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1、8.1 匹配濾波器8.2 最小差錯概率接收準(zhǔn)則8.3 確知信號的最佳接收機(jī)8.4 隨相信號的最佳接收機(jī)8.5 最佳接收機(jī)性能比較8.6 最佳基帶傳輸系統(tǒng) 第 8 章 數(shù)字信號的最佳接收返回主目錄 第8章 數(shù)字信號的最佳接收 在數(shù)字通信系統(tǒng)中，信道的傳輸特性和傳輸過程中噪聲的存在是影響通信性能的兩個主要因素。人們總是希望在一定的傳輸條件下，達(dá)到最好的傳輸性能，最佳接收就是在噪聲干擾中如何有效地檢測出信號。 所謂最佳是在某種標(biāo)準(zhǔn)下系統(tǒng)性能達(dá)到最佳，最佳接收是個相對的概念，在某種準(zhǔn)則下的最佳系統(tǒng)，在另外一種準(zhǔn)則下就不一定是最佳的。在某些特定條件下，幾種最佳準(zhǔn)則也可能是等價的。 在數(shù)字通信中，最常采用

2、的是輸出信噪比最大準(zhǔn)則和差錯概率最小準(zhǔn)則。 8.1 匹配濾波器（Matched Filter） 在數(shù)字信號接收中，濾波器的作用有兩個方面，第一是使濾波器輸出有用信號成分盡可能強(qiáng)；第二是抑制信號帶外噪聲，使濾波器輸出噪聲成分盡可能小，減小噪聲對信號判決的影響。 通常對最佳線性濾波器的設(shè)計有兩種準(zhǔn)則：一種是使濾波器輸出的信號波形與發(fā)送信號波形之間的均方誤差最小，由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為維納濾波器；另一種是使濾波器輸出信噪比在某一特定時刻達(dá)到最大，由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為匹配濾波器。在數(shù)字通信中，匹配濾波器具有更廣泛的應(yīng)用。 圖 8 1 數(shù)字信號接收等效原理圖 H()判決s(t) n(t

3、) r(t) y(t) tt0輸出SN( )o 由數(shù)字信號的判決原理我們知道，抽樣判決器輸出數(shù)據(jù)正確與否，與濾波器輸出信號波形和發(fā)送信號波形之間的相似程度無關(guān)，也即與濾波器輸出信號波形的失真程度無關(guān)，而只取決于抽樣時刻信號的瞬時功率與噪聲平均功率之比，即信噪比。信噪比越大，錯誤判決的概率就越?。环粗?，信噪比越小，錯誤判決概率就越大。 因此，為了使錯誤判決概率盡可能小，就要選擇濾波器傳輸特性使濾波器輸出信噪比盡可能大的濾波器。當(dāng)選擇的濾波器傳輸特性使輸出信噪比達(dá)到最大值時，該濾波器就稱為輸出信噪比最大的最佳線性濾波器。下面就來分析當(dāng)濾波器具有什么樣的特性時才能使輸出信噪比達(dá)到最大。 濾波器輸入(

4、8.1 - 1)()()( tntstr 濾波器輸出(8.1 - 2)()()( 00 tntsty deHSdeSts tjtj )()(21)(21)( 00 (8.1 - 3) 濾波器輸出噪聲的平均功率為 dHPdPN inn 20 )()(21)(21 0 dHndHn 2020 )(4)()(221 (8.1 - 4) dHn deSHNtsr tj20 20 2000 )(4 )()(21)( 0在抽樣時刻t0，線性濾波器輸出信號的瞬時功率與噪聲平均功率之比為(8.1 - 5) 濾波器輸出信噪比ro與輸入信號的頻譜函數(shù)S()和濾波器的傳輸函數(shù)H()有關(guān)。在輸入信號給定的情況下，輸出

5、信噪比ro只與濾波器的傳輸函數(shù)H()有關(guān)。使輸出信噪比ro達(dá)到最大的傳輸函數(shù)H()就是我們所要求的最佳濾波器的傳輸函數(shù)。施瓦茲(Schwartz)不等式 dYdXdYX 222 )(21)(21)()(21 (8.1 - 6)式中， X()和Y()都是實(shí)變量的復(fù)函數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)時式中等式才能成立。)()( KYX (8.1 - 7) )()( HX (8.1 - 8)0)()( tjeSY (8.1 - 9)令可得 dHn deSHr tj20 20 )(4 )()(21 0 (8.1 - 10)2 )(21)(4 )()(41 0 220 222 0 n dSdHn deSdH tj 根據(jù)帕塞

6、瓦爾(Parseval)定理有EdttsdS )()(21 22 (8.1 - 11) 00 2nEr (8.1 - 12)因此最大輸出信噪比0max0 2nEr (8.1 - 13) 0)()( tjeKSH (8.1 - 14)根據(jù)施瓦茲不等式中等號成立的條件可得匹配濾波器 deeKSdeHth tjtjtj 0)(21)(21)( dsdeK dedesK ttj ttjj )(21 )(2 )( )(0 0 )()()( 00 ttKsdttsK (8.1 - 15) 即匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為)()( 0 ttKsth (8.1 - 16)上式表明，匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)

7、是輸入信號s(t)的鏡像函數(shù)，t0為輸出最大信噪比時刻。 圖8-2 匹配濾波器單位沖激響應(yīng)原理s(t)O T t h(t)O tt0 0,0 0),()( 0 ttttKsth (8.1 - 17)對于因果系統(tǒng)000 0,0)( 0,0)( ttttts ttts 或(8.1 - 18)因此必須有(8.1 - 19) 上式條件說明，對于一個物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器，其輸入信號s(t)必須在它輸出最大信噪比的時刻t0之前結(jié)束。也就是說，若輸入信號在T時刻結(jié)束，則對物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器，其輸出最大信噪比時刻t0必須在輸入信號結(jié)束之后，即t0T。對于接收機(jī)來說，t 0是時間延遲，通?？偸窍Ｍ麜r間延遲

8、盡可能小，因此一般情況可取t0=T。 dtKsts dhtsthtsts )()( )()()()()( 00 (8.1 - 20)輸出信號)()()()( 000 ttRKdxttxsxsKts (8.1 - 21)令xt 0 上式表明，匹配濾波器的輸出波形是輸入信號s(t)的自相關(guān)函數(shù)的K倍。因此，匹配濾波器可以看成是一個計算輸入信號自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)器，其在t0時刻得到最大輸出信噪比romax=2E/n0。由于輸出信噪比與常數(shù)K無關(guān)，所以通常取K=1。 例 8 - 1設(shè)輸入信號如圖 8 - 3(a)所示，試求該信號的匹配濾波器傳輸函數(shù)和輸出信號波形。 頻譜函數(shù) 其它,0 20,1)( Tt

9、ts解：(1) 輸入信號為 22/0 11)()( TjT tjtj ejdtedtetsS傳遞函數(shù)00 11)()( 2 tjTjtj eejeSH 沖激響應(yīng))()( 0 ttsth 圖8-3 信號時間波形(a) (b)so(t)O T t(c)2T 2T 2T 23T s(t) 0 T t 2 T 1 h(t) 0 T t 1 )thts 取t0=T，則有TjTj eejH 11)( 2)()( 0 ttsth (2) 匹配濾波器的輸出為 其它,0 23,23 2,2 )()()()( 000 TtTtT TtTtT dxttxsxsttRts可見，匹配濾波器的輸出在t=T時刻得到最大的能

10、量E= T/2。 8.2 最小差錯概率接收準(zhǔn)則 匹配濾波器是以抽樣時刻信噪比最大為標(biāo)準(zhǔn)來構(gòu)造接收機(jī)。在數(shù)字通信中，人們更關(guān)心判決輸出的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確率，因此，使輸出總誤碼率最小的最小差錯概率準(zhǔn)則，更適合于作為數(shù)字信號接收的準(zhǔn)則。8.2.1 數(shù)字信號接收的統(tǒng)計模型 在數(shù)字信號的最佳接收分析中，我們不是采用先給出接收機(jī)模型然后分析其性能的分析方法，而是從數(shù)字信號接收統(tǒng)計模型出發(fā)，依據(jù)某種最佳接收準(zhǔn)則，推導(dǎo)出相應(yīng)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)，然后再分析其性能。 圖 8 4 數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計模型X S Y判決規(guī)則Rn消息空間信號空間觀察空間判決空間噪聲空間 圖中消息空間、 信號空間、噪聲空間、觀察空間及判決空間分別代

11、表消息、 發(fā)送信號、噪聲、接收信號波形及判決結(jié)果的所有可能狀態(tài)的集合。各個空間的狀態(tài)用它們的統(tǒng)計特性來描述。 在數(shù)字通信系統(tǒng)中，消息是離散的狀態(tài)。 消息是各種物理量，本身不能直接在數(shù)字通信系統(tǒng)中進(jìn)行傳輸，因此需要將消息變換為相應(yīng)的電信號s(t)。通常最直接的方法是建立消息與信號之間一一對應(yīng)的關(guān)系 )()()( 2211 mmxPxxPxxPx 1)(1 mi ixP mxPxPxP m 1)()()( 21 msssS , 21 1)(1 mi isP msPsPsP m 1)()()( 21 mxxxX , 21 )()()( 2211 mmsPssPssPs 消息信號 P(si)是描述信號

12、發(fā)送概率的參數(shù)，通常稱為先驗(yàn)概率，它是信號統(tǒng)計檢測的第一數(shù)據(jù)。 信道特性是加性高斯噪聲信道，噪聲空間n是加性高斯噪聲。為了更全面地描述噪聲的統(tǒng)計特性，采用噪聲的多維聯(lián)合概率密度函數(shù)。(8.2 - 7),()( 21 knnnfnf 根據(jù)隨機(jī)信號分析理論我們知道，若噪聲是高斯白噪聲，則它在任意兩個時刻上得到的樣值都是互不相關(guān)的，同時也是統(tǒng)計獨(dú)立的；若噪聲是帶限高斯型的，按抽樣定理對其抽樣，則它在抽樣時刻上的樣值也是互不相關(guān)的，同時也是統(tǒng)計獨(dú)立的。根據(jù)隨機(jī)信號分析，若隨機(jī)信號各樣值是統(tǒng)計獨(dú)立的，則有k維概率密度(8.2 - 8) )()()(),( 2121 kk nfnfnfnnnf 222ex

13、p21)( nini nnf ki inkn nnf 1 2221exp21)( 根據(jù)帕塞瓦爾定理，當(dāng)k很大時有dttnnn Tk i in )(121 0 201 22 (8.2 - 9)一維概率密度(8.2 - 10)k維概率密度(8.2 - 11)式中 為噪聲的單邊功率譜密度。 Hnfn 20 公式(8.2-11)的推導(dǎo)： 若低通信道的截止頻率為fH，理想抽樣頻率為2fH，則在(0, T)時間內(nèi)共有2fHT個抽樣值，其平均功率為 TfknTfN Hki iH 2,2 1 1 20 令抽樣間隔 ，若 ，則有Hft 21 Tkn dttnnnf 0 20 )(1exp21)( (8.2 -

14、12)Tt Tki i dttnTtnTN 0 21 20 )(11 Tki iHki in dttnntntfnn 0 201 201 22 )(12 121將公式(8.2-11)代入(8.2-10)可得 信號通過信道疊加噪聲后到達(dá)觀察空間，由于在一個碼元期間T內(nèi)，信號集合中各狀態(tài)s1, s2, , sm 中之一被發(fā)送，因此在觀察期間T內(nèi)觀察波形為由于n(t)是均值為零，方差為2n的高斯過程，則當(dāng)出現(xiàn)信號si(t)時, y(t)的概率密度函數(shù)可表示為),2,1()()()( mitstnty i (8.2 - 13)(8.2 - 14) ),2,1()()(1exp21)( 0 20 mid

15、ttstynyf T iknsi fsi(y)稱為似然函數(shù)，它是信號統(tǒng)計檢測的第二數(shù)據(jù)。 8.2.2 最佳接收準(zhǔn)則 在數(shù)字通信系統(tǒng)中，最直觀且最合理的準(zhǔn)則是“最小差錯概率”準(zhǔn)則。由于在傳輸過程中，信號會受到畸變和噪聲的干擾，發(fā)送信號si(t)時不一定能判為ri出現(xiàn)，而是判決空間的所有狀態(tài)都可能出現(xiàn)。這樣將會造成錯誤接收，我們期望錯誤接收的概率愈小愈好。 在噪聲干擾環(huán)境中，按照何種方法接收信號才能使得錯誤概率最小？我們以二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)為例分析其原理。在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，發(fā)送信號只有兩種狀態(tài)，假設(shè)發(fā)送信號s 1(t)和s2(t)的先驗(yàn)概率分別為P(s1)和P(s2)，s1(t)和s2(t)

16、在觀察時刻的取值分別為a1和a2，出現(xiàn)s1(t)信號時y(t)的概率密度函數(shù)fs1(y)為 dtatynyf Tkns 20 10 )(1exp21)(1 同理(8.2 - 15) dtatynyf Tkns 20 20 )(1exp21)(2 (8.2 - 16)圖 8- 5 f s1(y)和fs2(y)的曲線圖fs1(y) fs2(y) ya2 aa1 yi 若在觀察時刻得到的觀察值為yi，可依概率將yi判為r1或r2。 a sa s dyyfqdyyfq )()( 21 21可以看出即yi屬于r1的概率大于yi屬于r2的概率。因此，依大概率應(yīng)將yi判為r1出現(xiàn)。 a s dyyfq )(

17、11在yi附近取一小區(qū)間aa內(nèi)屬于r1的概率 (8.2 - 17) a s dyyfq )(22a內(nèi)屬于r2的概率 (8.2 - 18) 圖 8 6 判決過程示意圖 ya2y 0a1P Pfs1( y) fs2( y)r1 r2 根據(jù)fs1(y)和fs2(y)的單調(diào)性質(zhì)，在下圖中y坐標(biāo)上可以找到一個劃分點(diǎn)y0。在區(qū)間(-, y0，q1q2；在區(qū)間(y0, )，q1q2。根據(jù)下圖所分析的判決原理，當(dāng)觀察時刻得到的觀察值yi (-, y0)時，判為r1出現(xiàn)；若觀察時刻得到的觀察值yi (y0, )時，判為r2出現(xiàn)。 如果發(fā)送的是s1(t)，但是觀察時刻得到的觀察值yi落在(y0,)區(qū)間, 被判為r

18、2出現(xiàn)，這時將造成錯誤判決，其錯誤概率為dyyfsP y ss )()( 0 11 2 (8.2 - 19)dyyfsP y ss )()( 0 22 1 (8.2 - 20)同理dyyfsPdyyfsP sPsPsPsPP y sy s sse )()()()( )()()()( 0 20 1 21 21 1221 (8.2 - 21)總誤碼率可以看出，系統(tǒng)總的誤碼率與先驗(yàn)概率、似然函數(shù)及劃分點(diǎn)y0有關(guān)。 在先驗(yàn)概率和似然函數(shù)一定的情況下，系統(tǒng)總的誤碼率Pe是劃分點(diǎn)y0的函數(shù)。)( )()( )( 120021 sP sPyf yfss 00 yPe (8.2 - 22)0)()()()(

19、0201 21 yfsPyfsP ss (8.2 - 23)y0為最佳劃分點(diǎn)，于是有(8.2 - 24) 為了達(dá)到最小差錯概率，可以按以下規(guī)則進(jìn)行判決 )(,)( )()( )( )(,)( )()( )( 2212 1112 2121 srsP sPyf yf srsP sPyf yfssss即判為即判為(8.2 - 25)以上判決規(guī)則稱為似然比準(zhǔn)則。在加性高斯白噪聲條件下，似然比準(zhǔn)則和最小差錯概率準(zhǔn)則是等價的。 當(dāng)s1(t)和s2(t)的發(fā)送概率相等時，即P(s1)=P(s2)時，則有 )(),()( )(),()( 22 1121 21 sryfyf sryfyf ss ss即判為即判為

20、(8.2 - 26) 上式判決規(guī)則稱為最大似然準(zhǔn)則，其物理概念是，接收到的波形y中，哪個似然函數(shù)大就判為哪個信號出現(xiàn)。 以上判決規(guī)則可以推廣到多進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，對于m個可能發(fā)送的信號，在先驗(yàn)概率相等時的最大似然準(zhǔn)則為 最小差錯概率準(zhǔn)則是數(shù)字通信系統(tǒng)最常采用的準(zhǔn)則，除此之外，貝葉斯(Bayes)準(zhǔn)則、尼曼-皮爾遜(Neyman-Pearson)準(zhǔn)則、極大極小準(zhǔn)則等有時也被采用。 );,2,1;,2,1( ),()( jimjmi syfyf iss ji 判為(8.2 - 27) 8.3 確知信號的最佳接收機(jī) 信號統(tǒng)計檢測是利用概率和數(shù)理統(tǒng)計的工具來設(shè)計接收機(jī)。所謂最佳接收機(jī)設(shè)計是指在一組給

21、定的假設(shè)條件下，利用信號檢測理論給出滿足某種最佳準(zhǔn)則接收機(jī)的數(shù)學(xué)描述和組成原理框圖，而不涉及接收機(jī)各級的具體電路。 圖 8 7 接收端原理最佳接收機(jī)s(t) n(t)輸出 8.3.1 二進(jìn)制確知信號最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu) tT dttsEdttsEE 0 2220 211 )()(在 (0, T)內(nèi)(8.3 - 1) 時發(fā)送時發(fā)送)(),()( )(),()()( 22 11 tstnts tstntsty (8.3 - 2)合成波 dttstynyf Tkns 20 10 )()(1exp21)(1 (8.3 - 3) dttstynyf Tkns 20 20 )()(1exp21)(2 (8.3

22、- 4)似然函數(shù))( )()( )( 120021 sP sPyf yfss (8.3 - 5)判為s1(t)出現(xiàn) )( )()( )( 120021 sP sPyf yfss (8.3 - 6)判為s2(t)出現(xiàn) TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(判為s1(t)出現(xiàn) TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(判為s2(t)出現(xiàn) )(ln2 )(ln2 202 101 sPnU sPnU (8.3 - 9)式中在先驗(yàn)概率P(s1)和P(s2)給定的情況下，U1和U2都為常數(shù)。 圖 8 8 二進(jìn)制確知信號最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)積分器y(t)

23、 s1(t)輸出積分器 s2(t) U1U2比較器 這種最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)是按比較觀察波形y(t)與s1(t)和s2(t)的相關(guān)性而構(gòu)成的，因而稱為相關(guān)接收機(jī)。其中相乘器與積分器構(gòu)成相關(guān)器。 圖 8- 9 二進(jìn)制確知信號最佳接收機(jī)簡化結(jié)構(gòu) 積分器y(t) s1(t)輸出積分器 s2(t)比較器 如果發(fā)送信號s1(t)和s2(t)的出現(xiàn)概率相等，即P(s1)=P(s2)，則可得U1=U2。于是在先驗(yàn)等概率情況下的二進(jìn)制確知信號最佳接收機(jī)可以簡化結(jié)構(gòu)。 匹配濾波器可以看成是一個計算輸入信號自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)器。)()( tTsth (8.3 - 10)沖激響應(yīng) )()()( tntsty (8.3 -

24、 11)合成波 (8.3 - 12)t=T時刻的輸出 TTT dttsty dttTTsty dttThtyTu 0000 )()( )()( )()()(可以看出匹配濾波器在抽樣時刻t=T時的輸出樣值與最佳接收機(jī)中相關(guān)器在t=T時的輸出樣值相等，因此，可以用匹配濾波器代替相關(guān)器構(gòu)成最佳接收機(jī)。 圖 8- 10 匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)h1(t)s1(Tt)(0tT)y(t)輸出比較器h2(t)s2(Tt)(0tT) 在最小差錯概率準(zhǔn)則下，相關(guān)器形式的最佳接收機(jī)與匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)是等價的。另外，無論是相關(guān)器還是匹配濾波器形式的最佳接收機(jī), 它們的比較器都是在t=T時刻才作出判決，也即在碼元結(jié)束時刻才能給出最佳判決結(jié)果。因此，判決時刻的任何偏差都將影響接收機(jī)的性能。 本章結(jié)束習(xí)題：8-4，8-8， 8-9