 2.2 系 統(tǒng) 誤 差 的 消 除2.2.1 從 產(chǎn) 生 系 統(tǒng) 誤 差 的 來

20、源 上 消 除基 本 誤 差 ： 選 擇 準(zhǔn) 確 度 等 級 高 的 儀 器 設(shè) 備 ；u附 加 誤 差 ： 使 儀 器 設(shè) 備 工 作 在 其 規(guī) 定 的 工 作 條 件 下 ，使 用 前 正 確 調(diào) 零 、 預(yù) 熱 以 消 除 儀 器 設(shè) 備 的 ；u方 法 誤 差 和 理 論 誤 差 ： 選 擇 合 理 的 測 量 方 法 ， 設(shè) 計正 確 的 測 量 步 驟 ；u人 員 誤 差 ： 提 高 測 量 人 員 的 測 量 素 質(zhì) ， 改 善 測 量 條 件(選 用 智 能 化 、 數(shù) 字 化 儀 器 儀 表 等 )。 2.2 系 統(tǒng) 誤 差 的 消 除2.2.2 利 用 修 正 的 方 法

21、 來 消 除 C稱 為 修 正 值 ， 由 計 量 部 門 檢 定 時 給 出 2.2.3 利 用 特 殊 的 測 量 方 法 消 除 u 替 代 法 ； u 差 值 法 ；u 正 負(fù) 誤 差 補 償 法 ；u 對 稱 觀 測 法 ； u 迭 代 自 校 法 00 A xxC A AA A C 替 代 法 在 測 量 條 件 不 變 的 情 況 下 ， 用 一 已 知 的 標(biāo) 準(zhǔn) 量 去 替代 未 知 的 被 測 量 ， 通 過 調(diào) 整 標(biāo) 準(zhǔn) 量 而 保 持 替 代 前 后儀 器 的 示 值 不 變 ， 標(biāo) 準(zhǔn) 量 的 值 等 于 被 測 量 值 。 替 代 法 的 測 量 原 理x s 0

22、- v + v2KK1 （ b ) 零 示 法( a ) 偏 轉(zhuǎn) 法 x s 0- v + v2KK1 r 交 換 法p通 過 交 換 被 測 量 和 標(biāo) 準(zhǔn) 量 的 位 置 ， 從 前 后 兩 次 換 位 測 量 結(jié)果 的 處 理 中 ， 削 弱 或 消 除 系 統(tǒng) 誤 差 。p特 別 適 用 于 平 衡 對 稱 結(jié) 構(gòu) 的 測 量 裝 置 中 ， 并 通 過 交 換 法 可檢 查 其 對 稱 性 是 否 良 好 。第 一 次 平 衡 第 二 次 平 衡 上 兩 式 相 乘 、 開 方 得 ： 1 2 1 21( )2xW WW W W 1 1 2xW l W l2 2 1xW l W l

23、(a) 天 平 稱 重xW W1l1 l2 xWW2 l1 l2 例 ： 在 電 橋 中 采 用 交 換 法 測 電 阻 1 2 1 21 ( )2x s s s sR R R R R 2.3 隨 機 誤 差 的 處 理 2.3.1 隨 機 誤 差 的 統(tǒng) 計 特 性 和 概 率 分 布1 測 量 誤 差 的 數(shù) 學(xué) 表 達(dá)根 據(jù) 誤 差 理 論 ， 任 何 一 次 測 量 中 ， 一 般 都 含 有 系 統(tǒng) 誤 差 和 隨 機 誤 差 ， 即 A= + =Ax-A0在 一 般 工 程 測 量 中 ， 系 統(tǒng) 誤 差 遠(yuǎn) 大 于 隨 機 誤 差 ， 即 ， 相 對 來 講 隨 機 誤 差 可

24、以 忽 略 不 計 ， 此 時 只 需 處理 和 估 計 系 統(tǒng) 誤 差 即 可 。在 精 密 測 量 中 ， 系 統(tǒng) 誤 差 已 經(jīng) 消 除 或 小 得 可 以 忽 略 不 計時 ， 即 0。 2 隨 機 誤 差 的 統(tǒng) 計 特 性)( xf x 1lim 0n in i x 3 隨 機 誤 差 的 概 率 分 布（ 1） 正 態(tài) 分 布 的 隨 機 誤 差 ， 其 概 率 密 度 函 數(shù) 式 中 和 2隨 機 誤 差 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 和 方 差 2 2/ 2 ( )1( ) ( ) 2 e （ 2） 均 勻 分 布 特 點 ： 在 某 一 區(qū) 域 內(nèi) ， 隨 機 誤 差 出 現(xiàn) 的 概 率

25、 處 處 相 等 ， 而 在 該 區(qū) 域 外 隨 機 誤 差 出 現(xiàn)的 概 率 為 零 。 均 勻 分 布 的 概 率 密 度 函 數(shù) ( )為式 中 a隨 機 誤 差 的 極 限 值 。 )|(|0 )(21)( a aaa 儀 器 度 盤 刻 度 差 引 起 的 誤 差 ；儀 器 最 小 分 辨 率 限 制 引 起 的 誤差數(shù) 字 儀 表 的 量 化 ( 1)誤 差數(shù) 字 計 算 中 的 舍 入 誤 差對 于 一 些 只 知 道 誤 差 出 現(xiàn) 的 大致 范 圍 ， 而 不 知 其 分 布 規(guī) 律 的誤 差 ， 在 處 理 時 經(jīng) 常 按 均 勻 分 布 的 誤 差 對 待 。 （ 3）

26、t分 布 主 要 用 來 處 理 小 樣 本 (即 測 量 數(shù) 據(jù) 比 較 少 )的 測 量 數(shù) 據(jù) 。 正 態(tài)分 布 理 論 只 適 合 于 大 樣 本 的 測 量 數(shù) 據(jù) 。t分 布 的 概 率 密 度 函 數(shù) (t)為 ： 2 22( )2( , ) (1 )( )2 nk tt k k kk 和 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 圖 形 類 似 ；特 點 是 分 布 與 標(biāo) 準(zhǔn) 差 的 估 計 值無 關(guān) ， 但 與 自 由 度 (n-1)有 關(guān) ；當(dāng) n較 大 (n30)時 ， t分 布 和 正態(tài) 分 布 的 差 異 就 很 小 了 ， 當(dāng)n 時 ， 兩 者 就 完 全 相 同 了 。 4

27、隨 機 變 量 中 幅 值 的 特 征 參 量隨 機 變 量 通 常 有 兩 個 重 要 特 征 參 數(shù) ， 即 數(shù) 學(xué) 期 望 和 方 差 (標(biāo) 準(zhǔn) 偏 差 )。數(shù) 學(xué) 期 望 體 現(xiàn) 了 隨 機 變 量 分 布 中 心 的 位 置 ；方 差 反 映 了 隨 機 變 量 對 分 布 中 心 的 離 散 程 度 。1 測 量 數(shù) 據(jù) 的 數(shù) 學(xué) 期 望 式 中 n測 量 次 數(shù) ； A i第 i次 的 測 量 讀 數(shù) . 2 隨 機 變 量 的 方 差 和 標(biāo) 準(zhǔn) 差標(biāo) 準(zhǔn) 偏 差 （ 簡 稱 標(biāo) 準(zhǔn) 差 ） ： ni i nAnAM 1 )(1)(2 2 21 11 1( ) ( ) ( )

28、n ni ii iA A M A nn n )(1)( 1 2 nnA ni i 2.3.2 隨 機 誤 差 的 估 計 1 算 術(shù) 平 均 值 原 理 測 量 列 的 算 術(shù) 平 均 值 是 最 佳 可 信 賴 值 ， 是 被 測 量 A數(shù) 學(xué) 期 望 (真值 )M(A)的 最 佳 估 計 ， 這 一 原 理 被 稱 之 為 算 術(shù) 平 均 值 原 理 。算 術(shù) 平 均 值 的 數(shù) 學(xué) 表 達(dá) 為 ：算 術(shù) 平 均 值 具 有 以 下 特 點 ： 一 致 性 :隨 著 測 量 次 數(shù) n的 增 加 ， 趨 于 被 測 參 數(shù) 的 無 偏 性 ： 估 計 值 A圍 繞 M(A)擺 動 ， 且

29、有 效 性 :A擺 動 幅 度 比 單 個 測 量 值 小 ； 充 分 性 ： A包 含 了 樣 本 (測 量 列 )的 全 部 信 息 ni iAnA 11 )()( AMAM )(AM 2 標(biāo) 準(zhǔn) 偏 差 的 估 計 ：式 中 i剩 余 誤 差 ， 其 定 義 是 (i=1,2,n)方 差 估 計 值 的 實 用 算 法 和 遞 推 公 式 分 別 為 ： ni ivn 1 22 11 ni ivn 1 211 AAv ii )(111 2112 ni ini i AnAn 212 12 )(112 nnnn AAnnn 3 算 術(shù) 平 均 值 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 實 際 測 量 中 ， 測

30、量 次 數(shù) 一 般 取 1020次 。 若 要 進(jìn) 一 步 提 高 測 量準(zhǔn) 確 度 ， 需 從 選 擇 更 高 準(zhǔn) 確 度 的 測 量 儀 器 、 更 合 理 的 測 量 方 法 、 更好 的 控 制 測 量 條 件 等 方 面 入 手 。 ( ) ( )/A A n nA /)( 22 算 術(shù) 平 均 值 的 方 差 估 計 值 算 術(shù) 平 均 值 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 估 計 值 【 例 】 用 溫 度 計 重 復(fù) 測 量 某 個 不 變 的 溫 度 ， 得 11個 測 量 值的 序 列 （ 見 下 表 ） 。 求 測 量 值 的 平 均 值 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 偏 差 。解 ： 平 均 值 用

31、公 式 計 算 各 測 量 值 殘 差 列 于 上 表 中 實 驗 偏 差 標(biāo) 準(zhǔn) 偏 差 )(1.530)531530532530529533531527529531528(1111 1 Cxnx oni i xxii )(767.111)( 1 2 Cnxs oni i )(53.011767.1)()( Cnxsxs ox 4 測 量 結(jié) 果 的 置 信 度（ 1） 置 信 度 的 概 念 表 征 測 量 數(shù) 據(jù) 或 結(jié) 果 可 信 賴 程 度 的 一 個 參 數(shù) 置 信 區(qū) 間 M(A)-K (A),M(A)+K (A) K置 信 因 子 置 信 概 率 Ai在 置 信 區(qū) 間 中 的

32、 概 率 P。 置 信 概 率 可 信 度（ 2） 置 信 度 的 幾 何 意 義 ： 在 同 一 分 布 下 ， 置 信 區(qū) 間 愈 寬 ， 置 信 概 率 (概 率 曲 線 、 置 信區(qū) 間 和 橫 軸 圍 成 的 圖 形 面 積 )也 就 愈 大 ， 反 之 亦 然 。 在 不 同 的 分 布 下 當(dāng) 置 信 區(qū) 間 給 定 時 ， 標(biāo) 準(zhǔn) 差 愈 小 ， 置 信 因 子和 相 應(yīng) 的 置 信 概 率 也 就 愈 大 ， 反 映 出 測 量 數(shù) 據(jù) 的 可 信 度 就 愈 高 。 置 信 概 率 是 圖 中陰 影 部 分 面 積內(nèi) 包 含 真 值 的 概 率 稱 為 置 信 概 率k (

33、 )x M A k （ 3） 正 態(tài) 分 布 的 置 信 概 率 當(dāng) 分 布 和 k值 確 定 之 后 ， 則 置 信 概 率 可 定 正 態(tài) 分 布 ,當(dāng) k=3時置 信 因 子 k 置 信 概 率 Pc1 0.682692 0.95450 3 0.99730 kk dpkPkxExP )()( 997.0)2exp(21)()3( 2233 33 ddpP 區(qū) 間 越 寬 ，置 信 概 率 越 大 （ 4） t分 布 的 置 信 限ut分 布 與 測 量 次 數(shù) 有 關(guān) 。 當(dāng) n足 夠 大 時 ， t分布 趨 于 正 態(tài) 分 布 。 正 態(tài) 分 布 是 t分 布 的 極 限分 布 。u給

34、 定 置 信 概 率 和 測 量 次 數(shù) n， 查 表 得 置 信 因子 kt。 自 由 度 ： v=n-1 （ 5） 非 正 態(tài) 分 布 的 置 信 因 子 由 于 常 見 的 非 正 態(tài) 分 布 都 是 有 限 的 ， 設(shè) 其 置 信 限 為誤 差 極 限 ， 即 誤 差 的 置 信 區(qū) 間 為 置 信概 率 為 100 。（ P=1) 反 正弦均 勻三 角分 布 236k ka 3a3akka 3k -a aP(x) x0 例 對 某 電 容 進(jìn) 行 了 8次 等 精 度 、 無 系 差 、 獨 立 測 量 ， 測 量 值 如 下 (單 位 為 F): Ci 75.01, 75.04,

35、75.07, 75.03, 75.09, 75.06, 75.02, 75.08 試 求 被 測 電 容 的 估 計 值 和 當(dāng) P=0.99時 被 測 電 容 真 值 的 置 信 區(qū) 間 。 解 ： 根 據(jù) 平 均 值 原 理 ， 被 測 電 容 的 估 計 值 是 測 量 數(shù) 據(jù) 的 算 術(shù) 平 均 值 ， 即 測 量 列 的 方 差 估 計 值 為 測 量 列 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 估 計 值 為 n in i CCnCCnC 1 1 )(11 F05.75 05.000.75 )08.002.006.009.003.007.004.001.0(8100.75 222281 22 )02.0(

36、)02.0()01.0()04.0(7111)( ivnC 2 2222 851000.0 )03.0()03.0()01.0()04.0( F FCc 029.0)()( 2 測 量 列 平 均 值 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 估 計 值 為 當(dāng) P=0.99,k=7,由 表 2-2查 得 Kt=3.50,于 是 可 得 被 測 電 容 置 信 區(qū) 間 為故 被 測 電 容 真 值 C 0以 0.99的 置 信 概 率 可 能 處 在 75.01 75.09 F范 圍 內(nèi) 。 09.75,01.75 01.050.305.75,01.050.305.75 )(),( FF CKCCKC tt FnC 0

37、1.0)( （ 6） 計 算 ： 要 會 通 過 查 表 由 K求 P， 或 由 P求 K 在 正 態(tài) 分 布 下 ， n20次 。 K=1 P=68.27% K=2 P=95.45% K=3 P=99.73%表 示 ： K 3時 區(qū) 間 內(nèi) 置 信 率 為 99.73%。 ( ) 3 ( )M A A 2.4 粗 大 誤 差 的 剔 除p大 誤 差 出 現(xiàn) 的 概 率 很 小 ， 列 出 可 疑 數(shù) 據(jù) ， 分析 是 否 是 粗 大 誤 差 ， 若 是 ， 則 應(yīng) 將 對 應(yīng) 的 測量 值 剔 除 。p 1. 粗 大 誤 差 產(chǎn) 生 原 因 測 量 人 員 的 主 觀 原 因 ： 操 作 失

38、 誤 或 錯 誤 記 錄 ； 客 觀 外 界 條 件 的 原 因 ： 測 量 條 件 意 外 改 變 、 受 較 大 的 電 磁 干 擾 ， 或 測量 儀 器 偶 然 失 效 等 。 2. 粗 大 誤 差 的 判 別 準(zhǔn) 則統(tǒng) 計 學(xué) 的 方 法 的 基 本 思 想 是 ： 給 定 一 置 信 概 率 ， 確 定 相 應(yīng) 的置 信 區(qū) 間 ， 凡 超 過 置 信 區(qū) 間 的 誤 差 就 認(rèn) 為 是 粗 大 誤 差 ， 并 予以 剔 除 。拉 依 達(dá) 準(zhǔn) 則格 羅 布 斯 準(zhǔn) 則 3i max 0 ( , )g n a （ 1） 拉 依 達(dá) 準(zhǔn) 則拉 依 達(dá) 準(zhǔn) 則 ： 設(shè) 測 量 數(shù) 據(jù) 中

39、， 測 量 值 Ak的 隨 機 誤 差 為 K， 當(dāng) K 3 (A)時 ， 則 測 量 值 AK是 含 有 粗 大 誤 差 的 異 常 值 ， 應(yīng) 予 以 剔 除 。在 實 際 應(yīng) 用 中 ， 則 使 用 剩 余 誤 差 和 標(biāo) 準(zhǔn) 差 的 估 計 值 ， 即 （ 2） 格 羅 布 斯 (Grubbs)準(zhǔn) 則 格 羅 布 斯 準(zhǔn) 則 是 由 數(shù) 理 統(tǒng) 計 方 法 推 導(dǎo) 出 的 比 較 嚴(yán) 謹(jǐn) 的 結(jié) 論 ，具 有 明 確 的 概 率 意 義 。 當(dāng) 測 量 數(shù) 據(jù) 中 ， 測 量 值 A K的 剩 余 誤 差 K滿 足 則 測 量 值 Ak是 含 有 粗 大 誤 差 的 異 常 值 ， 應(yīng)

40、 予 以 剔 除 。 )(3| Av K )(),(| 0 AangvK 3 應(yīng) 注 意 的 問 題 所 有 的 檢 驗 法 都 是 人 為 主 觀 擬 定 的 ， 至 今無 統(tǒng) 一 的 規(guī) 定 。 當(dāng) 偏 離 正 態(tài) 分 布 和 測 量 次 數(shù)少 時 檢 驗 不 一 定 可 靠 。 若 有 多 個 可 疑 數(shù) 據(jù) 同 時 超 過 檢 驗 所 定 置 信區(qū) 間 ， 應(yīng) 逐 個 剔 除 ， 重 新 計 算 ， 再 行 判 別 。若 有 兩 個 相 同 數(shù) 據(jù) 超 出 范 圍 時 ， 應(yīng) 逐 個 剔 除 。 在 一 組 測 量 數(shù) 據(jù) 中 ， 可 疑 數(shù) 據(jù) 應(yīng) 很 少 。 反之 ， 說 明 系

41、統(tǒng) 工 作 不 正 常 。 粗 大 誤 差 剔 除 的 小 結(jié) ： 無 系 統(tǒng) 誤 差 （ 準(zhǔn) 確 度 較 高 的 表 ） 等 精 度 多 次 測 量 得 Ai , i=1,2,3n（ 1） 求 平 均 值 ：（ 2） 求 標(biāo) 準(zhǔn) 差 ：（ 3） 剔 除 粗 大 誤 差 AK， 若 有 重 復(fù) （ 1） 、 （ 2） ；（ 4） 計 算 其 算 術(shù) 平 均 值 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 ：（ 5） 給 出 置 信 概 率 下 結(jié) 果 ： 單 位 ni iAnA 11 21ivn ( ) /A A n ( )A k A 例 ： 用 準(zhǔn) 確 度 較 高 的 測 量 儀 器 對 某 電 阻 進(jìn) 行 16次 等

42、 精 度 測 量 ， 測 量 結(jié) 果 ：34.86, 35.21, 34.97, 35.14, 35.35, 35.21, 35.16, 35.22, 35.30, 35.71, 35.94, 35.63, 35.65, 35.70, 35.24, 35.36， 求 被 測 量 電 阻 的 測 量 結(jié) 果 。解 ： a. 無 系 統(tǒng) 誤 差 ； b. c. d.第 13次 ， 36.65-35.30=1.35 該 值 應(yīng) 剔 除 。 e.重 新 計 算 15次 測 量 的 f. i35.30 , v iR A A 2 0.4431ivn 3 ( )R 35.21 ( ) 0.34R R 0.3

43、4( ) / 0.0915 R= 3 ( ) 35.21 0.27R n R R 測 量 結(jié) 果 ： 【 例 】 對 某 電 壓 進(jìn) 行 了 16次 等 精 度 測 量 ， 測 量 數(shù) 據(jù) 中 已 記 入 修正 值 ， 列 于 表 中 。 要 求 給 出 包 括 誤 差 在 內(nèi) 的 測 量 結(jié) 果 表 達(dá) 式 。 1 205.3 0 0.09 9 205.71 0.41 0.5 2 204.94 -0.4 -0.27 10 204.7 -0.6 -0.51 3 205.63 0.33 0.42 11 204.86 -0.44 -0.35 4 205.24 -0.1 0.03 12 205.35

44、 0.05 0.14 5 206.65 1.35 13 205.21 -0.09 0 6 204.97 -0.3 -0.24 14 205.19 -0.11 -0.02 7 205.36 0.06 0.15 15 205.21 -0.09 0 8 205.16 -0.1 -0.05 16 205.32 0.02 0.11 殘 差 殘 差測 量 值序 號 殘 差 殘 差 序 號測 量 值 2.5 測 量 結(jié) 果 誤 差 的 估 計2.5.1 直 接 測 量 結(jié) 果 的 誤 差 估 計1.已 知 儀 表 的 量 程 和 準(zhǔn) 確 度 等 級 ， 測 量 結(jié) 果 表 示 ： A= aAm% 式 中 A

45、， A測 量 結(jié) 果 Ax的 絕 對 誤 差 和 相 對 誤 差 ， Ax為 測 量 結(jié) 果 ； a, Am分 別 為 儀 器 儀 表 的 準(zhǔn) 確 度 等 級 和 量 程 。%aAAxmA 2.已 知 儀 器 儀 表 的 基 本 誤 差 或 允 許 誤 差 的 測 量 結(jié) 果 (數(shù) 字 表 )： A= = (Ax %+n個 字 ) A=( /Ax) 100%式 中 儀 器 儀 表 的 基 本 誤 差 或 允 許 誤 差 3.若 進(jìn) 行 了 多 次 測 量 ， 則 還 應(yīng) 考 慮 隨 機 誤 差 的 影 響 。 若 多 次 測量 的 標(biāo) 準(zhǔn) 偏 差 的 估 計 值 為 ， 則 測 量 誤 差 為

46、 A= (aAm%+K ) A= ( +K )式 中 K置 信 因 子 。 2.5.2 間 接 測 量 結(jié) 果 的 誤 差 估 計 （ 誤 差 合 成 ）問 題 ： 用 間 接 法 測 量 電 阻 消 耗 的 功 率 時 ， 需 測 量 電 阻 R、 端 電 壓V和 電 流 I三 個 量 中 的 兩 個 量 ， 如 何 根 據(jù) 電 阻 、 電 壓 或 電 流 的誤 差 來 推 算 功 率 的 誤 差 呢 ？1 誤 差 合 成 的 一 般 公 式設(shè) 測 量 結(jié) 果 y是 n個 獨 立 變 量 A1,A2， ， An的 函 數(shù) ， 即 y=f(A1,A2,An) 絕 對 誤 差 ： 相 對 誤 差

47、 ：* 重 點 是 要 確 定 傳 遞 函 數(shù) C 和 C 。 iFy iFy 函 數(shù) 總 誤 差 等 于 各 誤 差 分 量 的 代 數(shù) 和 2 誤 差 傳 遞 系 數(shù) 的 確 定 確 定 誤 差 傳 遞 系 數(shù) 是 誤 差 合 成 的 關(guān) 鍵 。 傳 遞 系 數(shù) 確 定 的 常 用 方 法 有 微 分確 定 法 、 計 算 機 仿 真 確 定 法 和 實 驗 確 定 法 。 (1)微 分 確 定 法 條 件 ： 適 合 于 確 切 知 道 函 數(shù) 的 關(guān) 系 式 ， 已 知 y=f(A1,A2,An) 。 結(jié) 論 ：（ 2） 計 算 機 仿 真 確 定 法（ 3） 實 驗 確 定 法 。

48、iAfC i ii AfAC i ln 變 量 Ai對 函 數(shù) y的 絕 對 誤 差 傳 遞 系 數(shù) 等 于 y對 Ai的 一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 。 變 量 Ai對 函 數(shù) y的 相 對 誤 差 傳 遞 系 數(shù) ， 等 于函 數(shù) y的 對 數(shù) 對 Ai的 一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 乘 以 Ai。 p在 實 際 應(yīng) 用 中 ， 由 于 分 項 誤 差 符 號 不 定 而 可同 時 取 正 負(fù) ， 有 時 就 采 用 保 守 的 辦 法 來 估 算 誤差 ， 即 將 式 中 各 分 項 取 絕 對 值 后 再 相 加p該 公 式 常 用 于 在 設(shè) 計 階 段 中 對 傳 感 器 、 儀 器及 系 統(tǒng) 等

49、 的 誤 差 進(jìn) 行 分 析 和 估 算 ， 以 采 取 減 少誤 差 的 相 應(yīng) 措 施 。 但 是 ， 更 嚴(yán) 格 和 更 準(zhǔn) 確 地 計算 合 成 誤 差 的 方 法 是 測 量 不 確 定 度 理 論 中 的 合成 不 確 定 度 評 定 。 1n ii ify xx 幾 個 典 型 特 例 ： 1 21 21 21 22 1 1 2 1 212 1 2n m1 21 21 . y = x ( ) y = x + xy y = x x2 . y = x y = x x + x x x3 . y = y =4 . y = x x y = n xxy r rx r rr m r 電 阻 串

50、 聯(lián) 例 已 知 R1的 絕 對 誤 差 是 R1,R2的 絕 對 誤 差 是 R2， 試 分 別 求 出 兩 電 阻 串 聯(lián) 和 并 聯(lián)時 的 誤 差 表 達(dá) 式 。 解 設(shè) 串 聯(lián) 時 的 總 電 阻 為 RC， 則 RC=R1+R2 RC的 絕 對 誤 差 為 RC= R1+ R2 設(shè) 并 聯(lián) 時 的 總 電 阻 為 RB,則 )(1 21221 RRR RRRR iC 21 21 RR RRR B 221 212221 221 )(,)( RR RRRRR RRR BB )()( 1 211222212211 RRRRRRRRRRRRR BBB )()( 1 22111221 RRRR

51、RRRRRRbBR B 2.5.4 測 量 結(jié) 果 的 表 示設(shè) 被 測 量 Y的 估 計 值 為 y， 估 計 值 所 包 含 的 已 定 系 統(tǒng) 誤 差 分 量 為 y,估 計 值 的隨 機 誤 差 為 U， 則 被 測 量 Y的 測 量 結(jié) 果 可 表 示 為 Y=y- y U 或 者 y- y-U Y y- y+U 如 果 對 已 定 系 統(tǒng) 誤 差 分 量 為 y=0， 也 就 是 說 測 量 結(jié) 果 的 估 計 值 y不 再 含 有 可修 正 的 系 統(tǒng) 誤 差 ， 而 僅 含 有 不 確 定 的 誤 差 分 量 ， 此 時 ， 測 量 結(jié) 果 可 用 下 式 表 示 Y=y U

52、y-U Y y+U 用 上 述 兩 種 形 式 給 出 測 量 結(jié) 果 時 ， 應(yīng) 指 明 ky的 大 小 或 測 量 結(jié) 果 的 概 率 分 布 及置 信 概 率 p。在 測 量 實 踐 中 ， 常 見 的 測 量 結(jié) 果 的 表 達(dá) 形 式 有 ： Y=y U (p=0.68) Y=y U Y=y U (p=0.99) 2.7 微 小 誤 差 準(zhǔn) 則 與 比 對 標(biāo) 準(zhǔn) 的 選 取 2.7.1 微 小 誤 差 準(zhǔn) 則 根 據(jù) 有 效 數(shù) 字 規(guī) 則 ， 當(dāng) 某 一 項 誤 差 忽 略 后 所 帶 來 的 計 算 誤 差 不 超 過 總 誤 差 末 位 的半 個 單 位 ， 該 項 誤 差

53、就 是 微 小 誤 差 ， 也 是 微 小 誤 差 的 基 本 準(zhǔn) 則 。對 于 已 定 系 統(tǒng) 誤 差 合 成 ， 若 某 項 誤 差 分 量 不 大 于 總 誤 差 的 1/20時 ， 則 該 誤 差 分 量 可視 為 微 小 誤 差 ， 即 可 忽 略 不 計 。 對 于 工 程 測 量 ， 上 述 準(zhǔn) 則 可 放 寬 到 某 項 誤 差 分 量 不 大于 總 誤 差 的 1/10時 ， 則 該 誤 差 分 量 即 可 忽 略 。2.7.2 比 對 標(biāo) 準(zhǔn) 的 選 取比 對 標(biāo) 準(zhǔn) 的 選 取 在 儀 器 儀 表 的 檢 定 中 是 首 先 要 解 決 的 問 題 。當(dāng) 被 檢 儀 器 的 允 許 誤 差 用 一 位 有 效 數(shù) 字 表 示 時 ， 標(biāo) 準(zhǔn) 儀 器 (或 量 具 )的 誤 差 可 忽 略 的條 件 是 式 中 UN標(biāo) 準(zhǔn) 儀 器 (或 量 具 )的 允 許 誤 差 ； Ux被 檢 儀 器 的 允 許 誤 差 。被 檢 誤 差 中 以 正 態(tài) 分 布 的 隨 機 誤 差 或 未 定 系 統(tǒng) 誤 差 為 主 時 ， 標(biāo) 準(zhǔn) 儀 器 的 誤 差 可 忽 略條 件 是 xN UU )3191( xN UU 31