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(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十二篇 系列4選考部分《第74講 幾何證明選講》理(含解析) 蘇教版

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1、 (時(shí)間:50分鐘 滿分:80分) 解答題(每小題10分,共80分) 1.如圖所示,在正方形ABCD中,O是AC與BD的交點(diǎn),∠DAC的平分線AP交CD于點(diǎn)P,∠BDC的平分線DQ交AC于點(diǎn)Q. 求證:=. 證明 在△BQC和△DQC中,BC=DC,CQ=CQ,∠BCQ=∠DCQ,所以△BQC≌△DQC,即BQ=DQ.因?yàn)锳P為∠DAC的平分線,DQ是∠BDC的平分線,所以∠QDC=∠PAC,又∠DCQ=∠ACP,所以△QDC∽△PAC, 即=,又AC=BD,BQ=DQ, 所以=. 2.如圖,⊙O的兩條弦AC,BD互相垂直,OE⊥AB,垂足為點(diǎn)E,求證:OE=CD.

2、 證明 作直徑AF,連接BF,CF,則∠ABF=∠ACF=90°. 又OE⊥AB,O為AF的中點(diǎn), 則OE=BF.因?yàn)锳C⊥BD, 所以∠DBC+∠ACB=90°. 又因?yàn)锳F為直徑, 所以∠BAF+∠BFA=90°. 因?yàn)椤螦FB=∠ACB,所以∠DBC=∠BAF, 即有CD=BF.從而得OE=CD. 3.(2011·鹽城調(diào)研)過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的切線PA,切點(diǎn)為A,連結(jié)OP與⊙O交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作AP的垂線,垂足為D.若PA=12 cm,PC=6 cm,求CD的長. 證明 連結(jié)AO,PA為圓的切線,所以△PAO為直角三角形,則有122+r2=(r+6)2,所以r=9

3、. 又CD垂直于PA,于是=,所以CD= cm. 4.(2011·南京模擬)如圖,AB為圓O的切線,A為切點(diǎn),過線段AB上一點(diǎn)C作圓O的割線CED(點(diǎn)E在點(diǎn)C、D之間),若∠ABE=∠BDE,求證:C為線段AB的中點(diǎn). 證明 在△BCE和△DCB中, 因?yàn)椤螧CE=∠DCB,∠CBE=∠CDB, 所以△BCE∽△DCB. 所以=,即BC2=EC·DC. 因?yàn)橹本€AB、直線CED分別為⊙O的切線和割線, 所以由切割線定理可知,CA2=CE·CD. 所以BC2=CA2. 所以BC=CA,即C為線段AB的中點(diǎn). 5.(2011·南通調(diào)研)自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線PA,切

4、點(diǎn)為A,M為PA的中點(diǎn),過點(diǎn)M引圓O的割線交該圓于B、C兩點(diǎn),且∠BMP=100°,∠BPC=40°,求∠MPB的大?。? 證明 因?yàn)镸A為圓O的切線, 所以MA2=MB·MC. 又M為PA的中點(diǎn), 所以MP2=MB·MC. 因?yàn)椤螧MP=∠PMC, 所△BMP∽△PMC. 于是∠MPB=∠MCP.在△MCP中,由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°,得∠MPB=20°. 6.如圖,已知圓上的弧A=B,過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線交于E點(diǎn),證明: (1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE·CD. 證明 (1)因?yàn)锳=B,所以∠BCD=∠ABC.

5、 又因?yàn)镋C與圓切于點(diǎn)C,故∠ACE=∠ABC, 所以∠ACE=∠BCD. (2)因?yàn)椤螮CB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, 所以△BDC∽△ECB,故=,即BC2=BE·CD. 7.(2011·蘇北四市調(diào)研)如圖,過圓O外一點(diǎn)M作圓的切線,切點(diǎn)為A,過點(diǎn)A作AP⊥OM于點(diǎn)P. (1)求證:OM·OP=OA2; (2)N為線段AP上一點(diǎn),直線NB垂直直線ON,且交圓O于點(diǎn)B,過點(diǎn)B的切線交直線ON于點(diǎn)K,求證:∠OKM=90°. 證明 (1)因?yàn)镸A是圓O的切線,所以O(shè)A⊥AM. 又AP⊥OM,在Rt△OAM中,由射影定理,得OA2=OM·OP. (2)因?yàn)锽K是圓O的切線,BN⊥OK,同(1),有OB2=ON·OK.又OB=OA,所以O(shè)P·OM=ON·OK,即=,又∠NOP=∠MOK,所以△ONP∽△OMK,故∠OKM=∠OPN=90°. 8.(2011·蘇錫常鎮(zhèn)揚(yáng)五市調(diào)研)過圓O外一點(diǎn)A作圓O的兩條切線AT、AS,切點(diǎn)分別為T、S,過點(diǎn)A作圓O的割線APN,證明:=. 證明 AT是圓O的切線,∠ATP=∠ANT, 又∠TAP=∠NAT,所以△ATP∽△ANT. 所以=.同理=. 兩式相乘=. 因?yàn)锳T=AS,所以=.

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