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1、第 7課 時 空 間 向 量 的 應 用 1異面直線所成的角(1)過空間任一點O分別作異面直線a與b的平行線a與b，那么直線a與b所成的 的角，叫做異面直線a與b所成的角基礎知識梳理不大于90 (2)異面直線所成角的向量公式 兩異面直線a、b的方向向量分別為m和n.當m與n的夾角不大于90時，異面直線a、b所成的角與m和n的夾角 ；當m與n的夾角大于90時，直線a、b所成的角與m和n的夾角 所以直線a、b所成的角的余弦值為 .基礎知識梳理相等互補 2直線和平面所成的角 (1)平面的斜線與它在平面上的 所成的角叫做這條斜線與平面所成的角 (2)直線與平面所成角的向量公式 直線a的方向向量和平面的

2、法向量分別為m和n，若m與n的夾角不大于90時，直線a與平面所成的角等于 ；若m與n的夾角大于90時，直線a與平面所成的角等于 ，所以直線a的方向向量和平面所成的角的正弦值為 .基礎知識梳理射影m與n的夾角的余角m與n的夾角的補角的余角 3平面和平面所成的角(1)過二面角l棱上任一點O作垂直于棱l的平面角，與面、的交線分別為OA、OB，那么 叫做二面角l的平面角(2)平面與平面所成角的向量公式平面與平面的法向量分別為m和n，則二面角與m、n的夾角 基礎知識梳理 AOB相等或互補 1若平面，的法向量分別為n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則()A B C，相交但不垂直 D以上均不正確答案：

3、 C三基能力強化 2若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于()A120 B60C30 D以上均錯答案： C三基能力強化 3(教材習題改編)在如圖所示的正方體A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中點，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為()三基能力強化答案：D 三基能力強化4已知直線l的方向向量為v，平面的法向量是，且v0，則l與的位置關系是_答案： l 或 l 5.已知正方體ABCDA1B1C1D1中平面AB1D1與平面A1BD所成的角為(090)，則cos_.三基能力強化 設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則課堂互動講練考點一求 異 面

4、 直 線 所 成 的 角l1與 l2所 成 的 角 a與 b的 夾 角 a， b范 圍 0 0 a， b 求 法 cos |cos a， b | cos a， b 課堂互動講練(2009年高考廣東卷)如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點E是正方形BCC1B1的中心，點F、G分別是棱C1D1、AA1的中點，設點E1、G1分別是點E、G在平面DCC1D1內(nèi)的正投影(1)證明：直線FG1平面FEE1；(2)求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值 課堂互動講練 課堂互動講練 課堂互動講練 由題設知點E、F、G1、E1的坐標分別為(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2

5、,1)，課堂互動講練 課堂互動講練 課堂互動講練 題目條件不變，求異面直線AE與CG所成角的余弦值課堂互動講練 課堂互動講練考點二求 直 線 與 平 面 所 成 的 角 課堂互動講練 課堂互動講練(2008年高考海南、寧夏卷)如圖，已知點P在正方體ABCDABCD的對角線BD上， PDA60.(1)求DP與CC所成角的大??；(2)求DP與平面AADD所成角的大小 課堂互動講練【解】如圖所示，以D為原點，棱DA，DC，DD所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系設棱長為1，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，C(0,1,1)， 課堂互動講練 課堂互動講練 課堂互動講練 課

6、堂互動講練【誤區(qū)警示】在求直線和平面所成的角時，誤認為直線的方向向量和平面的法向量的夾角就是直線和平面所成角，其錯誤原因一是概念不清，二是做題不認真 1利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如圖所示，m，n即為所求二面角的平面角課堂互動講練考點三求 二 面 角 課堂互動講練2對易于建立空間直角坐標系的幾何體，求二面角的大小時，可以利用這兩個平面的法向量的夾角來求 如圖所示，二面角l，平面的法向量為n1，平面的法向量為n2，n1，n2，則二面角l的大小為或.課堂互動講練 課堂互動講練已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD， ABC60，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(1)證

7、明AE PD； 課堂互動講練【思路點撥】據(jù)題意，題目中過A點的線中垂直關系比較明顯，可以以A為坐標原點建立空間坐標系，利用向量法求解【解】(1)證明：由四邊形ABCD為菱形， ABC60，可得ABC為正三角形，點E為BC的中點，所以AE BC. 又BC AD，因此AE AD.因為PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA AE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA，所以AE平面PAD.又PD平面PAD，所以AE PD.課堂互動講練 (2)設AB2，H為PD上任意一點由(1)知AE平面PAD，則 EHA為EH與平面PAD所成的角課堂互動講練 所以 ADH45.所以PA2.由(1)知AE

8、，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E、F分別為BC、PC的中點，課堂互動講練 課堂互動講練 取z11，則m(0,2，1)因為BD AC，BD PA，PAACA，所以BD平面AFC.課堂互動講練 【規(guī)律總結】利用向量法求二面角的步驟：(1)利用圖形性質(zhì)建立坐標系；(2)求兩半平面的法向量；(3)求法向量的夾角；(4)結合圖形轉化二面角課堂互動講練 在有些立體幾何的解答題中，建立空間直角坐標系，以向量為工具，利用空間向量的坐標和數(shù)量積解決直線，平面問題的位置關系、角度、長度等問題越來越受青睞，尤其是探索性問題，比用傳統(tǒng)立體幾何方法簡便快捷課堂互動講練考點四利 用

9、 空 間 向 量 解 決 空 間 中 的 探 索 性 問 題 課堂互動講練 課堂互動講練(1)求證：AC SD；(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大??；(3)在(2)的條件下，側棱SC上是否存在一點E，使得BE平面PAC.若存在，求SE EC的值；若不存在，試說明理由 課堂互動講練【思路點撥】建立空間坐標系，以AC、BD為坐標軸 課堂互動講練 課堂互動講練 課堂互動講練 課堂互動講練 【名師點評】利用空間向量解決探索性問題，具有一定的優(yōu)越性，其思路上，利用坐標系，表示出一些點的坐標，計算出滿足條件的關系，從而探索出所要研究的問題課堂互動講練 4(本題滿分12分)如圖，三棱柱ABCA1B

10、1C1中，AA1平面ABC，BC AC，BCAC2，AA13，D為AC的中點課堂互動講練 (1)求證：AB1平面BDC1；(2)求二面角C1BDC的余弦值；(3)在側棱AA1上是否存在點P，使得CP平面BDC1？并證明你的結論解：(1)證明：連結B1C，與BC1相交于O，連結OD，如圖，四邊形BCC1B1是矩形， O是B1C的中點又D是AC的中點， OD AB1. AB1平面BDC1，OD平面BDC1， AB 1平面BDC1. 4分 課堂互動講練 課堂互動講練 課堂互動講練 (3)假設側棱AA1上存在一點P(2，y,0)(0y3)，使得CP平面BDC1.方程組無解，假設不成立側棱AA 1上不存

11、在點P，使得CP平面BDC1 12分 課堂互動講練 用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲” (1)兩種思維方法用空間向量解決立體幾何問題，有兩種基本思維：一種是利用空間向量表示幾何量，利用向量的運算進行判斷，此種方法不需要建系；另一種是用空間向量的坐標表示幾何量，利用向量的坐標運算進行判斷，此種方法需要建系規(guī)律方法總結 (2)“三步曲”建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何意義，即回歸到圖形問題規(guī)律方法總結 隨堂即時鞏固 課時活頁訓練