《微分方程第五節(jié)常系數(shù)線性方程》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《微分方程第五節(jié)常系數(shù)線性方程（34頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第 五 節(jié) 常 系 數(shù) 線 性 方 程 )(1)1(1)( xfypypypy nnnn n階 常 系 數(shù) 線 性 微 分 方 程 的 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式0 qyypy二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 方 程 的 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式)(xfqyypy 二 階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 方 程 的 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式nppp , 21 其 中 為 常 數(shù) 。0)( xf 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 方 程0)( xf 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 方 程qp,其 中 為 常 數(shù) 。 一 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 方 程 通 解 的 求 法二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 微 分 方 程 : )

2、,(0為常數(shù)qpyqypy xrey 和 它 的 導(dǎo) 數(shù) 只 差 常 數(shù) 因 子 ,代 入 得0)( 2 xre qprr 02 qrpr稱 為 微 分 方 程 的 特 征 方 程 ,1. 當(dāng) 042 qp 有 兩 個(gè) 相 異 實(shí) 根 ,21 r,r方 程 有 兩 個(gè) 線 性 無(wú) 關(guān) 的 特 解 : , 11 xrey ,22 xrey 因 此 方 程 的 通 解 為 xrxr eCeCy 21 21 ( r 為 待 定 常 數(shù) ),為常數(shù)時(shí)因?yàn)閞 所 以 令 的 解 為 則 微 分其 根 稱 為 特 征 根 .xre函數(shù)時(shí) , 2. 當(dāng) 042 qp 特 征 方 程 有 兩 個(gè) 相 等 實(shí)

3、根 21 rr 則 微 分 方 程 有 一 個(gè) 特 解)(12 xuyy 設(shè) 另 一 特 解 ( u (x) 待 定 )代 入 方 程 得 :1 xre )( 1urup 0 uq)2( 211 ururu 1r注意是 特 征 方 程 的 重 根0u取 u = x , , 12 xrexy 因 此 原 方 程 的 通 解 為xrexCCy 1)( 21 ,2p .11 xrey )(1 xue xr 0)()2( 1211 uqrprupru 則 得 時(shí) , 3. 當(dāng) 042 qp 特 征 方 程 有 一 對(duì) 共 軛 復(fù) 根 irir 21 ,這 時(shí) 原 方 程 有 兩 個(gè) 復(fù) 數(shù) 解 :xi

4、ey )(1 )sin(cos xixe x xiey )(2 )sin(cos xixe x 利 用 解 的 疊 加 原 理 , 得 原 方 程 的 線 性 無(wú) 關(guān) 特 解 :)( 21211 yyy )( 21212 yyy i xe x cos xe x sin因 此 原 方 程 的 通 解 為 )sincos( 21 xCxCey x 時(shí) , 例 1 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解 。;023)1( yyy 0134)2( yyy解 (1) 特 征 方 程 為 0232 rr特 征 根 為 ,11 r微 分 方 程 通 解 為 22 r xe xe21C 2Cy(2) 特 征

5、方 程 為 01342 rr特 征 根 為 ,321 ir 微 分 方 程 通 解 為 ir 322 xe x 3cos2 xe x 3sin21C 2Cy 例 2 2,1 096 00 xx yy yyy求 解 微 分 方 程 初 始 值 問(wèn) 題解 特 征 方 程 為 0962 rr特 征 根 為 ,321 rr微 分 方 程 通 解 為 xe 3 xxe 31C 2Cy01 xy 1Cy )33( 323231 xxx xeCeCeC 0 x 0 x2 213 CC ,11 C 52 C所 求 解 為 xx xeey 33 5 若 特 征 方 程 含 k重 復(fù) 根 , ir 若 特 征 方

6、 程 含 k重 實(shí) 根 r , xrkk exCxCC )( 121 xxCxCCe kkx cos)( 121 sin)( 121 xxDxDD kk 則 其 通 解 中 必 含對(duì) 應(yīng) 項(xiàng) )(01)1(1)(均為常數(shù)knnnn ayayayay 特 征 方 程 : 0111 nnnn ararar ),(均為任意常數(shù)以上ii DC推 廣 : 則 其 通 解 中 必 含 對(duì) 應(yīng) 項(xiàng) 例 3 052)4( yyy求方程的 通 解 . 解 : ,052 234 rrr 特 征 根 :irrr 21,0 4,321 因 此 原 方 程 通 解 為 xCC 21 )2sin2cos( 43 xCxC

7、ex 例 4 .0)4()5( yy解方程解 : ,045 rr 特 征 根 :1,0 54321 rrrrr原 方 程 通 解 : 1C xC2 23xC 34xC xeC5(不 難 看 出 , 原 方 程 有 特 解 ),1 32 xexxxy y 特 征 方 程特 征 方 程 : 22222 2)( rr 例 5 .)0(0dd 444 wxw解方程解 : 44 r即 0)2)(2( 2222 rrrr其 根 為 ),1(22,1 ir )1(24,3 ir 方 程 通 解 : xe 2 )2sin2cos( 21 xCxC xe 2 )2sin2cos( 43 xCxC w 特 征 方

8、 程 : 0 例 6 ,2cos,2, 321 xyexyey xx 求一個(gè)以xy 2sin34 為 特 解 的 4 階 常 系 數(shù) 線 性 齊 次 微 分 方 程 ,并 求 其 通 解 .解 : 根 據(jù) 給 定 的 特 解 知 特 征 方 程 有 根 :,121 rr ir 24,3 因 此 特 征 方 程 為 2)1( r 0)4( 2 r即 04852 234 rrrr 04852)4( yyyyy故 所 求 方 程 為其 通 解 為 xCxCexCCy x 2sin2cos)( 4321 二 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 方 程 通 解 的 求 法)(xfyqypy ),(為常數(shù)qp

9、二 階 常 系 數(shù) 線 性 非 齊 次 微 分 方 程 :根 據(jù) 解 的 結(jié) 構(gòu) 定 理 , 其 通 解 為Yy *y 非 齊 次 方 程 特 解齊 次 方 程 通 解求 特 解 的 方 法根 據(jù) f (x) 的 特 殊 形 式 , *y給出特解的 待 定 形 式 ,代 入 原 方 程 比 較 兩 端 表 達(dá) 式 以 確 定 待 定 系 數(shù) . 待 定 系 數(shù) 法 )( xQe x )()2( xQp )()( 2 xQqp )(xPe mx型)()( xPexf mx 為 實(shí) 數(shù) , )(xPm設(shè) 特 解 為 ,)(* xQey x 其 中 為 待 定 多 項(xiàng) 式 , )(xQ)()(* x

10、QxQey x )()(2)(* 2 xQxQxQey x 代 入 原 方 程 , 得 )(xQ(1) 若 不 是 特 征 方 程 的 根 , ,02 qp即則 取),(xQm 從 而 得 到 特 解形 式 為 .)(* xQey mx )()2( xQp )()( 2 xQqp )(xPm為 m 次 多 項(xiàng) 式 .Q (x) 為 m 次 待 定 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式1 (2) 若 是 特 征 方 程 的 單 根 , ,02 qp ,02 p)(xQ則為 m 次 多 項(xiàng) 式 , 故 特 解 形 式 為 xm exQxy )(*(3) 若 是 特 征 方 程 的 重 根 , ,02 qp ,02

11、p)(xQ則是 m 次 多 項(xiàng) 式 ,故 特 解 形 式 為 xm exQxy )(* 2小 結(jié) 對(duì) 方 程 , )2,1,0()(* kexQxy xmk 此 結(jié) 論 可 推 廣 到 高 階 常 系 數(shù) 線 性 微 分 方 程 .)(xQ )()2( xQp )(xPm)()( 2 xQqp 即 即當(dāng) 是 特 征 方 程 的 k 重 根 時(shí) ,可 設(shè)特 解 例 7 寫 出 下 列 微 分 方 程 特 解 的 形 式(1) xexyyy 22134 解 2由 于 對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 方 程 的 特 征 方 程 01342 rr的 根 .32,32 21 irir 所 以 不 是 特 征 方 程

12、的 根 ， 因 此 .0k ,)( 2xxPm ,2m 因 此 特 解 形 式 為y 0 x )( 2 cbxax xe 2 xecbxax 22 )( (2) xexyyy 2282 解 2由 于 對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 方 程 的 特 征 方 程 0822 rr的 根 .4,2 21 rr 所 以 是 特 征 方 程 的 單 根 ，此 .1k ,)( 2xxPm ,2m 因 此 特 解 形 式 為y 1x )( 2 cbxax xe 2 xecbxaxx 22 )( 因 (3) xexyyy 2244 解 2由 于 對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 方 程 的 特 征 方 程 0442 rr的 根 .2 2

13、1 rr 所 以 是 特 征 方 程 的 二 重 根 ，此 .2k ,)( 2xxPm ,2m 因 此 特 解 形 式 為y 2x )( 2 cbxax xe 2 因(4) xxeyyyy 33解 1對(duì) 應(yīng) 的 特 征 方 程 ,0133 23 rrr 特 征 根 為,1321 rrr 所 以 是 特 征 方 程 的 三 重 根 ，此 .3k ,)( xxPm ,1m 因 此 特 解 形 式 為y 3x )( bax xe 因 例 8 求 微 分 方 程 1332 xyyy 的 通 解 。解 特 征 方 程 .0322 rr 特 征 根 ,3,1 21 rr對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 方 程 通 解

14、為 .321 xx eCeCY ,13)( xxf 0 不 是 特 征 根 ， 因 此 ,0k,13)( xxPm ,1m 因 此 設(shè) 微 分 方 程 特 解 為)( baxy 代 入 原 方 程 得 baax 323 ,13 x比 較 系 數(shù) 可 知 ,33 a 132 ba因 此 ,1a .31b xy 31原 方 程 通 解 為 yYy xx eCeC 321 x31 xx ebaxaey )( xebaax )( xebaaxy )2( 例 9 求 微 分 方 程 xxeyyy 65 的 通 解 。解 特 征 方 程 .0652 rr 特 征 根 ,3,2 21 rr對(duì) 應(yīng) 的 齊 次

15、 方 程 通 解 為 .3221 xx eCeCY ,)( xxexf 1 不 是 特 征 根 ， 因 此 ,0k,)( xxPm ,1m 因 此 設(shè) 微 分 方 程 特 解 為xebaxy )( 代 入 原 方 程 消 去 ax2 ,x比 較 系 數(shù) 可 知 ,12 a 023 ba因 此 ,21a .43b xexy )4321( 原 方 程 通 解 為 yYy xx eCeC 321 xex )4321( xe 得 ba 23 xebaxy 2)2( xebxbaax 22 )22(2( xebaaxy 2)224( xebxbaax 22 )22(2(2 xebaxabax 22 )4

16、2)84(4( xebxax 22 )(2 例 10 求 微 分 方 程 xxeyyy 223 的 通 解 。解 特 征 方 程 .0232 rr 特 征 根 ,2,1 21 rr對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 方 程 通 解 為 .221 xx eCeCY ,)( 2xxexf 2 是 單 特 征 根 ， 因 此 ,1k,)( xxPm ,1m 因 此 設(shè) 微 分 方 程 特 解 為 xx ebxaxebaxxy 222 )()( 代 入 原 方 程 消 去 ax2 ,x比 較 系 數(shù) 可 知 ,12 a 02 ba因 此 ,21a .1b xexxy 2)2(2 原 方 程 通 解 為 yYy xx

17、eCeC 221 xexx 22 )21( xe 2 得 ba2 例 11 求 微 分 方 程 12 2 xeyyy x 的 通 解 。解 特 征 方 程 .022 rr 特 征 根 ,2,1 21 rr對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 方 程 通 解 為 .221 xx eCeCY ,)( 21 xexf 2 是 單 特 征 根 ， 因 此 ,1k,1)( xPm ,0m 因 此 設(shè) 微 分 方 程 特 解 為 xaxey 21 代 入 原 方 程 消 去 a3 ,1 所 以 ,31axxey 21 31 xe 2 得(1)(2) 求 xeyyy 22 的 特 解 。所 以 xeyyy 22 的 特 解

18、為 原 方 程 通 解 為 21 yyYy xx eCeC 221 xxe 231 (3) 求 12 xyyy 的 特 解 。,1)(2 xxf 0 不 是 特 征 根 ， 因 此 ,0k,1)( xxPm ,1m 設(shè) 微 分 方 程 特 解 為 baxy 2代 入 原 方 程 得 baax 22 ,1 x比 較 系 數(shù) 得 ,21a 43212 xy所 以 12 xyyy 的 特 解 為 43b(4) 4321 x 例 12 設(shè) )(xf 二 階 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) ， 且 ,0)0(,1)0( ff曲 線 積 分 2(5 3 ( ) ( ( ) 2 ( )xL e f x ydx f x f

19、x dy 與 路 徑無(wú) 關(guān) ， 求 ).(xf解 由 于 曲 線 積 分 與 路 徑 無(wú) 關(guān) ， 所 以)(35( 2 yxfey x )(2)( xfxfx )(5 2 xfe x )(2)( xfxf 因 此 )(xf 滿 足 微 分 方 程 xefff 2532 0)0(,1)0( ff特 征 方 程 .0322 rr 特 征 根 1 21, 3,r r 對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 方 程 通 解 為 .321 xx eCeCF 設(shè) 非 齊 次 方 程 的 特 解 為 ,2xaef 代 入 方 程 得 ,1a ,2xef xxx eeCeCxf 2321)( 因 此 方 程 通 解 為由 于 )

20、0(f1 121 CC)0(f0 23 21 CC所 以 ,211 C 212 C xxx eeexf 23 2121)( 型xxPxxPexf nlx sin)(cos)()( 2 為 實(shí) 數(shù) ，)0(, )(),( xPxP nl 分 別 為 l ， n 次 多 項(xiàng) 式 。 xxPxxPe nlx sin)(cos)( 對(duì) 非 齊 次 方 程 yqypy ),(為常數(shù)qp xRxRexy mmxk sincos* 則 可 設(shè) 特 解 :其 中 為 特 征 方 程 的 k 重 根 ( k = 0, 1), i lnm ,max上 述 結(jié) 論 也 可 推 廣 到 高 階 方 程 的 情 形 .

21、 例 13 寫 出 下 列 微 分 方 程 的 特 解 形 式 。(1) xxeyyy x 3cos32 解 特 征 方 程 ,0322 rr 特 征 根 1,3 21 rr,3cos)( xxexf x ,3,1 i31 不 是 特 征 根 ，所 以 ,0k ,0)(,)( xPxxP nl 所 以 ,1,max nlm因 此 3sin)(3cos)( xdcxxbaxey x (2) xxeyyy x 3cos102 解 特 征 方 程 ,01022 rr 特 征 根 ,312,1 ir ,3cos)( xxexf x ,3,1 i31 是 單 特 征 根 ，所 以 ,1k ,0)(,)(

22、 xPxxP nl 所 以 ,1,max nlm因 此 3sin)(3cos)( xdcxxbaxxey x (3) xxyyy 2sin168)4( 解 特 征 方 程 ,0168 24 rr 特 征 根 ,221 irr ,2sin)( xxxf ,2,0 ii 2 是 二 重 特 征 根 ， 所 以 ,2k ,0)( xPl所 以 ,1,max nlm 因 此 2sin)(2cos)(2 xdcxxbaxxy ,243 irr ,)( xxPn xcbaxxadcxy 2sin)22(2cos)22( xadcxxcbaxy 2sin)(42cos)(4 例 14 xxyy 2cos求方

23、程的 一 個(gè) 特 解 .解 : 特 征 方 程 ,2,0 故 設(shè) 特 解 為xdxcxbxay 2sin)(2cos)(* 不 是 特 征 方 程 的 根 ,ii 2 代 入 方 程 得 xcbxa 2cos)433( 012 r ,)( xxPl ,0)( xPn比 較 系 數(shù) , 得 9431 , da .2sin2cos* 9431 xxxy 于 是 求 得 一 個(gè) 特 解 13 a 043 cb 03 c 043 ad 0cb本 題 xadxc 2sin)433( xx 2cos )sin)(cos)( xabxbaey x )sin2cos2( xaxbey x 例 15 xeyyy

24、 xcos422 求方程的 通 解 .解 特 征 方 程 為 ,0222 rr 特 征 根 ,12,1 ir ,cos4)( xexf x ,1,1 i1 不 是 特 征 根 ，所 以 ,0k ,0)(,4)( xPxP nl 所 以 ,0,max nlm所 以 對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 方 程 的 通 解 為 )sincos( 21 xcxceY x 故 設(shè) 特 解 為 )sincos( xbxaey x 代 入 方 程 得 xeba xcos)44( xeab xsin)44( xexcos4所 以 ,1ba ,0ab , 2121 ba),sin(cos21 xxey x 通 解 為 )sin

25、cos( 21 xcxce x y ),sin(cos21 xxex xbaxxabxy 3sin)3(3cos)3( xabxxbaxy 3sin)69(3cos)69( 例 16 xxyy 3sin303cos189 求方程的 通 解 . 解 : 特 征 方 程 為 ,092 r 其 根 為對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 的 通 解 為 xCxCY 3sin3cos 21 )3sin3cos(* xbxaxy 比 較 系 數(shù) , 得 ,5a ,3b因 此 特 解 為 )3sin33cos5(* xxxy ir 32,1 代 入 方 程 : xb 3cos6所 求 通 解 為 xCxCy 3sin3

26、cos 21 為 特 征 方 程 的 單 根 ,i3 )3sin33cos5( xxx xx 3sin303cos18 因 此 設(shè) 非 齊 次 方 程 特 解 為xa 3sin6 三 歐 拉 方 程n 階 歐 拉 方 程 的 一 般 形 式 為 )(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn ,tex令則xydd xttydddd tyx dd122ddxy )(1dd12 dtdydxdxtyx tytyx dddd1 222 tyyx dd tytyyx dddd 222 ,lnxt 則dxdtdtydxtyx 222 1dd1 ,ddtD記則 由 上 述 計(jì) 算 可 知 :

27、 yDyx yDyDyx 22 ,),3,2(dd ktD kkk yDD )1( 用 歸 納 法 可 證 ykDDDyx kk )1()1()( 于 是 歐 拉 方 程 )(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn )(11 tnnn efybyDbyD 轉(zhuǎn) 化 為 常 系 數(shù) 線 性 方 程 : )(dddd 111 tnnnnn efybt ybty 即 例 17 .ln2ln22 22的通解求方程xxyyxyx 解 : ,tex令,lnxt 則,ddtD記則 原 方 程 化 為ttyyDyDD 222)1( 2 亦 即 ttytyty 22dd3dd 222 其 根 ,

28、2,1 21 rr則 對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 方 程 的 通 解 為特 征 方 程 ,0232 rr ttyDD 2)23( 22 即 tt eCeCY 221 的 通 解 為 41ln21ln21 2221 xxxCxCy 412121 2221 tteCeCy tt換 回 原 變 量 , 得 原 方 程 通 解 為設(shè) 特 解 : CtBtAy 2代 入 確 定 系 數(shù) , 得 412121 2 tty 例 18 .22的通解求方程xxyxyy 解 : 將 方 程 化 為 xyyxyx 22 (歐 拉 方 程 ) ,ddtD記則 方 程 化 為,tex令teyDDD 2)1)1( 即 teyDD 2)12( 2 特 征 根 : ,121 rr設(shè) 特 解 : ,2 tetAy 代 入 解 得 A = 1,tt etetCCy 221 )( xxxxCC 221 ln)ln( 所 求 通 解 為