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1、 9.1.1 常 數(shù) 項 級 數(shù) 的 概 念1. 常 數(shù) 項 級 數(shù) 的 定 義 : nn n uuuuu 3211 一 般 項 ni inn uuuus 121 級 數(shù) 的 前 n項 的 和 稱 為 級 數(shù) 的 部 分 和 ：部 分 和 數(shù) 列 ， 記 作 . ns 2. 級 數(shù) 的 收 斂 與 發(fā) 散 : 如 果 級 數(shù) 1n nu 的 部 分 和 數(shù) 列 ns 有 極 限 s, 即 ssnn lim 則 稱 無 窮 級 數(shù) 1n nu 收 斂 . 反 之 ， 則 稱 無 窮 級 數(shù) 1n nu 發(fā) 散 . 即 常 數(shù) 項 級 數(shù) 收 斂 (發(fā) 散 ) nn slim 存 在 (不 存 在

2、 )余 項 nn ssr 21 nn uu 1i inu 即 ssn 誤 差 為 nr )0lim( nn r 例 1 討 論 等 比 級 數(shù) (幾 何 級 數(shù) ) nn n aqaqaqaaq 20 )0( a 的 收 斂 性 . 等 比 級 數(shù) 是 一 個 常 用 的 級 數(shù) 發(fā)散時當(dāng)收斂時當(dāng),1 ,10 qqaqn n 結(jié) 論 ： ,1時當(dāng)q 0lim nn q qasnn 1lim,1時當(dāng)q nn qlim nn slim 收 斂 發(fā) 散時如果1q ,1時當(dāng)q,1時當(dāng)q nasn 發(fā) 散 aaaa級數(shù)變?yōu)椴淮嬖趎n slim 發(fā) 散 綜 上 發(fā)散時當(dāng)收斂時當(dāng),1 ,10 qqaqn n

3、解時如果1q 12 nn aqaqaqas qaqa n 1 ,11 qaqqa n 1 )1( 1)1( n nn、 1 )12)(12( 1)2( n nn、 .2 的 斂 散 性判 別 下 列 級 數(shù)例 )11ln()3( 1 n n、 在 用 級 數(shù) 收 斂 的 定 義 來 判 定 級 數(shù) 的 斂 散 性 時 ，“ 拆 項 求 和 ” 是 常 用 的 方 法 之 一 。 二 、 收 斂 級 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì)性 質(zhì) 1 如 果 級 數(shù) 1n nu 收 斂 于 和 s,則 1n nku 也 收 斂 ，且 其 和 為 ks. 性 質(zhì) 2 設(shè) 兩 收 斂 級 數(shù) 1n nus , 1n

4、nv , 則 級 數(shù) 1 )(n nn vu 收 斂 ,其 和 為 s . 注 意 ：1.由 性 質(zhì) 2可 知 ， 兩 收 斂 級 數(shù) 的 和 或 差 是 收 斂 級 數(shù)2.兩 發(fā) 散 級 數(shù) 的 和 或 差 可 能 收 斂 也 可 能 發(fā) 散 ， 如 1 1 1 11 1 11,)1(1,)1(,1 n n n nn n 發(fā) 散收 斂而發(fā) 散發(fā) 散3.一 收 斂 級 數(shù) 和 一 發(fā) 散 級 數(shù) 的 和 或 差 必 發(fā) 散 1 1 1 1:,n n n n nnnn vuvu 發(fā) 散求 證發(fā) 散收 斂設(shè)用 反 證 法 ： 1 1 1 1 ,n n n n nnnn wvuw 那 末收 斂如 果

5、記 1 11 ,2 n n nnn n uwv 證 畢也 收 斂 與 原 假 設(shè) 矛 盾可 知由 性 質(zhì) 性 質(zhì) 3 在 級 數(shù) 中 去 掉 、 加 上 或 改 變 有 限 項 ， 不 會 改變 級 數(shù) 的 收 斂 性 . 性 質(zhì) 4 如 果 級 數(shù) 1n nu 收 斂 ， 則 對 這 級 數(shù) 的 項 任 意 加 括 弧 后 所 成 的 級 數(shù) 仍 收 斂 ， 且 其 和 不 變 . 推 論 如 果 加 括 弧 后 所 成 的 級 數(shù) 發(fā) 散 ,則 原 來 級 數(shù) 也 發(fā) 散 . 級 數(shù) 收 斂 .0lim nn u 性 質(zhì) 5(級 數(shù) 收 斂 的 必 要 條 件 ) 如 果 級 數(shù) 1n n

6、u 收 斂 ， 則 即趨 于 零它 的 一 般 項 ,nu .0lim ， 則 級 數(shù) 必 發(fā) 散若 nn u 這 是 判 別 積 數(shù) 發(fā) 散的 一 個 有 效 方 法 .1)1(3 1 1 的 斂 散 性判 別 級 數(shù)例 n n nn的 斂 散 性判 定 調(diào) 和 級 數(shù)例 n1312114 例 ： 判 別 下 列 級 數(shù) 的 斂 散 性221 1(1) 1n nn 1 ( 1)(2) 5 1nn nn 1(3) (ln3)nn 1 1 1(4) ( )2 3n nn 1 1(5) (3 ( 1) )n nn 1 1 1(6) ( ln )2nn n 1 2 )()7( n nnn 1 )122()8( n nnn