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1、 《多邊形的內(nèi)角和與外角和》教學(xué)設(shè)計 教學(xué)任務(wù)分析 知識與技能  掌握多邊形內(nèi)角和公式及外角和定理，并能應(yīng)用 . 1. 經(jīng)歷把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題的過程，  體會轉(zhuǎn) 化思想在幾何中的應(yīng)用，同時體會從特殊到一般的認(rèn)識問題的方法； 教  學(xué)  過程與方法 目標(biāo) 2. 經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和公式的過程， 嘗試從不同角度尋求解決問題 的方法 . 訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神 . 情感態(tài)度價 通過猜想、 推理等數(shù)學(xué)活動， 感

2、受數(shù)學(xué)充滿著探索以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確 值觀 定性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情 . 重點 多種方法探索多邊形內(nèi)角和公式 難點 多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo) 教學(xué)流程安排 活動流程 活動內(nèi)容和目的 活動 1 學(xué)生自主探索四邊形 從對三角形及特殊四邊形 （正方形、 長方形） 內(nèi)角和的認(rèn)識出發(fā)， 內(nèi)角和 使學(xué)生積極參加到探索四邊形內(nèi)角和的活動中 . 活動 2 教師引導(dǎo)學(xué)生探索  加深對轉(zhuǎn)化思想方法的理解，  訓(xùn)練發(fā)散思維、培養(yǎng)創(chuàng)新能力  . 總結(jié)把四邊形轉(zhuǎn)化為三角 形添加輔助線的基本

3、方法  通過把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形體會轉(zhuǎn)化思想，感受從特殊到一般的 數(shù)學(xué)思考方法 . 活動  3 探索  n 邊形內(nèi)角和 公式  學(xué)生提高動手實操能力、突破“添”的思維局限 活動 4  師生共同研究遞推  綜合運(yùn)用新舊知識解決問題  . 法確定  n 邊形內(nèi)角和公式 回顧本節(jié)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力  . 活動 5  多邊形內(nèi)角和公式 的應(yīng)用  反思總結(jié)，鞏固提高  .

4、 活動  6 小結(jié) 作業(yè) 課前準(zhǔn)備 教師用三角尺  剪刀  復(fù)印材料 課件 教學(xué)過程設(shè)計  三角形紙片 問題與情景 師生行為 設(shè)計意圖 [ 活動 1、 2] 學(xué)生回答： 通過回憶三角 問題 1. 三角形的內(nèi) 形的內(nèi)角和，有助 角和是多少？ 三角形內(nèi)角和是 180 , 與形狀無關(guān) ; 正方 于 后 續(xù) 問 題 的 解 形、長方形內(nèi)角和是 360（ 4 90），由此

5、決. 與形狀有關(guān)嗎？ 猜想任意凸四邊形內(nèi)角和是 360 . 從四邊形入 問題 2. 正方形、長方 學(xué)生先獨立探究 , 再小組交流討論 . 手，有利于學(xué)生探 形 的 內(nèi) 角 和 是 多 求它與三角形的關(guān) 少？ 教師深入小組指導(dǎo)， 傾聽學(xué)生交流 . 對于通 系，從而有利于發(fā) 過測量、拼圖說明的，可以引導(dǎo)學(xué)生利用添加 現(xiàn) 轉(zhuǎn) 化 的 思 想 方 由此你能猜想任意 輔助線的方法把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形. 法. 凸 四 邊 形 內(nèi) 角 和 嗎？ 學(xué)生匯報結(jié)果 . 通過動手操 作尋

6、找結(jié)論，讓他 動 腦 筋 、 想 辦 們積極參加數(shù)學(xué)活 法，說明你的猜想是 動、主動思考、合 正確的 . 作交流，體驗解決 問 題 策 略 的 多 樣 性. 通過尋求多 ①過一個頂點畫對角線 1 條，得到 2 個三角 種方法解決問題， 訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維 形，內(nèi)角和為 2 180； 能力、培養(yǎng)創(chuàng)新意 識. ②畫 2 條對角線，在四邊形內(nèi)部交于一點，得 到 4 個三角形，內(nèi)角和為 4 180 -360 ； ③若在四邊形內(nèi)部任取一點

7、，如圖，也可以得 到相應(yīng)的結(jié)論； 問題 3 添加輔助線的 目的是什么， 方法有 沒有什么規(guī)律呢？ ④這個點還可以取在邊上（若與頂點重合，轉(zhuǎn) 化為第一種情況——連接對角線；否則如圖 4） [ 活動 3]

8、 問題 4 怎樣求 n 邊形的內(nèi)角和？（ n 是大于等于 3 的整數(shù)） [ 活動 4] 每名同學(xué)發(fā)一張三角形紙片 問題 5 一張三角形紙片只剪一刀， 能不能得到一個四邊形， 在  內(nèi)角和為 3180 -180 ； ⑤點還可以取在外部，如圖 5、6. 由圖 5，內(nèi)角 和為 3 180-180 ；由圖 6，內(nèi)角和為 2 180； 教師重點關(guān)注 : ①

9、學(xué)生能否借助輔助線把四邊形分割成幾個三角形；②能否借助輔助線找到不同的分割方法 . 教師總結(jié)：利用輔助線把四邊形的內(nèi)角和 轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和，體現(xiàn)了化未知為已知 的轉(zhuǎn)化思想 . . 以上這些方法同樣適用于探究任 意凸多邊形的內(nèi)角和 . 為方便起見， 下面我們可 以選用最簡單的方法——過一點畫多邊形的對 角線，來探究五邊形、六邊形，甚至任意 n 邊 形的內(nèi)角和 . 學(xué)生歸納得出結(jié)論：從 n 邊形的一個頂點 通 過 歸 納 出發(fā)可以引（ n-3 ）條對角線，它們將 n 邊形分 概括得出任意凸多 割成（ n-2 ）個三角形，（

10、凸） n 邊形的內(nèi)角和 邊形的內(nèi)角和與邊 等于（ n-2 ） 180 . 數(shù)關(guān)系的表達(dá)式， 體會數(shù)形之間的聯(lián) 特點：內(nèi)角和都是 180的整數(shù)倍 . 系，感受從特殊到 一般的數(shù)學(xué)推理過 程 和 數(shù) 學(xué) 思 想 方 法. 將三角形去掉一個角可以得到四邊形，如圖 7，四邊形內(nèi)角和為 180 +2 180 -180 =2 180. 這一過程中內(nèi)角發(fā) 生了怎樣的變化 學(xué)生突破常規(guī)，學(xué) 會逆向思維，變以 問題 6 由四邊形得到 往的“把多邊形轉(zhuǎn) 五邊形呢？

11、 化成三角形” 為“把 每個圖形都是前一個圖形剪去一個三角形，每 三角形轉(zhuǎn)化成多邊 依此類推能否猜想 n 次操作內(nèi)角和增加 180， n 邊形是三角形經(jīng)過 形”同樣使問題得 邊形內(nèi)角和公式 （ n-3 ）次操作得到的，所以 n 邊形內(nèi)角和公式 到解決 為（ n-2 ） 180 （嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明應(yīng)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法后） [ 活動 5] 學(xué)生自己畫圖、思考 . 敘述理由：六邊形 知 道 了 凸 多 邊 的六個外角與六個內(nèi)角構(gòu)成 6 個平角，結(jié)合內(nèi) 形的內(nèi)角和， 它可以 角和公式，因此得到

12、 解決哪些問題呢？ 6 180- （ 6-2 ） 180=360 學(xué)生思考，回答 . 問題 6：六邊形的外 角和等于多少？ n 邊形中，每個頂點處的內(nèi)角與一個外角組 成一個平角，它們的和，即 n 邊形內(nèi)角和與外 角和的和為 n 180，而內(nèi)角和為（ n-2 ） n 邊形外角和是多 180，因此外角和為 360 . 少？ 練習(xí) 一個多邊形各內(nèi)角 練習(xí) . 解：（ n-2 ） 180=150n， n=12； 都 相

13、 等 ， 都 等 于 150 ， 它 的 邊 數(shù) 或 360（ 180-150 ） =12（利用外角和） 是 ，內(nèi) 角和是 . 150 12=1800 . [ 活動 5] 學(xué)生自己小結(jié)，老師再總結(jié) . 小結(jié) 1. 多 邊形內(nèi) 角和公 式（ n-2 ） 下面請同學(xué)們總結(jié) 180，外角和是 360； 一下這節(jié)課你有哪 些收獲 . 2. 由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法、 轉(zhuǎn)  利 用 內(nèi) 角和求外角和，鞏固 了

14、內(nèi) 角 和 公 式 . 如時間允許，此時還可補(bǔ)充利用“轉(zhuǎn)角”求多邊形外角和的方法，這樣就變成了可以利用外角 和 來 推 導(dǎo) 內(nèi) 角和，這又是一種逆向思維 鞏固內(nèi)角和公式，外角和定理 . 學(xué)會總結(jié)，培養(yǎng)歸納概括能力 . 化思想 . 作業(yè)： 一同學(xué)在進(jìn)行多邊形的內(nèi)角和計算時，求 得內(nèi)角和為 1125，可能嗎？ 多邊形內(nèi)角和與不 課后思考題 . 等 式 的 綜 合 應(yīng) 用 當(dāng)他發(fā)現(xiàn)錯了之后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少算

15、 題，一題多解，提 了一個內(nèi)角，你能求出這個內(nèi)角是多少度？他 高學(xué)生的綜合應(yīng)用 求的是幾邊形的內(nèi)角和嗎？ 能力 . 作業(yè)： 解法 1. 設(shè)這是 n 邊形， 這個內(nèi)角為 x , 依 題意：（ n-2 ） 180=1125+x x=（ n-2 ） 180-1125 ∵ 0＜ x＜180 ∴ 0＜（ n-2 ） 180-1125 ＜ 180 解得： ＜ n＜ ∵ n 是整數(shù)， ∴ n=9. x=（ 9-2 ） 180-1125=135 注：方程（ n-2 ）180

16、=1125+x 中有兩個未知 數(shù)，解法 1 用 n 表示 x，根據(jù) x 的取值范圍解不 等式組求出了 n；如果用 x 表示 n，你能解出來 嗎？ 解法 2. 設(shè)這是 n 邊形， 這個內(nèi)角為 x , 依 題意：（ n-2 ） 180=1125+x ∵ n 是整數(shù)， ∴ 45+x 是 180 的倍數(shù) . 又∵ 0＜x＜ 180 ∴ 45+x=180， x=135， n=9 還可以根據(jù)內(nèi)角和的特點 , 先求出內(nèi)角和 . 解法 3. 設(shè)此多邊形

17、的內(nèi)角和為  x ,  依題 意： 1125＜ x＜ 1125+180 即： 180 6+45＜x＜ 1807+45 ∵ x 是多邊形內(nèi)角和的度數(shù) ∴ x 是 180 的倍數(shù) ∴ x=180 7=1260 邊數(shù) =7+2=9， 這個內(nèi)角 =1260-1125 =135 解法 4（極值法） . 設(shè)這是 n 邊形，這個內(nèi) 角為 x , 則 0 ＜ x ＜ 180 ，依題意：（ n-2 ） 180=1125+x 令 x=0，得： n=，令 x=180，得： n= ∴ ＜ n ＜ 其 余 同 解 法 1.