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1、第七章 立體幾何 第 五節(jié)直 線 、平 面垂 直的 判定 與性 質 抓 基 礎明 考 向提 能 力 教 你 一 招我 來 演 練 返 回 備 考 方 向 要 明 了 考 什 么 以 立 體 幾 何 的 定 義 、 公 理 和 定 理 為 出 發(fā) 點 ， 認 識 和 理解 空 間 中 線 面 垂 直 的 判 定 定 理 與 有 關 性 質 . 返 回怎 么 考1.線 線 、 線 面 、 面 面 垂 直 的 問 題 是 命 題 的 熱 點 2.著 重 考 查 垂 直 關 系 的 轉 化 及 應 用 題 型 多 以 選 擇 題 、 解 答 題 為 主 難 度 中 、 低 檔 . 返 回 返 回一 、

2、 直 線 與 平 面 垂 直1 直 線 和 平 面 垂 直 的 定 義 直 線 l與 平 面 內 的 直 線 都 垂 直 ， 就 說 直 線 l與 平 面 互 相 垂 直 任 意 一 條 返 回2 直 線 與 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 及 推 論 .文 字 語 言 圖 形 語 言 符 號 語 言判 定定 理 一 條 直 線 與 平 面 內 的 都 垂 直 ，則 該 直 線 與 此 平 面 垂 直兩 條 相 交 直 線 返 回文 字 語 言 圖 形 語 言 符 號 語 言推論 如 果 在 兩 條 平 行 直線 中 ， 有 一 條 垂 直于 平 面 ， 那 么 另 一條 直 線 也 這

3、個平 面 垂 直 a ba 返 回3 直 線 與 平 面 垂 直 的 性 質 定 理 .文 字 語 言 圖 形 語 言 符 號 語 言性 質定 理 垂 直 于 同 一 個 平面 的 兩 條 直 線平 行 a b 返 回二 、 平 面 與 平 面 垂 直1 平 面 與 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 .文 字 語 言 圖 形 語 言 符 號 語 言判 定定 理 一 個 平 面 過 另 一 個平 面 的 一 條 ，則 這 兩 個 平 面 互 相垂 直 垂 線 l l 返 回2 平 面 與 平 面 垂 直 的 性 質 定 理 .文 字 語 言 圖 形 語 言 符 號 語 言性 質定 理 兩 個

4、平 面 互 相 垂 直 ，則 一 個 平 面 內 垂 直于 的 直 線 垂 直于 另 一 個 平 面交 線 l al a 返 回 返 回1 (教 材 習 題 改 編 )給 出 下 列 四 個 命 題 ： 垂 直 于 同 一 平 面 的 兩 條 直 線 相 互 平 行 ； 垂 直 于 同 一 平 面 的 兩 個 平 面 相 互 平 行 ； 若 一 個 平 面 內 有 無 數(shù) 條 直 線 與 另 一 個 平 面 都 平 行 ，那 么 這 兩 個 平 面 相 互 平 行 ； 若 一 條 直 線 垂 直 于 一 個 平 面 內 的 任 一 直 線 ， 那 么這 條 直 線 垂 直 于 這 個 平 面

5、其 中 真 命 題 的 個 數(shù) 是 ( )A 1 B 2 C 3 D 4 返 回答 案 ： B解 析 ： 命 題 ， 為 真 ， 命 題 ， 為 假 返 回答 案 ： C解 析 ： 可 以 有 無 數(shù) 條 2 直 線 l不 垂 直 于 平 面 ， 則 內 與 l垂 直 的 直 線 有 ( )A 0條 B 1條C 無 數(shù) 條 D 內 所 有 直 線 返 回 返 回答 案 ： D 返 回 4 設 、 、 為 彼 此 不 重 合 的 三 個 平 面 ， l為 直 線 ， 給 出下 列 命 題 ： 若 ， ， 則 ； 若 ， ， 且 l， 則 l ； 若 直 線 l與 平 面 內 的 無 數(shù) 條 直

6、線 垂 直 ， 則 直 線 l與 平 面 垂 直 ； 若 內 存 在 不 共 線 的 三 點 到 的 距 離 相 等 ， 則 平 面 平 行于 平 面 .上 面 命 題 中 ， 真 命 題 的 序 號 為 _(寫 出 所 有 真 命 題的 序 號 ) 返 回答 案 ： 解 析 ： 中 l 也 滿 足 ， 中 與 可 能 相 交 返 回5 (教 材 習 題 改 編 )如 圖 ， 在 三 棱 錐 DABC中 ， 若 AB CB， AD CD， E是 AC的 中 點 ， 則 下 列 命 題 中 正 確 的有 _(填 序 號 ) 平 面 ABC 平 面 ABD 平 面 ABD 平 面 BCD 平 面

7、ABC 平 面 BDE， 且 平 面 ACD 平 面 BDE 平 面 ABC 平 面 ACD， 且 平 面 ACD 平 面 BDE 返 回解 析 ： 因 為 AB CB， 且 E是 AC的 中 點 ， 所 以 BE AC，同 理 有 DE AC， 于 是 AC 平 面 BDE.因 為 AC 平 面ABC， 所 以 平 面 ABC 平 面 BDE.又 由 于 AC 平 面 ACD，所 以 平 面 ACD 平 面 BDE.故 只 有 正 確 答 案 ： 返 回1 在 證 明 線 面 垂 直 、 面 面 垂 直 時 ， 一 定 要 注 意 判 定 定 理成 立 的 條 件 同 時 抓 住 線 線 、

8、 線 面 、 面 面 垂 直 的 轉 化關 系 ， 即 ： 返 回2 幾 個 常 用 的 結 論(1)過 空 間 任 一 點 有 且 只 有 一 條 直 線 與 已 知 平 面 垂 直 ；(2)過 空 間 任 一 點 有 且 只 有 一 個 平 面 與 已 知 直 線 垂 直 ；(3)垂 直 于 同 一 平 面 的 兩 條 直 線 互 相 平 行 ；(4)垂 直 于 同 一 直 線 的 兩 個 平 面 互 相 平 行 返 回 返 回精 析 考 題 例 1 (2011浙 江 高 考 )下 列 命 題 中 錯 誤 的 是 ( )A 如 果 平 面 平 面 ， 那 么 平 面 內 一 定 存 在 直

9、 線 平 行 于平 面 B 如 果 平 面 不 垂 直 于 平 面 ， 那 么 平 面 內 一 定 不 存 在 直 線垂 直 于 平 面 C 如 果 平 面 平 面 ， 平 面 平 面 ， l， 那 么 l平 面 D 如 果 平 面 平 面 ， 那 么 平 面 內 所 有 直 線 都 垂 直 于 平 面 返 回自 主 解 答 對 于 命 題 A， 在 平 面 內 存 在 直 線 l平 行 于 平面 與 平 面 的 交 線 ， 則 l平 行 于 平 面 ， 故 命 題 A正 確 對 于 命 題 B， 若 平 面 內 存 在 直 線 垂 直 于 平 面 ， 則 平 面與 平 面 垂 直 ， 故 命

10、 題 B正 確 返 回對 于 命 題 C， 設 m， n， 在 平 面 內 取 一 點 P不 在 l上 ， 過 P作 直 線 a， b， 使 a m， b n. ，a m， 則 a ， a l， 同 理 有 b l.又 ab P， a ，b ， l .故 命 題 C正 確 對 于 命 題 D， 設 l， 則 l ， 但 l .故 在 內 存 在直 線 不 垂 直 于 平 面 ， 即 命 題 D錯 誤 答 案 ： D 返 回巧 練 模 擬 (課 堂 突 破 保 分 題 ， 分 分 必 保 ！ )1 (2012濰 坊 模 擬 )已 知 直 線 m、 l和 平 面 、 ， 則 的 充 分 條 件 是

11、 ( )A m l， m ， l B m l， m， l C m l， m ， l D m l， l ， m 返 回 返 回答 案 ： D 返 回2 (2012鄭 州 模 擬 )設 a、 b是 兩 條 不 同 的 直 線 ， 、 是 兩個 不 同 的 平 面 ， 則 下 列 四 個 命 題 ： 若 a b， a ， b ， 則 b ； 若 a ， a ， 則 ； 若 a ， ， 則 a 或 a ； 若 a b， a ， b ， 則 . 返 回其 中 正 確 命 題 的 個 數(shù) 為 ( )A 1 B 2C 3 D 4 返 回解 析 ： 通 過 線 面 垂 直 及 平 行 的 判 定 定 理 和

12、性 質 定 理 ， 可以 判 斷 四 個 命 題 都 正 確 答 案 ： D 返 回沖 關 錦 囊 解 決 此 類 問 題 時 一 要 注 意 依 據(jù) 定 理 條 件 才 能 得 出 結論 二 是 否 定 時 只 需 舉 一 個 反 例 三 要 會 尋 找 恰 當 的 特殊 模 型 (如 構 造 長 方 體 、 正 方 體 )進 行 篩 選 . 返 回 返 回(1)證 明 ： O1， A， O2， B四 點 共 面 ；(2)設 G為 AA中 點 ， 延 長 AO1到 H， 使 得 O1H AO1.證 明 ： BO2 平 面 HBG. 返 回 返 回 返 回3 (2012汕 頭 模 擬 )如 圖

13、 ， 在 多 面 體 ABCDEF中 ， 四 邊形 ABCD是 正 方 形 ， AB 2EF 2， EF AB，EF FB， BFC 90 ， BF FC， H為 BC的 中 點 返 回(1)求 證 ： FH 平 面 EDB；(2)求 證 ： AC 平 面 EDB；(3)求 四 面 體 B DEF的 體 積 返 回 返 回(2)證 明 ： 由 四 邊 形 ABCD為 正 方 形 ， 有 AB BC，又 EF AB， EF BC.又 EF FB， BCFB B， EF 平 面 BFC. EF FH. AB FH.又 BF FC， H為 BC的 中 點 ， 返 回 FH BC. FH 平 面 AB

14、CD. FH AC.又 FH EG， AC EG.又 AC BD， EGBD G， AC 平 面 EDB. 返 回 返 回沖 關 錦 囊 證 明 直 線 和 平 面 垂 直 的 常 用 方 法 有 ：1 利 用 判 定 定 理 2 利 用 判 定 定 理 的 推 論 (a b， a b )3 利 用 面 面 平 行 的 性 質 (a ， a )4 利 用 面 面 垂 直 的 性 質 當 兩 個 平 面 垂 直 時 ， 在 一 個 平 面 內 垂 直 于 交 線 的 直 線垂 直 于 另 一 個 平 面 . 返 回精 析 考 題 例 3 (2011江 蘇 高 考 )如 圖 ， 在 四 棱 錐 P

15、 ABCD中 ， 平面 PAD 平 面 ABCD， AB AD， BAD 60 ， E， F分 別 是 AP， AD的 中 點 求 證 ： (1)直 線 EF 平 面 PCD；(2)平 面 BEF 平 面 PAD. 返 回自 主 解 答 (1)在 PAD中 ， 因 為 E，F(xiàn)分 別 為 AP， AD的 中 點 ，所 以 EF PD.又 因 為 EF 平 面 PCD， PD 平 面 PCD，所 以 直 線 EF 平 面 PCD. 返 回(2)連 接 BD.因 為 AB AD， BAD 60 ， 所 以 ABD為 正 三 角 形 因 為 F是 AD的 中 點 ， 所 以 BF AD.因 為 平 面

16、 PAD 平 面 ABCD， BF 平 面 ABCD，平 面 PAD平 面 ABCD AD， 所 以 BF 平 面 PAD.又 因 為 BF 平 面 BEF， 所 以 平 面 BEF 平 面 PAD. 返 回在 本 例 條 件 下 ， 若 CD 平 面 PAD， 求 證 ： 平 面 PCD 平面 EFB.證 明 ： 由 例 3(2)知 BF 平 面 PAD， 又 CD 平 面 PAD， BF CD.又 BF 平 面 PCD， CD 平 面 PCD， BF 平 面 PCD.又 EF 平 面 PCD， BFEF F， 平 面 PCD 平 面 BEF. 返 回巧 練 模 擬 (課 堂 突 破 保 分

17、 題 ， 分 分 必 保 ！ )4 (2012東 城 模 擬 )已 知 ， 為 不 重 合 的 兩 個 平 面 ， 直 線m ， 那 么 “m ”是 “ ”的 ( )A 充 分 而 不 必 要 條 件B 必 要 而 不 充 分 條 件C 充 分 必 要 條 件D 既 不 充 分 也 不 必 要 條 件 返 回答 案 ： A解 析 ： 根 據(jù) 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 知 若 m ，m ， 反 之 則 不 一 定 成 立 返 回5 (2012石 景 山 模 擬 )如 圖 ， 已 知 AB 平 面 BCE，CD AB， BCE是 正 三 角 形 ， AB BC 2CD.(1)在 線

18、段 BE上 是 否 存 在 一 點 F， 使 CF 平 面 ADE?(2)求 證 ： 平 面 ADE 平 面 ABE. 返 回 返 回(2) CF BF， CF AB， CF 平 面 ABE. CF DG， DG 平 面 ABE. DG 平 面 ADE， 平 面 ABE 平 面 ADE. 返 回沖 關 錦 囊 1 判 定 面 面 垂 直 的 方 法(1)面 面 垂 直 的 定 義 (2)面 面 垂 直 的 判 定 定 理 (a ， a )2 在 已 知 平 面 垂 直 時 ， 一 般 要 用 性 質 定 理 進 行 轉 化 在 一 個 平 面 內 作 交 線 的 垂 線 ， 轉 化 為 線 面

19、 垂 直 ， 然 后 進一 步 轉 化 為 線 線 垂 直 返 回 返 回解 題 樣 板 （ 十 ） 規(guī) 范 立 體 幾 何 答 題 步 驟 ，避 免 “ 對 而 不 全 ” 返 回考 題 范 例 (12分 )(2011山 東 高 考 )如 圖 ， 在 四 棱臺 ABCD A1B1C1D1中 ， D1D 平 面ABCD， 底 面 ABCD是 平 行 四 邊 形 ，AB 2AD， AD A1B1， BAD 60 .(1)證 明 ： AA1 BD；(2)證 明 ： CC1 平 面 A1BD. 返 回 返 回(2)連 接 AC， A1C1.(6分 )設 ACBD E， 連 接 EA1，因 為 四 邊 形 ABCD為 平 行 四 邊 形 ， 返 回 返 回模 板 建 構 本 題 考 查 用 線 面 垂 直 證 明 線 線 垂 直 及 線 面 平 行 的 證明 在 解 答 時 出 現(xiàn) 的 失 分 點 多 數(shù) 在 解 題 步 驟 不 嚴 謹 ， 忽 視定 理 的 使 用 條 件 而 造 成 的 如 (1)問 中 易 漏 ADD1D D，AA1 平 面 ADD1A1這 兩 個 條 件 (2)問 中 易 漏 EA1 平 面A1BD、 CC1 平 面 A1BD這 一 關 鍵 條 件 ， 這 樣 使 表 述 不 嚴 謹 ，造 成 丟 分 返 回點 擊 此 圖 進 入