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《快速傅里葉變換》PPT課件

上傳人:san****019 文檔編號:21706358 上傳時間:2021-05-07 格式:PPT 頁數(shù):68 大?。?37KB
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1、第四章快速傅里葉變換1.引言2.直接計算DFT的問題及改進的途徑3.按時間抽選(DIT)的基2FFT算法4.離散傅里葉反變換(IDFT)的快速計算方法5.N為復(fù)合數(shù)的FFT算法混合基算法6.線性調(diào)頻Z變換(Chirp-z變換)算法7.線性卷積與線性相關(guān)的FFT算法 1.引言庫利和圖基發(fā)表的“機器計算傅里葉級數(shù)的一種算法”桑德和圖基的快速算法的出現(xiàn)。主要討論幾種FFT算法。 2.直接計算DFT的問題及改進的途徑 DFT和IDFT的變換公式 4.1式可寫成(4.3) 10 , 0,1, , 1N nkNnX k x n W k N 4.1 101 , 0,1, , 1N nkNkx n X k W

2、 n NN (4-2) 1 10 01 0 Re Im Re ImRe Re Im Im Re Im Im ReN Nnk nk nkN N Nn nN nk nk nk nkN N N NnX k x nW x n j x n W j Wx n W x n W j x n W x n W 存在問題:整個DFT運算總共需要4 次行乘法運算和次加法運算。直接計算DFT,乘法次數(shù)和加法次數(shù)都是和成正比。2N2(2 1) 2 (2 1)N N N N 2N 減少DFT運算工作量的途徑:利用對稱性:(1)的對稱性:(2)的周期性:(3)的可約性:可以得出實際辦法:(1)用上述特性對項合并(2)將長序列

3、的DFT分解為短序列的DFT。 3.按時間抽選的基2FFT算法3.1算法原理先設(shè)序列點數(shù)為,按n的奇偶進行分解將DFT化為2LN 利用系數(shù)的可約性,即得(4.5)式中(4.6)(4.7)nkNW 1 12 21 2 2 2 1 20 0N Nrk k rk kN N N Nr rX k x r W W x r W X k W X k 1 12 21 1 2 20 0 2N Nrk rkN Nr rX k x r W x r W 1 12 22 2 2 20 0 2 1N Nrk rkN Nr rX k x r W x r W 應(yīng)用系數(shù)的周期性可得(4.8)(4.9)再考慮性質(zhì)(4.10)把4.

4、8,4.9,4.10代入4.5式,將X(k)表達成前后兩部分,前部分為(4.11)后部分為 (4.12) 1 12 221 1 2 1 2 10 02 N NNr k rkN Nr rNX k x r W x r W X k 2 22NX k X k 22N k N k kN N N NW W W W 1 2 ,kNX k X k W X k 0,1, , 12Nk 21 21 22 2 2, 0,1, , 12Nr kNkNN N NX k X k W X kNX k W X k k 這樣,4.11、12式只要0-(N/2-1)區(qū)間的所有的值,即可求0到(N-1)區(qū)間所有X(k)值。 4.1

5、1和4.12式用圖41的蝶形符號表示。 N8的情況如圖42 分析:每個蝶形運算需要一次復(fù)數(shù)乘法及兩次復(fù)數(shù)加(減)法。通過分解后運算工作量差不多減少到一半。 進一步把N/2點子序列再按奇偶部分分解為兩個N/4點的子序列且其中 圖43,給出N8時,在分解為兩個N/4點DFT,由兩個N/4點DFT組合成N/2點DFT的流圖。 也可進行同樣分解:其中 一個N8點DFT就可分解為四個N/42點DFT如圖 序列按奇偶分解標(biāo)號變化討論(N8)第一次分解:兩個N/2點序列: 第二次分解,每個N/2點子序列按其奇偶分解為兩個N/4點子序列 最后2點DFT按41417進行計算。這種方法的每一步分解都是按輸入序列在

6、時間上的次序是屬于偶數(shù)不是屬于奇數(shù)來分解為兩個更短的子序列,所以稱為“按時間抽選法”。 運算量分析直接DFT復(fù)數(shù)算法次數(shù)是 FFT復(fù)數(shù)乘法次數(shù)是 DFT和FFT算法的計算量之比為結(jié)論:FFT比DFT更優(yōu)越,當(dāng)N越大時,優(yōu)點更明顯。 三、按時間抽選的FFT算法特點 1.原位運算每個蝶形結(jié)構(gòu)完成下述基本迭代運算: 4.21的蝶形運算如圖47所示。 2.倒位序規(guī)律 3.倒位序的實現(xiàn):通過變址運算完成 4.蝶形運算兩結(jié)點的距離:第m級運算,每個蝶形的兩節(jié)點距離為的確定第m級運算由421式寫成其中r的求解方法為 6.存儲單元輸入序列N個單元系數(shù)N/2個單元 四.按時間抽選的FFT算法的其它形式流程圖 4

7、.5離散傅里葉反變換的快速計算方法從IDFT公式與DFT公式比較可知,只要把DFT運算中的每一個系數(shù)變成,最后再乘常數(shù)1/N,則以上所有按時間抽選或按頻率抽選的FFT都可以拿來運算IDFT。 不改FFT的程序計算IFFT方法:對4.29式取共軛因而 4.6N為復(fù)合數(shù)的FFT算法混合基算法當(dāng)N不滿足時,可有以下幾種辦法(1)將x(n)補一些零值點的辦法(2)如要求準(zhǔn)確的N點DFT,而N又是素數(shù),則只能采用直接DFT方法,或者用CZT方法。(3)N是復(fù)合數(shù),即它可以分解成一些成一些因子的乘積,用混合基算法。 一.整數(shù)的多基多進制表示形式(1)對于二進制,表示為二進制倒序為(2)對于r進制,正序倒序

8、 (3)對于多進制或稱混合基 N可以表示成復(fù)合數(shù),則對于 的任一個正整數(shù)n,可以按L個基表示。正序倒序 在這一多進制的表示中可記為 例41 二、的快速算法要計算N點DFT為(4.39)設(shè)n是一個復(fù)合數(shù),可將n的數(shù)用下面的公式表達:(4.40)同樣,倒序表達為(4.41) 例:設(shè),則那么所以則排列為1 24, 2r r 同樣,若則所以 將4.40式與4.41式代入4.39式,可得上式運用了結(jié)果 4.42式可進一步表示為 式中 N為復(fù)合數(shù)的DFT算法的步驟歸納如下:(1)將x(n)改寫成利用利用4.44式做個點DFT,得利用4.45式,把N個乘以相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)因子,組成。利用4.46式,做個點DFT,

9、得利用4.47式,進行整序,得到其中 對于重寫n和k的表達式則4.44式變成 此時有兩組4點DFT。4.45,46式分別變成后一式子共有4組2點DFT,4.47式變成 算法可以采用先乘旋轉(zhuǎn)因子再算DFT的算法當(dāng)N為一個復(fù)合數(shù)時,可以分解為一些因子的乘積 2.N為復(fù)合數(shù)時FFT運算量的估計當(dāng)時,運算量為復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法直接計算N個點DFT工作量加法乘法:N(N1) 混合基算法可節(jié)省的運算量倍數(shù)為乘法加法 當(dāng)時,混合基算法總乘法次數(shù)與直接計算DFT相比,運算量之比 4.10 線性卷積與線性相關(guān)的FFT算法一、線性卷積的FFT算法 1.概念設(shè)x(n)為L點,h(n)為M點,輸出y(n)為 y(n)也

10、是有限長序列,其點數(shù)為LM1。 2.線性卷積運算量乘法次數(shù) 線性相位濾波器滿足條件運算結(jié)構(gòu)如圖5.26,5.27所示線性相位FIR濾波器的乘法運算量 用FFT法(圓周卷積)來代替這線性卷積時,不產(chǎn)生混疊條件是使x(n),h(n)都補零值點,補到至少N=M+L-1,即然后計算圓周卷積此時y(n)能代表線性卷積結(jié)果。 用FFT計算y(n)步驟如下:(1)求,N點(2)求,N點(3)計算;(4)求,N點 工作量分析 FFT計算工作量(4.105)用線性相位濾波器來比較直接計算線性卷積和FFT法計算線性卷積時比值(4.106) 運算量分析:(1)x(n)與h(n)點數(shù)差不多,設(shè)ML,則,則計算得下表

11、(2)當(dāng)x(n)點數(shù)很多時,即當(dāng)則這時當(dāng)L太大時,體現(xiàn)不出圓周積分的優(yōu)點。解決辦法:分段卷積或稱分段過濾 1.重疊相加法設(shè)h(n)的點數(shù)為M,信號x(n)為很長的序列。將x(n)分解為很多段,每段為L點,L選擇成和M的數(shù)量級相同,用表示x(n)的第i段(4.108)則輸入序列可表示成(4.109)線性卷積為(4.110) 每一個才可用快速卷積辦法來運算,對和補零值點,補到N點。為利用基2算法,取,然后作N點的圓周卷積其方法如圖429所示。 重疊相加法的步驟總結(jié)(1)計算N點FFT,(2)計算N點FFT,(3)相乘,(4)計算N點IFFT,(5)將各段(包括重疊部分相加), 2.重疊保留法先將x(n)分段,每段補上LNM1個點;序列中補零處不補零,而每一段的前邊補上前一段保留下來的(M1)個輸入序列值,組成LM1點序列,如圖4.30a所示。如果,則可在每段序列未端補零值點,補到長度為2m。 二、線性相關(guān)的FFT算法:常稱之為快速相關(guān),要利用補零值點的辦法避免混疊失真。設(shè)x(n)為L點,y(n)為M點,需求線性相關(guān)(4.115)利用FFT法求線性相關(guān)是用圓周相關(guān)代替線性相關(guān),選擇令 其計算步驟如下:(1)求N點FFT,(2)求N點FFT,(3)求乘積,(4)求N點IFFT,同樣,可以只利用已有的FFT程序計算IFFT,求 再見!

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