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1、1.3.2函 數(shù) 的 奇 偶 性 1.創(chuàng) 設(shè) 情 景 ， 觀 察 圖 片 :一 新 課 引 入 (1)已 知 函 數(shù) f(x)=x2,求 f(-2),f(2), f(-1),f(1),及 f(-x) ,并 畫 出 它 的 圖 象 。解 :f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2(2)已 知 f(x)=x3,求 出 f(-2),f(2),f(-1),f(1)及 f(-x),并 畫 出 它 的 圖 象解 :f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3= -x3 思

2、考 : 你 發(fā) 現(xiàn) 了 什 么 規(guī) 律 ?f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x)f(-2)= - f(2)f(-1)= - f(1)f(-x)= - f(x) -x xf(-x) f(x)-xf(-x) xf(x) xyo xyo ( x,y)(-x,y)(-x,-y) (x,y)2 創(chuàng) 設(shè) 情 景 ， 觀 察 函 數(shù) 圖 象 : xo y-a a(a,f(a)(-a,f(-a) 偶 函 數(shù) 的 圖 象 關(guān) 于 y軸 對 稱 ， 反 過 來 ， 如 果 一 個函 數(shù) 的 圖 象 關(guān) 于 y軸 對 稱 ， 那 么 這 個 函 數(shù) 是 偶 函 數(shù) .偶 函 數(shù) 定 義 : 如

3、 果 對 于 f(x)定 義 域 內(nèi) 的 任 意 一 個 x,都 有 f(-x)=f(x),那 么 函 數(shù) f(x)就 叫 偶 函 數(shù) .二 新 課 xo y (a,f(a)(-a,f(-a)-a a 奇 函 數(shù) 的 圖 象 關(guān) 于 原 點 對 稱 ， 反 過 來 ， 如 果 一 個函 數(shù) 的 圖 象 關(guān) 于 原 點 對 稱 ， 那 么 這 個 函 數(shù) 是 奇 函 數(shù) .奇 函 數(shù) 定 義 : 如 果 對 于 f(x)定 義 域 內(nèi) 的 任 意 一 個 x,都 有 f(-x)=-f(x) ,那 么 函 數(shù) f(x)就 叫 奇 函 數(shù) . 對 奇 函 數(shù) 、 偶 函 數(shù) 定 義 的 說 明 :(

4、1). 定 義 域 關(guān) 于 原 點 對 稱 是 函 數(shù) 具 有 奇 偶 性 的 必 要 條 件 。 a ,b-b,-a xo（ 2） .奇 、 偶 函 數(shù) 定 義 的 逆 命 題 也 成 立 ， 即 ： 若 f(x)為 奇 函 數(shù) , 則 f(-x)= f(x)成 立 。 若 f(x)為 偶 函 數(shù) , 則 f(-x)= f(x) 成 立 。（ 3） 如 果 一 個 函 數(shù) f(x)是 奇 函 數(shù) 或 偶 函 數(shù) ,那 么 我 們就 說 函 數(shù) f(x) 具 有 奇 偶 性 。 練 習(xí) 說 出 下 列 函 數(shù) 的 奇 偶 性 :偶 函 數(shù) 奇 函 數(shù)奇 函 數(shù) 奇 函 數(shù) f(x)=x4 _

5、f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇 函 數(shù) f(x)=x -2 _偶 函 數(shù) f(x)=x5 _ f(x)=x -3 _ 說 明 ： 對 于 形 如 f(x)=x n 的 函 數(shù) ， 若 n為 偶 數(shù) ， 則 它 為 偶 函 數(shù) 。 若 n為 奇 數(shù) ， 則 它 為 奇 函 數(shù) 。 例 1. 判 斷 下 列 函 數(shù) 的 奇 偶 性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2解 : f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)即 f(-x)= - f(x) f(x)為 奇 函 數(shù) f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2 f(x

6、)為 偶 函 數(shù)定 義 域 為 R 解 : 定 義 域 為 R即 f(-x)= f(x) 練 習(xí) 2. 判 斷 下 列 函 數(shù) 的 奇 偶 性(2) f(x)=5 (1) f(x)=x- 1x(3) f(x)=0說 明 : 函 數(shù) f(x)=0 (定 義 域 關(guān) 于 原 點 對 稱 ） ， 為 既 奇 又 偶 函 數(shù) 。(5). f(x)=x2 x - 1 , 3(7) f(x)= (8). f(x)= (4). f(x)=x+1 1(6) ( ) ( 1) ;1xf x x x (9) 3 23 2, 0(10) ( ) , 0 x x xf x x x x 3 x x( ) 1 1f x

7、x x f(-x)= 1-(-x)2-x 1-x2 x- =即 f(-x)= - f(x) f(x) 為 奇 函 數(shù) .例 2.判 斷 函 數(shù) f(x)= 的 奇 偶 性 。 |x+2|-21-x2解 ： 1-x20 |x+2|2 -1 x 1 x0且 x-4 -1 x 1且 x 0 定 義 域 為 -1,0) (0,11-x2 f(x)= (x+2)-2 1-x2 x= 先 求 定 義 域 ， 看 定 義 域 是 否 關(guān) 于 原 點 對 稱 ; 再 判 斷 f( x)= -f(x)或 f(-x)=f(x) 是 否 恒 成 立 。 說 明 ： 用 定 義 判 斷 函 數(shù) 奇 偶 性 的 步 驟

8、 : 4奇 函 數(shù) 的 圖 象 (如 y=x3 ) 偶 函 數(shù) 的 圖 象 (如 y=x2)y xo aaP /(-a ,f(-a) p(a ,f(a)-a y xo aP/(-a ,f(-a) p(a ,f(a)-a(-a,-f(a) (-a,f(a) 5 奇 偶 函 數(shù) 圖 象 的 性 質(zhì) : 奇 函 數(shù) 的 圖 象 關(guān) 于 原 點 對 稱 .反 過 來 ,如 果 一 個 函 數(shù)的 圖 象 關(guān) 于 原 點 對 稱 ,那 么 這 個 函 數(shù) 為 奇 函 數(shù) . 偶 函 數(shù) 的 圖 象 關(guān) 于 y軸 對 稱 .反 過 來 ,如 果 一 個 函 數(shù) 的圖 象 關(guān) 于 y軸 對 稱 ,那 么 這

9、個 函 數(shù) 為 偶 函 數(shù) .注 ： 奇 、 偶 函 數(shù) 圖 象 的 性 質(zhì) 可 用 于 ： 1) 簡 化 函 數(shù) 圖 象 的 畫 法 ; 2) 判 斷 函 數(shù) 的 奇 偶 性 ; 3)由 圖 象 的 對 稱 特 點 應(yīng) 用 奇 、 偶 函 數(shù) 的 性 質(zhì) .(3)奇 函 數(shù) 的 圖 象 在 其 定 義 域 內(nèi) 對 稱 的 區(qū) 間 上 具 有 相同 的 單 調(diào) 性 ； 偶 函 數(shù) 的 圖 象 在 其 定 義 域 內(nèi) 對 稱 的 區(qū)間 上 具 有 相 反 的 單 調(diào) 性 . o y x例 3 已 知 函 數(shù) y=f(x)是 偶 函 數(shù) ， 它 在 y軸 右 邊 的圖 象 如 圖 ， 畫 出 y=

10、f(x)在 y軸 左 邊 的 圖 象 。 練 習(xí) 已 知 函 數(shù) ，且 f(-2)=10， 則 f(2)等 于 ( ) A -26 B -18 C -10 D 10 8xxf(x) 35 bxa注 意 ： 奇 函 數(shù) 若 在 x=0處 有 定 義 ， 則 一 定 有 f(0)=0. 例 4已 知 定 義 在 R上 的 函 數(shù) f(x)對 一 切 x,y滿 足f(x+y)=f(x)+f(y)（ 1） 求 證 ： f(x)是 奇 函 數(shù) ；（ 2） 若 f(-3)=a， 試 用 a表 示 f(12) 例 5 (1)已 知 f(x)是 奇 函 數(shù) , 且 當(dāng) x0時 , f(x)=x(x-2)，求

11、當(dāng) x0時 ， f(x)的 表 達 式 。 (2) 已 知 f(x)是 定 義 在 -1， 1上 的 偶 函 數(shù) ,且在 0， 1上 為 增 函 數(shù) ， 若 f(1+m)f(2m),求m的 取 值 范 圍 . 三 課 堂 小 結(jié)1.兩 個 定 義 : 對 于 f(x)定 義 域 內(nèi) 的 任 意 一 個 x , 如 果 都 有 f(-x)=-f(x) f(x)為 奇 函 數(shù) 。 如 果 都 有 f(-x)= f(x) f(x)為 偶 函 數(shù) 。2.兩 個 性 質(zhì) :一 個 函 數(shù) 為 奇 函 數(shù) 它 的 圖 象 關(guān) 于 原 點 對 稱 。一 個 函 數(shù) 為 偶 函 數(shù) 它 的 圖 象 關(guān) 于 y 軸 對 稱 。 先 求 定 義 域 ， 看 是 否 關(guān) 于 原 點 對 稱 ; 再 判 斷 f( x)= -f(x)或 f(-x)=f(x) 是 否 恒 成 立 。3 判 斷 函 數(shù) 奇 偶 性 的 步 驟 :