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(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八篇《第51講 立體幾何中的向量方法(2)——求空間角與距離》理(含解析) 蘇教版

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1、 A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練 (時(shí)間:45分鐘 滿分:80分) 一、填空題(每小題5分,共35分) 1.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點(diǎn),N是A1B1上的動(dòng)點(diǎn),則直線NO、AM的位置關(guān)系是________. 解析 建立坐標(biāo)系如圖,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,t,2),=(-1,1-t,-2),=(-2,0,1),·=0,則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直. 答案 異面垂直 2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中

2、,M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn),則sin〈,〉的值為_(kāi)_______. 解析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可知=(2,-2,1),=(2,2,-1), cos〈,〉=-,所以sin〈,〉=. 答案  3.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_(kāi)_______. 解析 建立坐標(biāo)系如圖, 則A(1,0,0),E(0,2,1), B(1,2,0),C1(0,2,2). =(-1,0,2),=(-1,2,1), cos〈,〉

3、==. 所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為. 答案  4.(2011·全國(guó)卷改編)已知直二面角αlβ,點(diǎn)A∈α,AC⊥l,C為垂足,點(diǎn)B∈β,BD⊥l,D為垂足,若AB=2,AC=BD=1,則CD=________. 解析 如圖,建立直角坐標(biāo)系D-xyz,由已知條件B(0,0,1),A(1,t,0)(t>0),由AB=2解得t=. 答案  5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1中點(diǎn),G是DD1中點(diǎn),F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且FB=BC,則GB與EF所成的角為_(kāi)_______. 解析 如圖建立直角坐標(biāo)系Dxyz, 設(shè)DA=1,由已知條件 G,B,E,F(xiàn),=, =

4、 cos〈,〉==0, 則⊥. 答案 90° 6.正四棱錐S -ABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC的夾角的大小為_(kāi)_______. 解析 如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz. 設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a, 則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P. 則=(2a,0,0),=,=(a,a,0). 設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1), 則cos〈,n〉===. ∴〈,n〉=60°, ∴直線BC與平面PAC的夾角為90°-60°=30°. 答案 30° 7.(

5、2011·全國(guó)卷改編)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_(kāi)_______. 解析 如圖,建立直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DA=1由已知條件A(1,0,0),E,F(xiàn) =,= 設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z), 面AEF與面ABC所成的二面角為θ 由 令y=1,z=-3,x=-1,則n=(-1,1,-3) 平面ABC的法向量為m=(0,0,-1) cos θ=cos〈n,m〉=,tan θ=. 答案  二、解答題(每小題15分,共45分) 8.如圖,已知四棱錐P

6、-ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD中點(diǎn). (1)證明:PE⊥BC; (2)若∠APB=∠ADB=60°,求直線PA與平面PEH所成角的正弦值. 解 以H為原點(diǎn),HA、HB、HP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng),建立空間直角坐標(biāo)系如圖, 則A(1,0,0),B(0,1,0). (1)證明 設(shè)C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0), 則D(0,m,0),E. 可得=,=(m,-1,0). 因?yàn)椤ぃ剑?=0, 所以PE⊥BC. (2)由已知條件及(1)可得m=-,n=1,則P(0,0,1).

7、 =,=(-1,0,1). 由(1)知為面PEH的一個(gè)向量. ∴==, 因此直線PA與平面PEH所成角的正弦值為. 9.如圖所示,在四棱錐A-BCDE中,底面BCDE為矩形,側(cè)面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=,AB=AC. (1)證明:AD⊥CE; (2)設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形,求二面角C-AD-E的大小. (1)證明 取BC中點(diǎn)O, 連接AO,則AO⊥BC 由已知條件AO⊥平面BCDE, 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz, 則A(0,0,t),D(1,,0) C(1,0,0),E(-1,,0), =(1,,-t) =(-2,,0) 則·=0,因此AD⊥

8、CE. (2)解 作CF⊥AD垂足為F,連接EF, 則AD⊥平面CEF從而EF⊥AD 則∠CFE為二面角C-AD-E的平面角. 在Rt△ACD中,CF==, 在等腰△ADE中,EF=, cos∠CFE==-. ∴二面角C-AD-E的余弦值為-. 10.(2011·揚(yáng)州調(diào)研)如圖,在三棱錐P-ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=4,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是PC,PA的中點(diǎn),求二面角A-BE-F的余弦值. 解 如圖,以BP所在直線為z軸,BC所在直線y軸,建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz,則B(0,0,0),A(4,4,0),C(0,4,0),P(0,0,4),E(

9、0,2,2),F(xiàn)(2,2,2). 因?yàn)镻B⊥平面ABC, 所以PB⊥AC. 又AC⊥CB, 所以AC⊥平面PBC. 所以AC⊥PC. 所以EF⊥PC. 又BE⊥PC, 所以PC⊥平面BEF. 而=(0,4,-4), 所以平面BEF的一個(gè)法向量n1=(0,1,-1). 設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量n2=(x,y,z), 則 取x=1,則平面ABE的一個(gè)法向量n2=(1,-1,1). 所以cos〈n1,n2〉=-. 由圖知二面角ABEF的平面角為銳角. 所以二面角A-BE-F的平面角的余弦值為. B級(jí) 綜合創(chuàng)新備選 (時(shí)

10、間:40分鐘 滿分:90分) 一、填空題(每小題5分,共15分) 1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為正三角形,底面ABCD為正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足MP=MC,則點(diǎn)M 在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為_(kāi)_______. 解析 以D為原點(diǎn),DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖: 設(shè)M(x,y,0),設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,則P,C(0,a,0),則MC=, MP=. 由MP=MC得x=2y,所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線y

11、=x的一部分. 答案?、? 2.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P在線段BD1上,當(dāng)∠APC最大時(shí),三棱錐PABC的體積為_(kāi)_______. 解析 以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BA為x軸,BC為y軸,BB1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示). 設(shè)B=λ,可得:P(λ,λ,λ). 再由cos ∠APC=可求得 當(dāng)λ=時(shí),∠APC最大. 故VPABC=××1×1×=. 答案  3.P是二面角α-AB-β棱上的一點(diǎn),分別在α、β平面上引射線PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小為_(kāi)_______. 解析 不妨設(shè)PM=a,

12、PN=b,如圖, 作ME⊥AB于E,NF⊥AB于F, ∵∠EPM=∠FPN=45°, ∴PE=a,PF=b, ∴·=(-)·(-) =·-·-·+· =abcos 60°-a×bcos 45°-abcos 45°+a×b =--+=0, ∴⊥,∴二面角α-AB-β的大小為90°. 答案 90° 二、解答題(每小題15分,共75分) 4.(2011·南京模擬)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A=,M是CC1的中點(diǎn). (1)求證:A1B⊥AM; (2)求二面角B -AM-C的平面角的大小. (1)證明 以點(diǎn)C為原

13、點(diǎn),CB、CA、CC1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,如圖所示, 則B(1,0,0),A(0,,0),A1(0,,),M. 所以=(1,-,-),=. 因?yàn)椤ぃ?×0+(-)×(-)+(-)×=0,所以A1B⊥AM. (2)解 因?yàn)锳BC -A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,又BC?平面ABC,所以CC1⊥BC. 因?yàn)椤螦CB=90°,即BC⊥AC,所以BC⊥平面ACC1,即BC⊥平面AMC. 所以是平面AMC的一個(gè)法向量,=(1,0,0). 設(shè)n=(x,y,z)是平面BAM的一個(gè)法向量, =(-1,,0),=. 由得令x=,得y=,z=2.

14、 所以n=(,,2) 因?yàn)閨|=1,|n|=2,所以cos〈,n〉==,因此二面角B -AM-C的大小為45°. 5.(2011·蘇錫常鎮(zhèn)揚(yáng)五市調(diào)研)如圖,正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F(xiàn)分別在棱AA1和CC1上(含線段端點(diǎn)). (1)如果AE=C1F,試證明B,E,D1,F(xiàn)四點(diǎn)共面; (2)在(1)的條件下,是否存在一點(diǎn)E,使得直線A1B和平面BFE所成角等于?如果存在,確定點(diǎn)E的位置;如果不存在,試說(shuō)明理由. (1)證明 以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz, 設(shè)AE=GF=t.

15、 則B(1,0,0),D1(0,1,1),E(0,0,t),F(xiàn)(1,1,1-t),其中0≤t≤1. 則==(-1,0,t),所以BE∥FD1. 所以B,E,D1,F(xiàn)四點(diǎn)共面. (2)解?。?-1,0,1),=(-1,0,t),=(0,1,1-t), 可求平面BFE的法向量n=(t,t-1,1), 若直線A1B與平面BFE所成的角等于,則有sin=,即=,解得t=0,所以點(diǎn)E存在,且坐標(biāo)為E(0,0,0),即E在頂點(diǎn)A處. 6.(2011·南通調(diào)研)在正方體ABCD -A1B1C1D1中,O是AC的中點(diǎn),E是線段D1O上一點(diǎn),且D1E=λEO. (1)若λ=1,求異

16、面直線DE與CD1所成角的余弦值; (2)若平面CDE⊥平面CD1O,求λ的值. 解 (1)不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,以,,為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D -xyz. 則A(1,0,0),O,C(0,1,0),D1(0,0,1), (1)由題意知E. 于是=,=(0,-1,1). 由cos〈,〉==. 所以異面直線DE與CD1所成角的余弦值為. (2)設(shè)平面CD1O的法向量為m=(x1,y1,z1), 由m·=0,m·=0, 得 取x1=1,得y1=z1=1,即m=(1,1,1). 由D1E=λEO, 則E, =. 又設(shè)平面CDE的法向量為n=(x2,

17、y2,z2), 由n·=0,n·=0, 得 取x2=2,得z2=-λ,即n=(2,0,-λ). 因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面CD1O, 所以m·n=0,得λ=2. 7.(2011·常州調(diào)研)如圖,在四棱錐PABCD中,已知PB⊥底面ABCD,AB⊥BC,AD∥BC,AB=AD=2,CD⊥PD,異面直線PA和CD所成角等于60°. (1)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大小; (2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角ABED的余弦值為?若存在,指出點(diǎn)E在棱PA上的位置;若不存在,說(shuō)明理由. 解 如圖,以B為原點(diǎn),BA,BC,

18、BP所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=a,BP=b,則B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,a,0),D(2,2,0),P(0,0,b). ∵P=(2,2,-b),C=(2,2-a,0),CD⊥PD, ∴C·P=0.∴4+4-2a=0,a=4. 又P=(2,0,-b),C=(2,-2,0),異面直線PA和CD所成角等于60°, ∴=,即=, 解得b=2. (1)P=(0,4,-2),A=(0,2,0),P=(2,0,-2). 設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1), 則由得 取n1=(1,0,1), ∵sin θ===, ∴直線P

19、C和平面PAD所成角的正弦值為. (2)假設(shè)存在,設(shè)P=λP,且E(x,y,z),則(x,y,z-2)=λ(2,0,-2),E(2λ,0,2-2λ). 設(shè)平面DEB的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2), 則由得 取n2=(λ-1,1-λ,λ),又平面ABE的法向量n3=(0,1,0), 由cos θ==,得=,解得λ=或λ=2(不合題意). ∴存在這樣的E點(diǎn),E為棱PA上的靠近A的三等分點(diǎn). 8.(2010·山東)如圖,在五棱錐P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC,∠ABC=45°,AB=2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.

20、 (1)求證:平面PCD⊥平面PAC; (2)求直線PB與平面PCD所成角的大小; (3)求四棱錐P-ACDE的體積. (1)證明 在△ABC中,因?yàn)椤螦BC=45°,BC=4,AB=2, 所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 45°=8, 因此AC=2,故BC2=AC2+AB2, 所以∠BAC=90°. 又PA⊥平面ABCDE,AB∥CD, 所以CD⊥PA,CD⊥AC, 又PA,AC?平面PAC,且PA∩AC=A, 所以CD⊥平面PAC.又CD?平面PCD, 所以平面PCD⊥平面PAC. (2

21、)解 法一 因?yàn)椤鱌AB是等腰三角形,所以PA=AB=2, 因此PB==4.又AB∥CD, 所以點(diǎn)B到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離, 由于平面PCD⊥平面PAC,在Rt△PAC中,PA=2,AC=2, 所以PC=4, 故PC邊上的高為2,此即為點(diǎn)A到平面PCD的距離.所以B到平面PCD的距離為h=2. 設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為θ, 則sin θ===. 又θ∈,所以θ=. 法二 由(1)知AB,AC,AP兩兩相互垂直,分別以AB、AC、AP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由于△PAB是等腰三角形,所以PA=AB=2.又AC=2,

22、 因此A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2). 因?yàn)锳C∥ED,CD⊥AC, 所以四邊形ACDE是直角梯形. 因?yàn)锳E=2,∠ABC=45°,AE∥BC, 所以∠BAE=135°,因此∠CAE=45°, 故CD=AE·sin 45°=2×=, 所以D(-,2,0). 因此=(0,-2,2),=(-,0,0). 設(shè)m=(x,y,z)是平面PCD的一個(gè)法向量, 則m·=0,m·=0, 解得x=0,y=z,取y=1,得m=(0,1,1). 又=(-2,0,2), 設(shè)θ表示向量與平面PCD的法向量m所成的角, 則cos θ==,所以θ=, 因此直線PB與平面PCD所成的角為. (3)解 因?yàn)锳C∥ED,CD⊥AC, 所以四邊形ACDE是直角梯形. 因?yàn)锳E=2,∠ABC=45°,AE∥BC, 所以∠BAE=135°,因此∠CAE=45°, 故CD=AE·sin 45°=2×=, ED=AC-AE·cos 45°=2-2×=, 所以S四邊形ACDE= ×=3. 又PA⊥平面ABCDE, 所以VP-ACDE=×3×2=2.

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