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1、 4.模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計 歸一化頻響函數(shù)低通歸一化拉式復變量低通歸一化頻率低通拉式復變量低通傳輸函數(shù)；低通AFjG AFjp AF AFjs AFsG )( )( 的歸一化頻響函數(shù)實際的歸一化拉式復變量實際 的歸一化頻率實際拉式復變量”頻響函數(shù)需要設計的“實際AFjH AFjq AFjs AFsH )( )( 如果已知低通G(j)，高通H(j)則用下式轉(zhuǎn)換：1( ) ( )H j G j 1 1) 低通到高通的頻率變換 和之間的關系為 4.模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計 模擬高通filter的設計方法高通歸一化的系統(tǒng)函數(shù)H(q)Ha(s)

2、低通歸一化的系統(tǒng)函數(shù)G(p)模擬高通濾波器指標ALF的指標轉(zhuǎn)換關系1 轉(zhuǎn)換關系( ) ( ) cp sH s G p qp 1 Csq (2)確定相應低通濾波器的設計指標：將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率 (1)確定高通濾波器的技術指標：通帶下限頻率 ，阻帶上限頻率 ，通帶最大衰減 ，阻帶最小衰減 。 模擬高通濾波器的設計步驟：pss p 低通濾波器通帶截止頻率 ； 低通濾波器阻帶截止頻率 ；通帶最大衰減仍為 ，阻帶最小衰減仍為 。ss /1 pp /1 p s (5)求模擬高通的H(s)。 去歸一化，將 代入G(q)中qp 1( ) ( ) cp sH s G p (3)設計

3、歸一化低通濾波器G(p)。(4)設計歸一化高通濾波器G(q)。 Csq 高通技術要求： fp=200Hz, p=3dB; fs=100Hz, s=15dB低通技術要求：11, 23 , 15 p s sp sdB dB ,5.0,1 cfsfscfpfp 例6.2.3 設計高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減s=15dB。 歸一化頻率 設計歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，0.10.1 3 2 10 1 0.1810 12lg 2.47, 3lg 1( ) 2 2 1pssp ssp p spspk kN NG p p p

4、 p 求模擬高通H(s)： 33 2 2 3( ) ( ) 2 22 cp c c csc p sH s G p s s sf 1 1 2 220 / , / , /s s s sl l u ul u B BB B 模擬帶通filter的設計方法帶通濾波器的指標要求luB 202 帶通濾波器頻率特性是正負對稱的，故這個變換必須是一對二的映射，它應該是的二次函數(shù) p對應us對應s2 1202 luuup 2 2022 sss 指標轉(zhuǎn)換公式：邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。 202 模擬帶通filter的設計方法模擬帶通濾波器指標ALF的指標轉(zhuǎn)換關系 202 低通歸一化的系統(tǒng)函數(shù)G（p）高通歸一化的

5、系統(tǒng)函數(shù)H(q)qqp 202 Ha(s)q=s/B22 ( )( )( ) ( ) l uu ll uu l sp ssp sH s G p (1)確定模擬帶通濾波器的技術指標，即：帶通上限頻率 ，帶通下限頻率下阻帶上限頻率 ,上阻帶下限頻率 1 21 220, ,s s ls s luu l uB B BB 通帶中心頻率 ，通帶寬度通帶最大衰減為 ，阻帶最小衰減為 ：與以上邊界頻率對應的歸一化邊界頻率如下： 總結模擬帶通的設計步驟：u l sp 1s 2sul 20 luB (2) 確定歸一化低通技術要求： 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減亦為s。2 2 2 22 0 1 02 11, ,

6、s sp s ss s (3) 設計歸一化低通G(p)。 (4) 直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。 3) 低通到帶阻的頻率變換低通與帶阻濾波器的頻率變換模擬帶通filter的設計方法 2 20 為低通到帶阻的頻率變換公式：通帶中心頻率 ，通帶寬度ul 20 luB p=j，并去歸一化 s/B，可得 上式是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。 2 2 20 ( )u lu lsB sp s s 2 20( ) ( ) sBp sH s G p 下面總結設計帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術要求，即：下通帶截止頻率 ,上通帶截止頻率阻帶下限頻率 ，阻帶上限頻率 阻帶中心頻率

7、，阻帶寬度它們相應的歸一化邊界頻率為以及通帶最大衰減 和阻帶最小衰減 。 ul sp 1s 2sul 20 luB 1 21 22 0, ,s s ls s luu l uB B BB (2) 確定歸一化模擬低通技術要求，即： 取s和s的絕對值較小的s；通帶最大衰減為 ，阻帶最小衰減為 。 (3) 設計歸一化模擬低通G(p)。 (4) 直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。1 22 2 2 21 0 2 01, ,s sp s ss s 2 20( ) ( ) sBp sH s G p sp 例6.2.5 設計模擬帶阻濾波器，其技術要求為： l=2905rad/s, s1=2980rad/s

8、, s2= 21020rad/s, u=21105rad/s, p=3dB,s=25dB。試設計巴特沃斯帶阻濾波器。 解 (1) 模擬帶阻濾波器的技術要求： l=2905, u=21105; s1=2980, s2=21020; 20=lu=421000025, B=u l=2200; l=l/B=4.525, u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9, s2=5.1; 20=lu=25 (2) 歸一化低通的技術要求：22 2 1 01, 4.95, 4.953 , 25sp s ssp sdB dB (3)設計歸一化低通濾波器G(p): 0.10.1 2 10 1 0.056210

9、14.95lg 1.8, 2lg 1( ) 2 1pssp ssp p spspk kN NG p p p (4) 帶阻濾波器的H(s)為 2 20 4 2 2 40 04 2 2 2 2 2 40 0 02( ) ( ) 2 ( 2 ) 2sBp ss s sH s G p s B B s B s Ha(s)H(Z)ALF的指標低通歸一化的系統(tǒng)函數(shù)G(p)轉(zhuǎn)換關系轉(zhuǎn)換關系6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計模擬濾波器指標數(shù)字濾波器的指標2 1tan2T 雙線性變換法 例6.5.1 設計一個數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率p=0.8rad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.44ra

10、d, 阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。 (1)數(shù)字高通的技術指標為 p=0.8rad, p=3dB; s=0.44rad, s=15dB (2) 模擬高通的技術指標 令T=1，則有12tan 6.155 / , 3 212tan 1.655 / , 32p p ps s srad s dBrad s dB (3)轉(zhuǎn)化為模擬低通濾波器的技術指標：1 0.163 / , 36.1551 0.604 / , 151.655p ps srad s dBrad s dB 1, 3.71 sp s p 將p和s對3dB截止頻率c歸一化，這里c=p (4)設計歸一化模擬低通濾波器G(p)。

11、模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下：0.1 0.1lglg10 1 0.180310 13.711.31, 2psspspsp ssp p kNkN N 查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為2 22 21( ) 2 1( ) 2 cc cG p p pG s s s 去歸一化，將p=s/c代入上式得到： (5) 將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)： 2 22 21( ) ( ) 2 1ca c csH s G s s s (6)用雙線性變換法將模擬高通H (s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：1 1121( ) ( )a zs zH z H s 實

12、際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即111121 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0.106(1 ) 0.0653(1 )( ) 1.624 1.947 0.566 1 1.199 0.349zs zH z G s z zH z z z z z 例6.5.2設計一個數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3rad到0.4rad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2rad以下和0.5rad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。 解 (1)數(shù)字帶通濾波器技術指標為 通帶上截止頻率u=0.4rad 通帶下截止頻率l=0.3rad 阻帶上截止頻率 s2=0.5rad 阻帶

13、下截止頻率 s1=0.2rad 通帶內(nèi)最大衰減p=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減s=18dB。 (2) 模擬帶通濾波器技術指標如下： 設T=1，則有 2 21 10 12tan 1.453 /212tan 1.019 /212tan 2 /212tan 0.650 /2 1.217 /0.434 /u ul ls ss su lu l rad srad srad srad srad sB rad s (通帶中心頻率) (帶寬) 將以上邊界頻率對帶寬B歸一化，得到 u=3.348, l=2.348; s2=4.608, s1=1.498; 0=2.804 (3) 模擬歸一化低通濾波器技術指標： 歸一化阻

14、帶截止頻率 2 22 02 2.902ss s 歸一化通帶截止頻率p=1p=3dB,s=18dB (4) 設計模擬低通濾波器：0.10.110 1 0.12710 12.902lg0.127 1.940, 2lg2.902pssp ssp pkN N 查表6.2.1，得到歸一化低通傳輸函數(shù)G(p), 2 1( ) 2 1G p p p (5) 將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通： (6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。下面將(5)、(6)兩步合成一步計算：2 20( )( ) ( ) u la sp sH s G p 11121 zs z 將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換公式，得

15、112 2 1 2 2 1 20 021211 2 1 22 24(1 ) (1 )( ) 2(1 )( )5.48 4.5 7.481 6.313 5.18 806190.868(1 ) 1zsu l u lzs z zp s zz z z zz z 將上面的p等式代入G(p)中，得 2 41 2 3 40.021(1 2 )( ) 1 1.491 2.848 1.68 1.273z zH z z z z z MATLAB提供了四個函數(shù)lp2lp, lp2hp, lp2bp, lp2bs來完成這些頻帶變換。以lp2bs（低通到帶阻）為例，調(diào)用格式為：numT,denT = lp2bs(num

16、,den,O megaZ,B) 其中：num,den為低通原型的分子分母系數(shù)O megaZ,B 為帶阻的中心頻率z和阻帶寬度BnumT,denT為帶阻濾波器的分子分母系數(shù) 低通Ha(s)數(shù)字低通H(Z)ALF的指標低通歸一化的系統(tǒng)函數(shù)G(p)轉(zhuǎn)換關系數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的另一種設計模擬濾波器指標數(shù)字濾波器的指標2 1tan2T 雙線性變換法轉(zhuǎn)換關系 模擬低通濾波器變換成數(shù)字帶通濾波器由低通模擬原型到模擬高通的變換關系為 )( 112 h hc sss根據(jù)雙線性變換，模擬帶通與數(shù)字帶通之間的S平面與Z平面的關系仍為 11112 zzTs )(112 112 111 1211 h hc zz

17、T zzTs 模擬低通濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器由模擬低通原型到模擬帶阻的變換關系為 hhc sss 12 1)(根據(jù)雙線性變換，模擬帶阻與數(shù)字帶阻之間的S平面與Z平面的關系仍為 11112 zzTs hhc zzT zzTs 1211 111112 )(112 設已根據(jù)指標要求，設計好了歸一化低通濾波器為三階巴特沃斯型，其傳遞函數(shù)為試設計下列模擬濾波器：(1）通帶為10Hz的低通濾波器；（2）通帶下邊頻為10Hz的高通濾波器；（3）中心頻率為10Hz，帶寬為2Hz的帶通濾波器；（4）中心頻率為10Hz，帶寬為2Hz的帶阻濾波器；又設采樣周期為0.01秒，求相應的數(shù)字濾波器。直接調(diào)用函數(shù)，hc841