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1、 正 態(tài) 分 布 是 應(yīng) 用 最廣 泛 的 一 種 連 續(xù) 型 分 布 . 正 態(tài) 分 布 在 十 九 世 紀(jì) 前 葉 由高 斯 加 以 推 廣 ， 所 以 通 常 稱 為 高斯 分 布 . 德 莫 佛 德 莫 佛 最 早 發(fā) 現(xiàn) 了 二 項(xiàng) 概率 的 一 個(gè) 近 似 公 式 ， 這 一 公 式被 認(rèn) 為 是 正 態(tài) 分 布 的 首 次 露 面 . 正 態(tài) 分 布 的 定 義 是 什 么 呢 ？對(duì) 于 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ， 一 般 是 給 出它 的 概 率 密 度 函 數(shù) 。 一 、 正 態(tài) 分 布 的 定 義 若 r.v X的 概 率 密 度 為 ),( 2NX記 作 )(,21)

2、( 2 22 )( xexf x 其 中 和 都 是 常 數(shù) ， 任 意 ， 0，則 稱 X服 從 參 數(shù) 為 和 的 正 態(tài) 分 布 . 2 2f (x)所 確 定 的 曲 線 叫 作 正 態(tài) 曲 線 . 正 態(tài) 分 布 有 些 什 么 性 質(zhì) 呢 ？ 由 于 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 唯 一 地 由 它的 密 度 函 數(shù) 所 描 述 ， 我 們 來(lái) 看 看 正 態(tài)分 布 的 密 度 函 數(shù) 有 什 么 特 點(diǎn) 。 正 態(tài) 分 布請(qǐng) 看 演 示 正 態(tài) 分 布 由 它 的 兩 個(gè) 參 數(shù) 和 唯一 確 定 ， 當(dāng) 和 不 同 時(shí) ， 是 不 同 的 正態(tài) 分 布 。 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布

3、下 面 我 們 介 紹 一 種 最 重 要 的 正 態(tài) 分 布 （ 一 ） 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 概 率 計(jì) 算1,0 的 正 態(tài) 分 布 稱 為 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 . xex x ,21)( 2 2記 作 ： )1,0( NX 其 概 率 密 度 為 ： )(x 其 圖 像 是 關(guān) 于 y軸對(duì) 稱 的 鐘 罩 形 曲 線 ，（ 如 右 所 示 ） 特 點(diǎn) 是 “ 兩 頭 小 ， 中 間 大 ， 關(guān) 于 y 軸 對(duì) 稱 ” . 書 末 附 有 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) 數(shù) 值 表 （ 見(jiàn)附 表 三 ） 。 x xdtexXPx x t 2221)()( 表 中 給 的 是 x

4、 0時(shí) , (x)的 值 .)99.40( x當(dāng) -x0時(shí) )( x )( xXP )( xXP )(1 xXP )(1 x )99.40( x 0)(,5;1)(,5 xxxx 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)當(dāng) -x0), 分 別 代 入 f (x), 可得 f (+c)=f (-c)且 f (+c) f (), f (-c)f ()或 這 說(shuō) 明 曲 線 f(x)向 左 右 伸 展 時(shí) ， 越 來(lái) 越貼 近 x軸 。 即 f (x)以 x軸 為 漸 近 線 。 xexf x ,)( )( 2 2221 當(dāng) x 時(shí) ， f(x) 0, 用 求 導(dǎo) 的 方 法 可 以 證 明 ， xexf x ,)( )( 2 2

5、221 為 f (x)的 兩 個(gè) 拐 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 。x = 下 面 是 我 們 用 某 大 學(xué) 男 大 學(xué) 生 的 身 高的 數(shù) 據(jù) 畫 出 的 頻 率 直 方 圖 。 紅 線 是 擬合 的 正 態(tài)密 度 曲 線可 見(jiàn) ， 某 大 學(xué) 男 大 學(xué) 生 的 身 高應(yīng) 服 從 正 態(tài) 分 布 。 人 的 身 高 高 低 不 等 ， 但 中 等 身 材 的 占 大多 數(shù) ， 特 高 和 特 矮 的 只 是 少 數(shù) ， 而 且 較高 和 較 矮 的 人 數(shù) 大 致 相 近 ， 這 從 一 個(gè) 方面 反 映 了 服 從 正 態(tài) 分 布 的 隨 機(jī) 變 量 的 特點(diǎn) 。 除 了 我 們 在 前 面

6、 提 過(guò) 的 身 高 外 ,在 正 常條 件 下 各 種 產(chǎn) 品 的 質(zhì) 量 指 標(biāo) ， 如 零 件 的 尺寸 ； 纖 維 的 強(qiáng) 度 和 張 力 ； 農(nóng) 作 物 的 產(chǎn) 量 ，小 麥 的 穗 長(zhǎng) 、 株 高 ； 測(cè) 量 誤 差 ， 射 擊 目 標(biāo)的 水 平 或 垂 直 偏 差 ； 信 號(hào) 噪 聲 ； 學(xué) 生 的 成績(jī) 等 等 ， 都 服 從 或 近 似 服 從 正 態(tài) 分 布 . xexf x ,)( )( 2 2221 服 從 正 態(tài) 分 布 的 隨 機(jī) 變 量X的 概 率 密 度 是 ),( 2NX的 分 布 函 數(shù) P(Xx)是 怎 樣 的 呢 ？ 設(shè) X ,),( 2N X的 分 布

7、 函 數(shù) 是 xdtexF x t ,)( )( 2 2221 設(shè) X ,),( 2N X的 分 布 函 數(shù) 是)( ,21)()( 2 22 )( x dtexXPxF x t 正 態(tài) 分 布 由 它 的 兩 個(gè) 參 數(shù) 和 唯一 確 定 ， 當(dāng) 和 不 同 時(shí) ， 是 不 同 的 正態(tài) 分 布 。 決 定 了 圖 形 的 中 心 位 置 ， 決 定 了 圖 形中 峰 的 陡 峭 程 度 . 正 態(tài) 分 布 的 圖 形 特 點(diǎn)),( 2N 正 態(tài) 分 布請(qǐng) 看 演 示 它 的 依 據(jù) 是 下 面 的 定 理 ： 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 重 要 性 在 于 ， 任 何 一 個(gè)一 般 的 正

8、 態(tài) 分 布 都 可 以 通 過(guò) 線 性 變 換 轉(zhuǎn) 化 為標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 . 根 據(jù) 定 理 1,只 要 將 一 般 正 態(tài) 分 布 的 分 布函 數(shù) 轉(zhuǎn) 化 成 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 ， 然 后 查 表 就 可 解決 一 般 正 態(tài) 分 布 的 概 率 計(jì) 算 問(wèn) 題 .),( 2NX XY,則 N(0,1) 設(shè)定 理 1 )1,0(),( 2 NYNX 設(shè) 其 概 率 密 度 分 別 為 ：)(),( 0 yx 分 布 函 數(shù) 分 別 為 ： )(),( 0 yx 2 22 )(21)( xex 2)(21211 xe)(1 0 x )(1 0 y則 (1) xx dttdtt

9、x )(1)()()2( 0 xx dttdttx )(1)()()2( 0 ty dyyx )(0)(0 x ),( 2NX XY,則 N(0,1) 即 設(shè) ),( 2NX若 XY N(0,1) 因 此 有 ： YX aYaX aY)()( aYPaXP )( 0 a )( bYaP)( bXaP )()( 00 ab bYabXa bYa bYa 例 2 ).23( ),3(),2(),4,3( XP XPXPNX 求若解 ： )2( XP )232( 0 )1,0(2 3)4,3( NXYNX )5.0(1 0 )5.0(0 3085.06915.01 )2 33()233( 00 )3

10、3()3( XPXP )3()0( 00 )3(1)0( 00 49865.0 998650.015.0 )51()23( XPXP )231()235( 00 1)1(2 0 )1()1( 00 6826.0 18413.02 由 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 查 表 計(jì) 算 可 以 求 得 ，這 說(shuō) 明 ， X的 取 值 幾 乎 全 部 集 中 在 -3,3區(qū) 間內(nèi) ， 超 出 這 個(gè) 范 圍 的 可 能 性 僅 占 不 到 0.3%.當(dāng) X N(0,1)時(shí) ，P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 0例 3、 3 準(zhǔn) 則P(|X| 2)=2 (2)-1=0.95440P(|X| 3

11、)=2 (3)-1=0.9974 0 將 上 述 結(jié) 論 推 廣 到 一 般 的 正 態(tài) 分 布 , ),( 2NY 時(shí) ， 6826.0)|(| YP 9544.0)2|(| YP 9974.0)3|(| YP可 以 認(rèn) 為 ， Y 的 取 值 幾 乎 全 部 集 中 在3,3 區(qū) 間 內(nèi) . 這 在 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 上 稱 作 “ 3 準(zhǔn) 則 ” （ 三 倍 標(biāo) 準(zhǔn) 差 原 則 ） . 例 4 某 科 統(tǒng) 考 成 績(jī) 服 從 正 態(tài) 分 布 及 格 人 數(shù) 為 100人 ， 計(jì) 算 ： （ 1） 不 及 格 人 數(shù) ； （ 2） 成 績(jī) 前 20名 的 人 數(shù) 在 考 生 中 所 占 的 比

12、例 ； （ 3） 第 20名 考 生 的 成 績(jī) 。 )10,70( 2N解 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 表 示 考 生 該 科 的 統(tǒng) 考 成 績(jī) 。則 )10,70( 2NX設(shè) 參 加 該 科 統(tǒng) 考 的 人 數(shù) 為 n， 首 先 求 n。 )60(1)60( XPXP )107060(1 0 )1(11)1(1 00 8413.0)1( 0 即 及 格 人 數(shù) 占 全 體 考 生 的 84.13%， 及 格的 有 100人 ， 故 全 體 考 生 人 數(shù) 為8413.0100n (1)不 及 格 人 數(shù) 在 全 體 考 生 中 所 占 比 例 為1-84.13%=15.87%,則 不 及

13、 格 人 數(shù) 為 :n%87.15 人198413.0100%87.15 (2)前 20名 考 生 所 占 比 例 為1008413.02020 n %8.1616826.0 (3)設(shè) 第 20名 考 生 成 績(jī) 為 分 , 則 有0 x16826.0)( 0 xXP )(1)( 00 xXPxXP 16826.0)1070(1 00 x 83174.016826.01)1070( 00 x查 表 可 得 : 96.010700 x 分806.790 x 例 5 公 共 汽 車 車 門 的 高 度 是 按 男 人 與 車 門碰 頭 的 機(jī) 會(huì) 不 超 過(guò) 0.01而 設(shè) 計(jì) 的 . 設(shè) 男 人

14、 身 高服 從 的 正 態(tài) 分 布 , 即 , 問(wèn) 車 門 的 高 度 應(yīng) 如 何 確 定 ?cmcm 7,168 )7,168( 2NX解 : 設(shè) 車 門 的 高 度 為 hcm,由 題 意 知 :01.0)( hXP 99.0)7168()( 0 hhXP 即查 表 可 得 33.27168 h cmh 184 例 6 某 兇 殺 案 中 有 A、 B兩 個(gè) 嫌 疑 人 ， 從 各自 住 處 到 兇 殺 現(xiàn) 場(chǎng) 所 需 時(shí) 間 X（ 分 鐘 ） 均 服 從正 態(tài) 分 布 。 A所 用 時(shí) 間 服 從 ， B所 用時(shí) 間 服 從 。 如 果 僅 有 65分 鐘 可 用 ，問(wèn) 誰(shuí) 的 作 案

15、嫌 疑 較 大 ？ )10,50( 2N)4,60( 2N解 ： A 在 65分 鐘 內(nèi) 從 住 處 及 時(shí) 到 達(dá) 兇 殺 現(xiàn) 場(chǎng) 的概 率 為 ： )65( XP 9332.0)5.1(0 )105065(0 B 在 65分 鐘 內(nèi) 從 住 處 及 時(shí) 到 達(dá) 兇 殺 現(xiàn) 場(chǎng) 的概 率 為 ： )46065(0 8944.0)25.1( 0 )65( XP可 見(jiàn) ， A 作 案 的 嫌 疑 較 大 。 上 一 講 我 們 已 經(jīng) 看 到 ， 當(dāng) n很 大 ， p接近 0或 1時(shí) ， 二 項(xiàng) 分 布 近 似 泊 松 分 布 ; 如 果n很 大 ， 而 p不 接 近 于 0或 1， 那 么 可

16、 以 證 明 ，二 項(xiàng) 分 布 近 似 于 正 態(tài) 分 布 . 下 面 我 們 不 加 證 明 地 介 紹 有 關(guān) 二 項(xiàng) 分布 近 似 于 正 態(tài) 分 布 的 一 個(gè) 定 理 ， 稱 為 棣 莫佛 拉 普 拉 斯 定 理 . 二 、 二 項(xiàng) 分 布 的 正 態(tài) 近 似定 理 (棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 定 理 ） 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 服 從 參 數(shù) n, p(0p1)的二 項(xiàng) 分 布 ， 則 對(duì) 任 意 x， 有X dtex t 2221 定 理 表 明 ， 當(dāng) n很 大 ， 0p1是 一 個(gè) 定 值時(shí) （ 或 者 說(shuō) ， np(1-p)也 不 太 小 時(shí) ） ， 二 項(xiàng) 變量 的 分 布

17、 近 似 正 態(tài) 分 布 N(np,np(1-p).X )1(lim xpnp npXPn 二 項(xiàng) 分 布 的 正 態(tài) 近 似 實(shí) 用 中 ， n 30， np 10時(shí) 正 態(tài) 近似 的 效 果 較 好 . 即 )1( )1,0(),( pq NnpqnpXpnBX 則 近 似 有若 請(qǐng) 看 演 示 例 7 將 一 枚 硬 幣 拋 擲 10000次 ， 出 現(xiàn) 正 面 5800次 ， 認(rèn) 為 這 枚 硬 幣 不 均 勻 是 否 合 理 ? 試 說(shuō) 明 理 由 .解 : 設(shè) X為 10000次 試 驗(yàn) 中 出 現(xiàn) 正 面 的 次 數(shù) ，采 用 正 態(tài) 近 似 , np=5000, np(1-p)=2500,若 硬 幣 是 均 勻 的 ， XB(10000， 0.5),505000)1( Xpnp npX近 似 正 態(tài) 分 布 N(0,1).即 =1-0(16) )5050005800(1 0 0此 概 率 接 近 于 0， 故 認(rèn) 為 這 枚 硬 幣 不 均 勻是 合 理 的 .P(X5800) =1-P(XN) 01.0)(1 NXP 99.0)( NXP 即或 )1,0(97.2 3 NX 近 似 有 要 使 P(XN) 01.0)(1 NXP 99.0)( NXP 即 )33.2(99.0)97.2 3( 00 N 33.297.2 3 N即 015.7N8N故