《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九篇 解析幾何初步《第57講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系綜合運(yùn)用 》理(含解析) 蘇教版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九篇 解析幾何初步《第57講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系綜合運(yùn)用 》理(含解析) 蘇教版(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練
(時(shí)間:45分鐘 滿分:80分)
一、填空題(每小題5分,共35分)
1.直線y=x繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°,則所得直線與圓(x-2)2+y2=3的位置關(guān)系是________.
解析 由題意可得旋轉(zhuǎn)30°后所得直線方程為y=x,由圓心到直線距離可知是相切關(guān)系.
答案 相切
2.曲線y=與直線y=x+b有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.
答案 [-3,1]
3.已知實(shí)數(shù)x,y滿足則點(diǎn)(x,y)到圓(x+2)2+(y-6)2=1上點(diǎn)的距離的最小值是________.
答案 4-1
4.已知直線ax+by+c=0與圓O:x2+y2=1相
2、交于A,B兩點(diǎn),且AB=,則·=________.
解析 由題可知∠AOB=120°,所以·=||·||·cos 120°=-.
答案?。?
5.已知x,y滿足x2+y2-4x-6y+12=0,則x2+y2最小值為________.
解析 法一 點(diǎn)(x,y)在圓(x-2)2+(y-3)2=1上,故點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)距離的平方即x2+y2最小值為(-1)2=14-2.
法二 設(shè)圓的參數(shù)方程為則x2+y2=14+4cos α+6sin α,所以x2+y2的最小值為14-=14-2.
答案 14-2
6.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離等
3、于1,則半徑r的取值范圍為________.
解析 由圓心(3,-5)到直線的距離d==5,可得4<r<6.
答案 (4,6)
7.已知曲線C:(x-1)2+y2=1,點(diǎn)A(-2,0)及點(diǎn)B(3,a),從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B,要使視線不被曲線C擋住,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析 設(shè)過A點(diǎn)的⊙C的切線是y=k(x+2),即kx-y+2k=0.
由=1,得k=±.
當(dāng)x=3時(shí),y=5k=±.
答案 ∪
二、解答題(每小題15分,共45分)
8.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若此方程表示圓,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若(1)中的圓與直線x+2y-
4、4=0相交于M,N兩點(diǎn),且OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)m的值;
(3)在(2)的條件下,求以MN為直徑的圓的方程.
解 (1)原圓的方程可化為(x-1)2+(y-2)2=5-m,所以m<5.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=4-2y1,x2=4-2y2,則x1x2=16-8(y1+y2)+4y1y2.
因?yàn)镺M⊥ON,所以x1x2+y1y2=0,
所以16-8(y1+y2)+5y1y2=0, ①
由
得5y2-16y+m+8=0,
所以y1+y2=,y1y2=,代入①得m=.
(3)以MN為直徑的圓的方程為
(x-x1)(x-x2)+
5、(y-y1)(y-y2)=0,
即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.
所以所求圓的方程為x2+y2-x-y=0.
9.(2010·南京調(diào)研)已知以點(diǎn)C(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A,與y軸交于點(diǎn)O、B,其中O為原點(diǎn).
(1)求證:△OAB的面積為定值;
(2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M,N,若OM=ON,求圓C的方程.
(1)證明 ∵圓C過原點(diǎn)O,∴OC2=t2+.
設(shè)圓C的方程是(x-t)2+2=t2+,
令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t.
∴S△OAB=OA·OB=××|2t|=4,
即△OAB的面
6、積為定值.
(2)解 ∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分線段MN.
∵kMN=-2,∴kOC=,
∴直線OC的方程是y=.
∴=t,解得t=2或t=-2.
當(dāng)t=2時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(2,1),OC=,此時(shí)圓心C到直線y=-2x+4的距離d=<,圓C與直線y=-2x+4相交于兩點(diǎn).
當(dāng)t=-2時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(-2,-1),OC=,此時(shí)圓心C到直線y=-2x+4的距離d=>,圓C與直線y=-2x+4不相交,∴t=-2不符合題意舍去.
∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
10.如圖,已知圓心坐標(biāo)為(,1)的圓M與x軸及直線y=x分別相切于A、B兩點(diǎn),另一圓N與
7、圓M外切,且與x軸及直線y=x分別相切于C、D兩點(diǎn).
(1)求圓M和圓N的方程;
(2)過點(diǎn)B作直線MN的平行線l,求直線l被圓N截得的弦的長(zhǎng)度.
解 (1)由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切,故M到OA及OB的距離均為⊙M的半徑,則M在∠BOA的平分線上,同理,N也在∠BOA的平分線上,即O,M,N三點(diǎn)共線,且OMN為∠BOA的平分線.
∵M(jìn)的坐標(biāo)為(,1),∴M到x軸的距離為1,即⊙M的半徑為1,則⊙M的方程為(x-)2+(y-1)2=1,
設(shè)⊙N的半徑為r,其與x軸的切點(diǎn)為C,連接MA、NC,
由Rt△OAM∽R(shí)t△OCN可知,OM∶ON=MA∶NC,
即=?r=3,則OC
8、=3,
故⊙N的方程為(x-3)2+(y-3)2=9.
(2)由對(duì)稱性可知,所求的弦長(zhǎng)等于點(diǎn)過A的直線MN的平行線被⊙N截得的弦長(zhǎng),此弦的方程是y=(x-),即x-y-=0,圓心N到該直線的距離d=,
則弦長(zhǎng)為2=.
B級(jí) 綜合創(chuàng)新備選
(時(shí)間:30分鐘 滿分:60分)
一、填空題(每小題5分,共30分)
1.(2011·濟(jì)寧模擬)過點(diǎn)(-2,0)且傾斜角為的直線l與圓x2+y2=5相交于M,N兩點(diǎn),則線段MN的長(zhǎng)為________.
解析 l方程為x-y+2=0,圓心到l距離為d==,所以MN=2=2.
答案 2
2.圓C:x2+y2+2x-2y-2=0的圓心到直線3x+
9、4y+14=0的距離是________.
解析 圓心為(-1,1),它到直線3x+4y+14=0的距離d==3.
答案 3
3.若過點(diǎn)A(0,-1)的直線l與曲線x2+(y-3)2=12有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍為________.
解析 該直線l的方程為y=kx-1,即kx-y-1=0,則由題意,得d=≤2,即k2≥,解得k≤-或k≥.
答案 ∪
4.若直線mx+ny=4和圓O:x2+y2=4沒有公共點(diǎn),則過點(diǎn)(m,n)的直線與橢圓+=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.
解析 由題意可知,圓心O到直線mx+ny=4的距離大于半徑,即得m2+n2<4,所以點(diǎn)(m,n)在圓O
10、內(nèi),而圓O是以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓,故點(diǎn)(m,n)在橢圓內(nèi),因此過點(diǎn)(m,n)的直線與橢圓必有2個(gè)交點(diǎn).
答案 2
5.如果圓C:(x+a)2+(y-a)2=18上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析 由題意,圓C上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,即圓C與以O(shè)為圓心,半徑為的圓總有兩個(gè)交點(diǎn),即兩圓相交,所以有|3-|<|CO|<3+,即2<|a|<4,解得-4<a<-2或2<a<4.
答案 (-4,-2)∪(2,4)
6.直線l:ax-by+8=0與圓C:x2+y2+ax-by+4=0(a,b為非零實(shí)數(shù))的位置關(guān)系是________.
11、解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+2=-4,且-4>0,即a2+b2>16,圓心C到直線ax-by+8=0的距離d==<==r(r是圓C的半徑,則直線與圓相交).
答案 相交
二、填空題(每小題15分,共30分)
7.(2011·鹽城調(diào)研)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成,兩相接點(diǎn)M、N均在直線x=5上,圓弧C1的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為13,圓弧C2過點(diǎn)A(29,0).
(1)求圓弧C2的方程;
(2)曲線C上是否存在點(diǎn)P,滿足PA=PO?若存在,指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)已知直線l:x-my-14=0與曲線C交于E、F兩點(diǎn)
12、,當(dāng)EF=33時(shí),求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離.
解 (1)圓弧C1所在圓的方程為x2+y2=169.
令x=5,解得M(5,12),N(5,-12).
則線段AM的中垂線的方程為y-6=2(x-17).
令y=0,得圓弧C2所在圓的圓心為O2(14,0),
又圓弧C2所在圓的半徑為r2=29-14=15,所以圓弧C2的方程為(x-14)2+y2=225(x≥5).
(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P(x,y),則由PA=PO,得x2+y2+2x-29=0.
由解得x=-70(舍).
由解得x=0(舍).
綜上知這樣的點(diǎn)P不存在.
(3)因?yàn)镋F>2r2,EF>2r1,所以E、F兩點(diǎn)分
13、別在兩個(gè)圓弧上.
設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d.
因?yàn)橹本€l恒過圓弧C2所在圓的圓心(14,0),
所以EF=15++,
即+=18,解得d2=.
所以點(diǎn)O到直線l的距離為.
8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),A(0,8),直線y=t(0<t<8)與線段AF1,AF2分別交于點(diǎn)P,Q.
(1)當(dāng)t=3時(shí),求以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn),且過PQ中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)Q作直線QR∥AF1交F1F2于點(diǎn)R,記△PRF1的外接圓為圓C.
求證:圓心C在定直線7x+4y+8=0上.
(1)解 當(dāng)t=3時(shí),PQ中點(diǎn)為(0,3),所以b=3,又橢圓焦點(diǎn)為F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),所以c=4,a2=b2+c2=25,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)證明 因?yàn)镼在直線AF2:+=1上,所以Q.
由P與Q關(guān)于y軸對(duì)稱,得P,又由QR∥AF1,得R(4-t,0).
設(shè)△PRF1的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則有
解得
所以該圓的圓心C滿足7×+4+8=8-8=0,即圓心C在直線7x+4y+8=0上.