《清華微積分(高等數學)課件微積分(一)期末小結》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《清華微積分(高等數學)課件微積分(一)期末小結（46頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2021-4-26 1 微積分期末考試時間：2002年1月5日 下午：2:304:30地點:(1) 二教401 結11、結12、水工13學號279288 (2) 二教402 水工11、水工12、 水工13學號289298 (3) 二教403 結13、結14、文9、 水工13學號299308、其他 2021-4-26 2 期末考試答疑時間: 2002年1月3日下午、 1月4日上、下午 上午：8:30 11:30 下午：2:30 5:30地點：三教 1109 2021-4-26 3 微積分 (一)期末小結 2021-4-26 4 一.函數1.基本初等函數2.初等函數3.非初等函數*分段函數*參數方

2、程表示的函數*變限定積分*隱函數方程4.函數的初等性質 2021-4-26 5 二.極限定義極限的 ,.1 N極限的性質.2極限的有關定理.3求極限的方法.4基本公式等價無窮小替換羅必達法則 泰勒公式 2021-4-26 6 三.連續(xù)函數1.連續(xù)的基本概念2.閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質有界性零點定理介值定理最值定理 一致連續(xù)性 2021-4-26 7 四.導數與微分 0 00 0 )()(lim)( )()(:.1 0 xx xfxfxf xxfxfy xx 點的導數：在，設定義dxxfdy xdxxfy xxf )( )()()( 000 微分為點可微：在 2021-4-26 8 導數與微分的計

3、算.2基本公式四則運算法則復合函數求導法隱函數求導法反函數求導法對數微分法 參數方程求導法 2021-4-26 9 五.導數應用(一)微分學基本定理羅爾定理拉格朗日定理柯西定理(二)函數性態(tài)的研究增減性、極值凸性、拐點 漸近線(三)不等式的證明 2021-4-26 10 (五)泰勒公式1.皮亞諾型余項的泰勒公式有時則當階導數，到存在在點假設函數, 1)(0 0 xx nxxf )()(!1 )(!21)()()( 000)( 200000 nnn xxoxxxfn xxxfxxxfxfxf (四)羅必達法則 2021-4-26 11 2.拉格朗日型余項的泰勒公式 之間的某個點。與是介于其中有數

4、，則 階導到有在點假設函數 xx xxfn xxxfn xxxfxxxfxfxf bax nbaxxf nn nn0 10)1( 00)( 200000 0 )()!1( 1 )(!1 )(!21)()()( ),( 11),()( 2021-4-26 12 3.常用的麥克勞林公式)(!1!211)1 2 nnx xoxnxxe )()!12()1(!5!3sin)2 212153 kkk xokxxxxx )()!2()1(!4!21cos)3 2242 kkk xokxxxx )0( 0，皮亞諾型余項x 2021-4-26 13 )(! )1()1()1( !2 )1(1)1()5 2 n

5、n xoxn nxxx )(!)1(32)1ln()4 132 nnn xonxxxxx )(11 1)6 2 nn xoxxxx 2021-4-26 144.利用泰勒公式證明不等式5.利用泰勒公式作近似計算 要求1.掌握函數在一點的泰勒公式2.會用直接展開或間接展開的方法求 函數的泰勒公式3.能利用泰勒公式求某些函數的極限6.利用泰勒公式進行級數判斂 2021-4-26 15 六.不定積分(一)基本概念1.原函數上的一個原函數。在區(qū)間是，則稱上若在區(qū)間Ixf xFxfxFI)( )()()( 2.不定積分 CxFdxxf xf CCxFxf )()( )( )()(記作在區(qū)間上的不定積分，任

6、意常數）稱為為，（的全體原函數 2021-4-26 16 (二)基本性質 CxFdxxF )()(.1 )()(.2 xfdxxf dxxfdxxfd )()(.3 0,)()(.4 kdxxfkdxxkf dxxgdxxfdxxgxf )()()()(.5 2021-4-26 17 (三)基本公式)1(1 1.1 1 Cxdxx Cxdxx ln1.2 Cedxe xx .3 Cxxdx cossin.5 Cxxdx sincos.6 )1,0(ln1.4 aaCaadxa xx 2021-4-26 18 Cxxdx tansec.7 2 Cxxdx cotcsc.8 2 Cxdxx arc

7、tan1 1.9 2 Cxdxx arcsin1 1.10 2 Cxxdxx secsectan.11 Cxxdxx csccsccot.12 2021-4-26 19 )0(arctan11.13 22 aCaxadxxa )0(arcsin1.14 22 aCaxdxxa Cxxxdx sectanlnsec.15 Cxxxdx csccotlncsc.16 Cxa xaadxxa ln211.17 22 2021-4-26 20 Cxaxdxxa )ln(1.18 2222 Cchxshxdx .19 Cshxchxdx .20(四)計算方法利用基本公式.1 2021-4-26 21Cx

8、FCtF dtttfdxxf tx )()( )()()(.3 1)( 令變量置換法 vduuvudv分部積分法.4 )()()()()(.2 xdxgdxxxgdxxf 湊微分法 2021-4-26 22 七.定積分(一)基本概念1.定義 則稱此極存在如果極限令及劃分的任意對上有定義在設,)(lim )(max),2,1( ,),2,1(, : ,)( 10 111 2100 knk k knkkkk kkk nnkk xf xnkxxx nkxx bxxxxax babaxf 2021-4-26 23 .,)( )(lim)( ,)( 10上可積在此時稱上的定積分，記作在限值為baxf x

9、fdxxf baxf nk kkba 2.定積分的幾何意義. ,)()(之間所圍面積的代數和軸及直線與表示bx axxxfdxxfba 2021-4-26 24 (二)函數的可積性. ,)(,)(.1上有界在上可積，則在baxfbaxf . ,)(,)(.2可積上在，則若baxfbaCxf .,)(,)(.3上可積在間斷點，則上有界，只有有限個在若baxfbaxf 2021-4-26 25 ., )(,)(.4上可積在上單調有界，則在若ba xfbaxf .)(inf,)(sup , ,limlim, ,)(.5 11 11 000 xfmxfM xmsxMS Ssx babaxf kkkk

10、xxxkxxxk nk kknk kk nkk 其中有劃分的任意對上可積在 2021-4-26 26 (三)定積分的性質.,)()(1為常數）kdxxfkdxxkf baba bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()()(2） abba dxxfdxxf )()(4）0)(3 dxxfaa） bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(5） 2021-4-26 27 .)()( )()(,)()( ;)()( ,)()(6 baba baba dxxgdxxf xgxfbaCxgxf dxxgdxxf baxxgxf則、若則）若dxxfdxxf baba )()(7）)(

11、)()( ,)(8 abMdxxfabm Mxfm ba 則若）估值定理 2021-4-26 28 ).)()( ,)(9 abfdxxf babaCxf ba 使得則存在若）中值定理.)()()()( , ,)(,)(10 b aba dxxgfdxxgxf ba babaRxgbaCxf 使得則存在上不變號且在若）廣義中值定理 2021-4-26 29 (四)變上限定積分稱為變上限定積分。設)(, )()(,)( xFbax dxxfxFbaRxf xa ., )()(,)(1上連續(xù)在則）若ba dxxfxFbaRxf xa ).()(),( )()(,)(2 xfxFba dxxfxFb

12、aCxf xa 且，內可導在則）若 2021-4-26 30 (五)牛頓-萊布尼茲公式)()()()( )()(,)( aFbFxFdxxf xfxFbaCxf baba 則，原函數的一個是設(六)定積分計算 dtttfdxxf tbtab atxbaCxf ba )()()( )(,)(),( ),()(,)(.1連續(xù)，則滿足設變量置換法 2021-4-26 31 baba ba xduxvxvxuxdvxu )()()()()()(.2分部積分法3.特殊函數的積分性質 為奇函數，為偶函數則）設)(0 )(,)(2)( ,)(1 0 xf xfdxxfdxxf baCxf aaa .,)()

13、( ,)(2 0 Radxxfdxxf Txf TTaa 則周期為為連續(xù)的周期函數）設 2021-4-26 32 為奇數為偶數）nnnnn nnnnn xdxxdx nn 132231 221231 cossin3 2020 區(qū)間上的符號。在積分）要注意被積函數中的 ,4 2021-4-26 33 (七）定積分應用可加性。對區(qū)間具有所求量依賴于區(qū)間，并 ）積分求結果（）分小取微分（量求出其微分通過分析未知函數的增21微元分析法解決問題的方法：定積分應用問題的特征 2021-4-26 34 應用問題平面圖形的面積間體體積平行截面面積已知的空旋轉體體積平面曲線的弧長旋轉面的面積重心質量 引力轉動慣

14、量動能變力作功 2021-4-26 35 (八)廣義積分1.無窮區(qū)間上的廣義積分(1)定義 否則發(fā)散。此時稱廣義積分收斂，記作上的廣義積分在則稱此極限為存在若設.)(lim)( ,),)( ,)(lim),)( axa BaB dxxfdxxf axf dxxfaCxf 2021-4-26 36 (2)判斂法則比較判斂法比階判斂法絕對值判斂法柯西判斂準則2.無界函數的廣義積分 baba babx dxxfdxxf baxf dxxfxf baCxf )(lim)( ,)( ,)(lim,)(lim ),0(,)(:)1( 0 0記作上的廣義積分在此極限為則稱存在若設定義 2021-4-26 3

15、7 (2)判斂法則比較判斂法比階判斂法柯西判斂準則絕對值判斂法3.兩個重要的例發(fā)散。收斂，11),0(1)1( ppadxxa p發(fā)散。收斂，11,)( 1)2( ppdxaxba p 2021-4-26 38 要求1.掌握定積分的概念及性質2.了解定積分存在的條件與可積函數類3.能利用定積分性質對問題進行分析 與證明4.掌握變上限積分求導5.掌握牛頓萊布尼茲公式 2021-4-26 39 6.掌握定積分的變量置換法與分部積 分法8.會用定積分解決幾何與物理的簡單 問題9.掌握廣義積分的概念及判斂法則7.掌握弧長的微分與曲率的計算 2021-4-26 40 八.無窮級數(一)數項級數的概念 發(fā)

16、散。稱級數不收斂若即且和為收斂則稱級數存在極限部分和。若數列項稱為級數的記設級數 111 11 , .lim, , n nn nnn nn n n nk knn n uS SSuSu SS nuSu 2021-4-26 41 (二)級數的基本性質.0lim.1 1 nnn n uu收斂，則若 12111 21 11 )( ,.2 n nnn nn n nn n vkukvkuk vu n收斂，則設數的斂散性。，不改變級級數去掉或加上有限項.3 2021-4-26 42 且其和不變。組成的新級數仍收斂，收斂，則任意加括號后若1.4 n nu(三)柯西收斂準則 mnnn n uuu NnmNu 2

17、11 ,0,0有收斂 2021-4-26 43 2.比階判斂法3.達朗貝爾判斂法4.柯西根式判斂法5.柯西積分判斂法(四)正項級數的判斂法則1.比較判斂法 2021-4-26 44條件收斂。則稱收斂，而發(fā)散絕對收斂；若 1 11 ,n n n nn nu uu 2.絕對收斂、條件收斂收斂則稱級數若任意項級數 11 , n nn n uu(五)任意項級數的判斂法則1.交錯級數的萊布尼茲判斂法 2021-4-26 45 (六)重要級數發(fā)散。收斂1,1,.1 1 rrrn n發(fā)散。收斂1,1,1.2 1 ppnn p 2021-4-26 46 要求1. 掌握級數的概念和性質2. 掌握正項級數的比較、比階、 比值和根值判定準則3. 掌握任意項級數的絕對收斂和 條件收斂4. 交錯級數的萊布尼茨判定準則