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1、2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 一 、復(fù)習(xí)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念 2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 1、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù) 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛. 3、平均數(shù): 一般地，如果n個(gè)數(shù) ，那么， 叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)。 1 2, ,., nx x x1 21 ( . )nx x x xn 1、求下列各組數(shù)據(jù)的眾數(shù)（1）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9眾數(shù)是：3和8

2、（2）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9眾數(shù)是：32、求下列各組數(shù)據(jù)的中位數(shù)（1）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9（2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9中位數(shù)是：5中位數(shù)是：4 3、在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆撼煽?jī)(米) 150 160 165 170 175 180 185 190人數(shù)2 3 2 3 4 1 1 1分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù) 。解：在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75上面表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.

3、70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；答：17名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）。 這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 1 (1.50 2 1.60 3 . 1.90 1) 1.6917x 米 二 、怎么由頻率分布直方圖求眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)？ 例如，在上一節(jié)抽樣調(diào)查的100位居民的月均用水量的數(shù)據(jù)中，我們得知這一組樣本數(shù)據(jù)的 ，并畫(huà)出過(guò)這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.眾數(shù) =2.3（t）中位數(shù)=2.0（t）平均數(shù)=2.0（t）現(xiàn)在，觀察這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，能否得出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù) 0.5 2.521.51

4、 43.53 4.5 頻率組距 歸納總結(jié)得： 因?yàn)樵陬l率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，也顯示出樣本數(shù)據(jù)落在各小組的比例的大小，所以從圖中可以看到，在區(qū)間2，2.5）的小長(zhǎng)方形的面積最大，即這組的頻率是最大的，也就是說(shuō)月均用水量在區(qū)間2，2.5）內(nèi)的居民最多，即眾數(shù)就是在區(qū)間2，2.5）內(nèi)。 眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 0.5 2.521.51 43.53 4.5 頻率組距 2.25 0.5 2.521.51 43.53 4.5 頻率組距 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 提示：中位數(shù)

5、左邊的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與右邊的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是相等的。 0.5 2.521.51 43.53 4.5 頻率組距 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 前四個(gè)小矩形的面積和=0.49后四個(gè)小矩形的面積和=0.26 2.02 歸納總結(jié)得： 在樣本中，有50的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。在這個(gè)頻率分布直方圖中，左邊的直方圖的面積代表50個(gè)單位，右邊的直方圖也是代表50個(gè)單位，它們的分界線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是中位數(shù)。 中位數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方

6、圖中，就是把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積相等的分界線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 思考討論以下問(wèn)題：1、2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值，與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，你能解釋其中原因嗎？答：2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值,與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖，只是直觀地表明分布的形狀，但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，直方圖已經(jīng)損失一些樣本信息。所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計(jì)值往往與樣本的實(shí)際中位數(shù)值不一致. 0.5 2.521.51 43.53 4.5 頻率組距 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 提示：在頻率分布直

7、方圖中,各個(gè)組的平均數(shù)如何找？ 0.5 2.521.51 43.53 4.5 頻率組距 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02. . . . .0.75 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.251.250.5 提示：與小長(zhǎng)方形面積的比例有關(guān)嗎？ 0.5 2.521.51 43.53 4.5 頻率組距 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.022.02. . . . .0.75 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.251.250.5 總結(jié)歸納得： 平均數(shù)是頻率分布直

8、方圖的“重心”，是直方圖的平衡點(diǎn)。 先找出每個(gè)小長(zhǎng)方形的“重心”，即每小組的平均數(shù)，再按比例算出直方圖的平均數(shù)。 平均數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，等于頻率分布圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。 總結(jié)：眾數(shù)：最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)的左右兩邊的直方圖的面積相等，都為0.5平均數(shù)：每個(gè)小矩形的面積乘以中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和 三 、三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn) 1、眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對(duì)其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)法客觀地反映總體特征。 2、中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線(xiàn)，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)

9、也會(huì)成為缺點(diǎn)。 3、平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，而且越極端，對(duì)平均數(shù)的影響就越大。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量較差時(shí)，用平均數(shù)來(lái)估計(jì)，可靠性不高，可能會(huì)與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差。 四、思考討論以下問(wèn)題：1、樣本中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響，這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)。你能舉例說(shuō)明嗎？答：優(yōu)點(diǎn)：對(duì)極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能夠有效地預(yù)防錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的影響。對(duì)極端值不敏感有利的例子:例如當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差，即存在一些錯(cuò)誤數(shù)據(jù)（如數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤、測(cè)量錯(cuò)誤等）時(shí)，用抗極端數(shù)據(jù)強(qiáng)的中位數(shù)

10、表示數(shù)據(jù)的中心值更準(zhǔn)確。 缺點(diǎn)：（1）出現(xiàn)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)也不知道；（2）對(duì)極端值不敏感有弊的例子：某人具有初級(jí)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)技術(shù)水平，想找一份收入好的工作。這時(shí)如果采用各個(gè)公司計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員收入的中位數(shù)作為選擇工作的參考指標(biāo)就會(huì)冒這樣的風(fēng)險(xiǎn)：很可能所選擇公司的初級(jí)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)技術(shù)水平人員的收入很低，其原因是中位數(shù)對(duì)極小的數(shù)據(jù)不敏感。這里更好的方法是同時(shí)用平均工資和中位數(shù)作為參考指標(biāo)，選擇平均工資較高且中位數(shù)較大的公司就業(yè). 思考討論以下問(wèn)題：3、“用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)”，這是我們經(jīng)常聽(tīng)到的一句話(huà)。但是，數(shù)據(jù)有時(shí)也會(huì)被利用，從而產(chǎn)生誤導(dǎo)。例如，一個(gè)企業(yè)中，絕大多數(shù)人是一線(xiàn)工人，他們的年收入可能是一萬(wàn)元左右，另有

11、一些經(jīng)理層次的人，年收入過(guò)到幾十萬(wàn)元。這時(shí)年收入的平均數(shù)比中位數(shù)大得多。盡管這時(shí)的中位數(shù)比平均數(shù)更合理些，但是這個(gè)企業(yè)的老板到人力市場(chǎng)去招聘工人時(shí)，也許更可能用平均數(shù)來(lái)回答有關(guān)工次待遇的指問(wèn)。 你認(rèn)為“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話(huà)應(yīng)當(dāng)怎么解釋?zhuān)?答: 我認(rèn)為這句話(huà)是這樣解釋的：這個(gè)企業(yè)的老板以員工平均工資收入水平去描述他們單位的收入情況。我覺(jué)得這是不合理的，因?yàn)檫@些員工當(dāng)中，少數(shù)經(jīng)理層次的收入與大多數(shù)一般員工收入的差別比較大，所以平均數(shù)不能反映該單位員工的收入水平。這個(gè)老板的話(huà)有誤導(dǎo)與蒙騙行為。 課后練習(xí) 假設(shè)你是一名交通部門(mén)的工作人員，你打算向市長(zhǎng)報(bào)告國(guó)家對(duì)本市26個(gè)公路項(xiàng)目投資的

12、平均資金數(shù)額，其中一條新公路的建設(shè)投資為2000萬(wàn)元人民幣，另外25個(gè)項(xiàng)目的投資是20100萬(wàn)元。中位數(shù)是25萬(wàn)元，平均數(shù)是100萬(wàn)元，眾數(shù)是20萬(wàn)元。你會(huì)選擇哪一種數(shù)據(jù)特征來(lái)表示國(guó)家對(duì)每一個(gè)項(xiàng)目投資的平均金額？你選擇這種數(shù)字特征的缺點(diǎn)是什么？ 答： 這里應(yīng)該采用平均數(shù)來(lái)表示每一個(gè)國(guó)家項(xiàng)目的平均金額，因?yàn)檫@能反映所有項(xiàng)目的信息。但平均數(shù)會(huì)受到極端數(shù)據(jù)2000萬(wàn)元的影響，所以大多數(shù)項(xiàng)目投資金額都和平均數(shù)相差比較大。 四.小結(jié)1.學(xué)習(xí)利用頻率直方圖估計(jì)總體的眾數(shù) 、中位數(shù)和平均數(shù)的方法。2.介紹眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)這三個(gè)特征數(shù)的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。3.學(xué)習(xí)如何利用眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的特征去分析解決實(shí)際問(wèn)題。