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1、一 、 條 件 概 率二 、 全 概 率 公 式 與 貝 葉 斯 公 式三 、 小 結(jié)1.4 條 件 概 率 全 概 率 公 式 與 貝 葉 斯 公 式 .)( )()|( ,0)(, 條 件 概 率發(fā) 生 的發(fā) 生 的 條 件 下 事 件為 在 事 件 稱且是 兩 個(gè) 事 件設(shè) AB BP ABPBAP BPBA 1. 定 義 1.8 A BAB一 、 條 件 概 率 );()()()( )3( 212121 BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4( BAPBAP 則有件是兩兩不相容的事設(shè)可加可列性, ,A,A:)5( 21 .)BA(PBAP 1i i1i i 2. 性 質(zhì) ;1

2、)(0:)1( BAP有界性 0)B|(PBP 1,)(2)規(guī)范性 例1 擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問(wèn)“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少? 解: )( )()|( BPABPBAP 解: 設(shè)A=擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10 B=第一顆擲出6點(diǎn)應(yīng)用定義21366 363 則有且,0)( 121 nAAAP ,2, 21 nnAAA n個(gè)事件為設(shè)推廣則有且為事件設(shè),0)(, ABPCBA ( ) ( ) ( ) ( ).P ABC P A P B A P C AB ).()()(,0)( APABPABPAP 則有設(shè)3. 乘 法 定 理 )( )()()()( 121 21312121 n

3、nn AAAAP AAAPAAPAPAAAP 例 2 一盒子裝有4 只產(chǎn)品,其中有3 只一等品,1只二等品.從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品” ,事件B 為“第二次取到的是一等品”,試求條件概 P(B|A).解 .4;3,2,1,號(hào)為二等品為一等品將產(chǎn)品編號(hào)則試驗(yàn)的樣本空間為號(hào)產(chǎn)品第號(hào)第二次分別取到第表示第一次以,),(j 、i、ji ),3,4(),2,4(),1,4( ,)4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1( ),4,3(),2,3(),1,3( ),4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,

4、1(A ),2,3(),1,3(),3,2(),1,2(),3,1(),2,1(AB由條件概率的公式得)( )()( APABPABP 129 126 .32 例 3 某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物, 問(wèn)它能活到25歲以上的概率是多少? 設(shè) A 表示“ 能活 20 歲以上 ” 的事件; B 表示 “ 能活 25 歲以上”的事件,則有,8.0)( AP因?yàn)?)( )()( APABPABP ,4.0)( BP ),()( BPABP .218.04.0 )( )()( APABPABP 所以解 例 4 五個(gè)鬮, 其中

5、兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有”字, 三個(gè)鬮內(nèi)不寫字 , 五人依次抓取,問(wèn)各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解 .5,4,3,2,1i則有,52)( 1 AP)()( 22 APAP )( 112 AAAP 抓 鬮 是 否 與 次 序 有 關(guān) ? ,的事件人抓到有字鬮第表示設(shè)iAi )()()( 212121333 AAAAAAAPAPAP )()()( 321321321 AAAPAAAPAAAP 42534152 ,52 )()()()( 121121 AAPAPAAPAP )( 2121 AAAAP )()( 2121 AAPAAP )()()( 213121 AAAPAAPAP )()()( 213

6、121 AAAPAAPAP )()()( 213121 AAAPAAPAP 324253314253314352 ,52依此類推.52)()( 54 APAP故 抓 鬮 與 次 序 無(wú) 關(guān) . ., ,2 ;,2,1,1 , ,21 2100 21的一個(gè)劃分為樣本空間則稱若的一組事件為的樣本空間為試驗(yàn)設(shè)定義n nji nAAA AAA njiAAE AAAE 1. 樣 本 空 間 的 劃 分 1A2A3A nA1nA二 、 全 概 率 公 式 與 貝 葉 斯 公 式 2. 全 概 率 公式 全 概 率 公 式 )|()( )()|( )()|()()|()( ),2,1( 0)(, , 1 2

7、211 21 ini i nn in ABPAP APABP APABPAPABPBP ni APAAA EBE 則 且的 一 個(gè) 劃 分為 的 事 件為的 樣 本 空 間為 試 驗(yàn)設(shè)定 義 ji AA由 )( ji BABA )()()()( 21 nBAPBAPBAPBP 圖示B 1A2A 3A 1nA nA 證 明 .21 nBABABA 化 整 為 零各 個(gè) 擊 破)( 21 nAAABBB )|()( )|()()|()()( 2211nn ABPAP ABPAPABPAPBP 說(shuō) 明 全 概 率 公 式 的 主 要 用 途 在 于 它 可 以 將 一 個(gè)復(fù) 雜 事 件 的 概 率

8、計(jì) 算 問(wèn) 題 ,分 解 為 若 干 個(gè) 簡(jiǎn) 單 事 件的 概 率 計(jì) 算 問(wèn) 題 ,最 后 應(yīng) 用 概 率 的 可 加 性 求 出 最 終結(jié) 果 . B 1A2A 3A 1nA nA 例 1 有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占 30% , 二廠生產(chǎn)的占 50% , 三廠生產(chǎn)的占 20%, 又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2% , 1%, 1%,問(wèn)從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件 A 為“任取一件為次品”, .3,2,1, iiBi廠的產(chǎn)品任取一件為為事件 1 2 3 ,B B B 解 .3,2,1, jiBB ji 由全概率公式得,2.0)(,5.0)(,3.0)( 3

9、21 BPBPBP 30% 20% 50%2%1%1%1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).P A P B P AB P B P AB P B P AB .013.02.001.05.001.03.002.0 ,01.0)(,01.0)(,02.0)( 321 BAPBAPBAP 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P AB P B P AB P B P AB 故 稱此為貝 葉 斯 公 式 . 3. 貝 葉 斯 公 式 貝 葉 斯 資 料 .,2,1,)()|( )()|()|( ),2,1(0)(

10、 ,0)(, ,121 niAPABP APABPBAP niAP BPAAA EBEnj jj iii i n 則 且的 一 個(gè) 劃 分為 的 事 件為的 樣 本 空 間為 試 驗(yàn)設(shè)定 義 證 明 )B(P )A(P)A|B(P)BA(P iii .,2,1 ni 證畢 n1j jj ii )A|B(P)A(P )A|B(P)A(P ; ,)1( . ,05.080.015.003.001.002.0321 :.概率求它是次品的元件在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只無(wú)區(qū)別的標(biāo)志且倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在提供元件的份額次品率元件制造廠的數(shù)據(jù)根據(jù)以往的記錄有以下件制造廠提供的的元件是由三家元某電

11、子設(shè)備制造廠所用例 2 ., ,)2(別是多少三家工廠生產(chǎn)的概率分求此次品出由為分析此次品出自何廠次品若已知取到的是元件在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只解 ,取到的是一只次品表示設(shè)A .家工廠提供的所取到的產(chǎn)品是由第表示i )3,2,1( iBi ,的一個(gè)劃分是樣本空間則321 BBB ,05.0)(,80.0)(,15.0)( 321 BPBPBP且 .03.0)(,01.0)(,02.0)( 321 BAPBAPBAP(1) 由全概率公式得)()()()()()()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125.0(2) 由貝葉斯公式得)( )()()( 111 AP BPBAPAB

12、P 0125.0 15.002.0 .24.0 ,64.0)( )()()( 222 AP BPBAPABP .12.0)( )()()( 333 AP BPBAPABP .2家工廠的可能性最大故這只次品來(lái)自第 上題中概率 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫做先驗(yàn)概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后驗(yàn)概率.先 驗(yàn) 概 率 與 后 驗(yàn) 概 率 ).(,005.0)( ,005.0, .95.0)(,95.0)( , : ,ACPCP CAPCAP C A試求即的概率為設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥進(jìn)行普查現(xiàn)在對(duì)自然人群有則被診斷者患有癌癥表示事件以為陽(yáng)性試驗(yàn)反應(yīng)表示事件若以驗(yàn)具

13、有如下的效果某種診斷癌癥的試根據(jù)以往的臨床記錄 解 ,05.0)(1)( ,95.0)( CAPCAP CAP因?yàn)?995.0)(,005.0)( CPCP例 3 由貝葉斯公式得所求概率為( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )P C P A CP C A P C P A C P C P A C .087.0即平均1000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥. 1.條 件 概 率 )( )()( APABPABP 全 概 率 公 式貝 葉 斯 公 式三 、 小 結(jié) 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nP A P B P AB P B P

14、AB P B P AB 1 ( ) ( )( ) , 1,2, , .( ) ( )i ii n j jj P B P A BP B A i nP B P A B ( ) ( ) ( )P AB P A P B A乘 法 定 理 .)AB(P)AB(P, AB)AB(P ,AB)AB(P ,.B ,)AB(P, AB,)AB(P A A大比一般來(lái)說(shuō)中樣本點(diǎn)數(shù)中樣本點(diǎn)數(shù)中樣本點(diǎn)數(shù)中樣本點(diǎn)數(shù)則用古典概率公式發(fā)生的概率計(jì)算中表示在縮小的樣本空間而的概率發(fā)生計(jì)算中表示在樣本空間 .)()(.2的區(qū)別與積事件概率條件概率ABPABP 貝 葉 斯 資 料Thomas BayesBorn: 1702 in

15、London, EnglandDied: 17 April 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England 例 1 設(shè)袋中有4只白球, 2只紅球 , (1) 無(wú)放回隨機(jī)地抽取兩次, 每次取一球, 求在兩次抽取中至多抽到一個(gè)紅球的概率? (2) 若無(wú)放回的抽取 3次, 每次抽取一球, 求 (a) 第一次是白球的情況下, 第二次與第三次均是白球的概率? (b) 第一次與第二次均是白球的情況下 , 第三次是白球的概率?備 份 題 解 . )1( 21二次抽取到紅球第為第一次抽取到紅球?yàn)槭录t球個(gè)兩次抽取中至多抽到一為事件設(shè)AAA .1514546252645364 )(

16、)()()( 212121 AAPAAPAAPAP )()()()()()( 121121121 AAPAPAAPAPAAPAP 則有,212121 AAAAAAA .3,2,1,)2( iiAi次取出的是白球第為設(shè)事件)()( 132 AAAPa ,)( )( 1 321AP AAAP .10332 51)( )()( 1 321132 AP AAAPAAAP所以,513634)(,3264)( 3211 AAAPAP因?yàn)?,522624)( 21 AAP因?yàn)?2152 51)( )()( 21 321213 AAP AAAPAAAP所以,)( )()()( 21 321213 AAP AA

17、APAAAPb ,513634)( 321 AAAP 例 2 擲兩顆骰子, 已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7, 求其中有一顆為1點(diǎn)的概率.解設(shè)事件A 為“ 兩顆點(diǎn)數(shù)之和為 7 ”, 事件 B為 “ 一顆點(diǎn)數(shù)為1 ”.故所求概率為.31P擲 骰 子 試 驗(yàn) 兩顆點(diǎn)數(shù)之和為 7 的種數(shù)為 3,其中有一顆為 1 點(diǎn)的種數(shù)為 1, 例 3 設(shè)一倉(cāng)庫(kù)中有10 箱同種規(guī)格的產(chǎn)品, 其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱 , 3箱, 2 箱,三廠產(chǎn)品的廢品率依次為 0.1, 0.2, 0.3 從這 10箱產(chǎn)品中任取一箱 , 再?gòu)倪@箱中任取一件產(chǎn)品,求取得的正品概率. 設(shè) A 為事件“取得的產(chǎn)品為正品”, 分別表示“任

18、取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的”, 321 BBB由題設(shè)知.102)(,103)(,105)( 321 BPBPBP解 ,7.0)(,8.0)(,9.0)( 321 BAPBAPBAP故)()()( 31 ii i BAPBPAP 107102108103109105 .82.0 ? , .95, .55, ,98, ,概率是多少機(jī)器調(diào)整得良好的時(shí)早上第一件產(chǎn)品是合格試求已知某日機(jī)器調(diào)整良好的概率為時(shí)每天早上機(jī)器開動(dòng)其合格率為種故障時(shí)而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某產(chǎn)品的合格率為良好時(shí)當(dāng)機(jī)器調(diào)整得明對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表%解 .產(chǎn)品合格為事件設(shè)A .機(jī)器調(diào)整良好為事件B則有,55.0)(,98.0)( BAPBAP例 4 ,05.0)(,95.0)( BPBP 由貝葉斯公式得所求概率為)()()()( )()()( BPBAPBPBAP BPBAPABP 05.055.095.098.0 95.098.0 .97.0.97.0 ,整良好的概率為此時(shí)機(jī)器調(diào)是合格品時(shí)即當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品