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1、 《三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計 高一  溫欣 新課程專門設(shè)置“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”一節(jié)，目的是加強用三角 函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí)，這是以往教學(xué)中不太注意的內(nèi)容。書上 選擇了 4 個例題，循序漸進地從四個層次來介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用： 例一：根據(jù)圖象建立解析式。 （研究溫度隨時間呈周期性變化的問題） ； 例二：根據(jù)解析式作出圖象。 （研究與正弦函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù) y=|sinx| 的圖象及其周期） ； 例三：將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型。 （研究樓高 與樓在

2、地面的投影長的關(guān)系問題） ； 例四：利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點圖，并根據(jù)散點圖進行函數(shù)擬合，從 而得到函數(shù)模型。 （研究港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題） 。 根據(jù)教材的安排，我們分兩個課時完成這部分內(nèi)容：例一、例二、例三 為第一課時， 例四為第二課時。 在上第一課時時， 由于考慮到例二這個內(nèi)容， 在上正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)時已提前講解過，學(xué)生也已基本掌握，同時也考慮到本堂課時間的限制，在這里就不再重復(fù)。 根據(jù)新課程標準，我們將第一課時的教學(xué)目標，教學(xué)重難點定為： 1、知識目標： a 通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步學(xué)會由圖象求解析式

3、的方法； b 體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程； c 體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型． 2、能力目標：讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)“建?！?思想 ,從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、 分析問題、 數(shù)形結(jié)合、 抽象概括等能力． 3、情感目標：讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗數(shù)學(xué)在解決實際 問題中的價值和作用， 從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神。 教學(xué)重點：根據(jù)已知圖象求 y A sin( x ) b 的解析式；將實際問 題抽象為三角函數(shù)模型。 教學(xué)難點：分析、整理、利用信

4、息，從實際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型，并調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來解決問題． 教學(xué)過程如下： 首先從同學(xué)們比較熟悉的“物理中單擺、彈簧振子對平衡位置的位移與時間的關(guān)系”引入，說明在現(xiàn)實世界中存在著不少周而復(fù)始，循環(huán)不息的現(xiàn)象，包括有物理，地理方面的，也有心理、生理現(xiàn)象以及日常生活現(xiàn)象等，而這些具有周期性變化的現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上有時就可以借助三角函數(shù)來描述。這 里完全可以讓學(xué)生舉幾個例子。學(xué)生們的想象是很豐富的，比如說這里的峰谷電，自行車車輪轉(zhuǎn)動，溫度變化等就是由學(xué)生提出來的。這個界面（幻燈片 5）可以體現(xiàn)三角函數(shù)應(yīng)用的廣泛性。也可以由這個界面超級鏈接到各個例題

5、，起到一個提綱挈領(lǐng)的作用。 接下來是例一，已知函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，這是老教材就有的內(nèi)容，只不過套了一個“溫度”的外殼。為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實用性，即由圖象求得解 析式后，解析式有什么用， 在這里我補充了第三小題 “求出 8 時的近似溫度” 。 這（藍線）是為了說明如果拿平衡點代入求 值時會出現(xiàn)增根，需檢驗。 接下來是例二（也即書上的例三） ，為了增加親切感，我把書中的“北京地區(qū)”改為了“寧波地區(qū)” ，一些數(shù)值也進行了相應(yīng)的改動。本來對這道題我有點擔(dān)心，覺得“太陽高度角”這個概念自己理解起來都有點費力，學(xué)生能理解嗎？但實際上我的擔(dān)心是多余的。學(xué)生的地理知識遠遠超過我，他們很

6、快就能反映過來， “要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋”，只需考慮冬至那天，太陽直射南回歸線的情況，因為那一天太陽高度 角最小，物體的影子最長。而他們也很快反應(yīng)到：地球表面某地正午太陽高 度 角 為 900 減 去 太 陽 直 射 緯 度 與 該 地 緯 度 差 的 絕 對 值 （ 即 900 | |）。因此解這道題并不是特別困難。我們只需通過這幾張 幻燈片幫同學(xué)們理解一下這個公式的由來，這道題便迎刃而解。 為了進一步拉近數(shù)學(xué)與我們生活的距離， 讓學(xué)生真實感受到數(shù)學(xué)來源于 生活，生活中就有數(shù)學(xué)，我們還可以在這里補充這樣的反面問題：比如有一

7、 天你想買房，某住宅小區(qū)樓與樓之間相距 15 米，你要使所買的樓房一年四 季正午的太陽不被前面樓房遮擋，應(yīng)選擇哪幾層的房子？ 其實我們接觸到的三角函數(shù)模型的應(yīng)用有兩類： 一類是已知模型將其具 體化，如例 1；另一類是模型未知，需要你根據(jù)題目情況選擇合適的數(shù)學(xué)模 型加以解決，如例二。當然第二類難度更大。因此為了更好地突破難點，也 根據(jù)我校學(xué)生的實際情況，在做了簡單歸納總結(jié)后，我補充了例三。 例三的數(shù)學(xué)模型是未知的，要學(xué)生自己尋找合適的數(shù)學(xué)模型，它對學(xué)生 思維層次的要求比較高，學(xué)生可能會感到困難。因此我借助幾何畫板加以不 停的水輪旋轉(zhuǎn)演示，使學(xué)生

8、能夠發(fā)現(xiàn)角與高度的關(guān)系，幫助學(xué)生理解題意。 經(jīng)過討論探究，學(xué)生結(jié)合正弦函數(shù)的定義，給出正確解答。 至于本課的課后體驗探究是希望進一步拉近三角函數(shù)與學(xué)生的距離， 發(fā)學(xué)生的興趣。這是可以證明的，留給有興趣的學(xué)生完成。也可以試著讓學(xué)  激 生自編題目。 以上是第一課時，這堂課通過已知三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，構(gòu)建三角函數(shù)模型解決實際問題，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)原來就來自身邊的現(xiàn)實世界，它是認識和解決我們生活工作中問題的有力武器。

9、同時也獲得了進行數(shù) 學(xué)探究的切身體驗和能力，增強了他們對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。 《三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用》的第二課時便是書上的例四“港口海水深 度隨時間呈周期性變化的問題” ，這是繼必修 1 函數(shù)這一章節(jié)以后，第二次出現(xiàn)的函數(shù)擬合問題。但由于陌生的背景，復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理，函數(shù)思想運用 等學(xué)生還是會感到困難，我們對它的教學(xué)目標定位是： 知識目標：能正確分析收集到的數(shù)據(jù)，選擇恰當?shù)娜呛瘮?shù)模型刻畫數(shù)據(jù)所蘊涵的規(guī)律，能根據(jù)問題的實際意義，利用模型解釋有關(guān)實際問題，為決策提供依據(jù)。 能力目標：體會由現(xiàn)實問題選擇數(shù)學(xué)模型、研究數(shù)學(xué)模型、解決現(xiàn)實問題

10、的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生逐步養(yǎng)成運用信息技術(shù)工具解決實際問題的意識和習(xí)慣； 使學(xué)生進一步提升對函數(shù)概念的完整認識，培養(yǎng)用函數(shù)觀點綜合運用知識解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生理論與實踐相結(jié)合，用科學(xué)、辯證的眼光觀察事物，進而抓住事物的本質(zhì)。 情感目標：體驗探索和創(chuàng)造過程，從中獲得成功的快樂，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重要性，激發(fā)對數(shù)學(xué)的興趣和樹立自信心，滲透數(shù)學(xué)與現(xiàn)實統(tǒng)一和諧之美。 教學(xué)重點：用三角函數(shù)模型刻畫潮汐變化的規(guī)律，用函數(shù)思想解決具有周期變化規(guī)律的實際問題。 教學(xué)難點：對問題實際意義的數(shù)學(xué)解釋，從實際問題中抽象出三角函數(shù)模型，并綜合運用相關(guān)知識解決實際問題。 由于這堂課當時是

11、沈虎躍老師開的公開課，因此在這里我給大家演示的絕大部分也是沈老師的課件，稍做改動。我覺得他是從五個步驟來實現(xiàn)教學(xué)過程的。 （一）設(shè)置情境，呈現(xiàn)問題 為了增加趣味性，從法國圣米切爾山的漲潮、落潮引入。圣米切爾山是 繼巴黎鐵塔同凡爾賽宮之后， 法國第三大景點。 它的最大特點是 " 在水中央 "，潮漲時整座山幾乎四面環(huán) " 海 "，潮退時則一片荒漠。 這個引入大受學(xué)生歡迎，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)的興趣。另外也可以這樣引入：這是沖浪，依據(jù)規(guī)定，當海 浪高度高于 1 米時，才對沖浪者開放；這是我們的寧波港。 、隨后提出問題 （幻燈片 23）。這兩個問題實質(zhì)上就是本堂課要研究的重點問

12、題，在這里先 給學(xué)生一個直觀感覺，為接下來的例題出現(xiàn)提供背景。 （二）探索實踐，尋找模型 (1)初步認識 更進一步地提出具體問題（幻燈片 24）。 作散點圖時，注意引導(dǎo)學(xué)生與“五點法”相聯(lián)系，這樣很容易聯(lián)想到三 角函數(shù)。我們也完全可以借助計算機 exsel 來完成作圖，由于考慮到潮水漲 落的實際情況， 我們考慮采用平滑線散點圖， 而不是折線散點圖 .根據(jù)圖象可 以考慮用函數(shù) y Asin( x ) b 來刻畫水深與時間的關(guān)系 . 由圖象求出 解析式。求出解析式后便可依賴計算器或計算機求得各整點時的水深的近似值。

13、 (2) 深入探索 （幻燈片 27~30）。問題二也就是說只有當海水深度超過 5.5 米時，貨船 才能夠安全進出港口，并在港口停留。它的求解如果只利用表格或圖象，只能看個大概。要想得到相對精確的數(shù)值必須如書上寫的依靠計算機或計算器通過函數(shù)解析式結(jié)合函數(shù)周期進行數(shù)據(jù)運算。 “試試看”是問題二的反面問題，可以借助圖象解決，但最快的是利用表格里面的數(shù)據(jù)。 問題三貨船的安全水深由一個常量改為了變量，把它抽象為關(guān)于時刻 x 的一個一次函數(shù)。我們在列出函數(shù)表達式后，也采用數(shù)形結(jié)合的方法加以解 決?？梢钥吹皆?P 點之前必須將船駛向較深水域。書上結(jié)合圖象用兩頭逼近的方法非常近似

14、地求得在 6 點半前駛向較深水域，那么如何比較精確地求得 P 點的時間值呢？書上注解說用二分法求解，但課堂時間有限，用二分法求 解會化費太多的時間，這時我們可以用計算機 excel 的單變量求解功能來快 速求解，以節(jié)省時間。 ( 三) 回歸現(xiàn)實 . 提出問題 考慮到問題的實際意義，待問題解決以后，我們要回歸現(xiàn)實提問學(xué)生： “在貨艙的安全水深正好與港口水深相等時停止卸貨，行嗎？” 。事實上這是不行的，因為這樣不能保證貨船有足夠的時間發(fā)動螺旋槳。因此雖然我們 得出比較精確的時間 6.715,但最后我們?nèi)耘f要答“為了安全貨船最好在 6 點半之前停止卸貨，將

15、船駛向較深水域。 ”因此書上只求近似值，未求精確解 的做法是完全可行。但我們這種求精確點，答近似值的做法可以向?qū)W生更好地說明建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題所得的模型是近似的并且得到的解也是近似的，這就需要根據(jù)實際背景對問題的解進行具體分析，得出合乎實際的回答。其實剛才的問題二也有同樣的情況。 ( 四) 練習(xí)反饋 , 提高能力 在解決好上述問題之后，如時間允許，可進行一些練習(xí)，一則可以改編一些問題讓學(xué)生試著解決；二則也可以讓學(xué)生就此模型再提出一些其它問題，并加以解決。這里的“練習(xí)”是與引入中的“沖浪”相呼應(yīng)。 ( 五 ) 總結(jié)提煉 , 延時探究 課后探究：寧波港潮汐與天安門廣場國旗的升降時間，并向?qū)W生提供 網(wǎng)站與信息。將探究活動延續(xù)到課后 , 切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力與解決問題的能力 .