《(江蘇專(zhuān)用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十二篇 系列4選考部分《第77講 不等式選講》理(含解析) 蘇教版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專(zhuān)用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十二篇 系列4選考部分《第77講 不等式選講》理(含解析) 蘇教版(3頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 (時(shí)間:50分鐘 滿分:80分)
解答題(每小題10分,共80分)
1.(2011·遼寧卷)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.
(1)證明:-3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
(1)證明 f(x)=|x-2|-|x-5|=
當(dāng)2<x<5時(shí),-3<2x-7<3.
所以-3≤f(x)≤3.
(2)解 由(1)可知,
當(dāng)x≤2時(shí),f(x)≥x2-8x+15的解集為空集;
當(dāng)2<x<5時(shí),f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-≤x<5};
當(dāng)x≥5時(shí),f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5≤x≤6}.
綜上,不等式f
2、(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-≤x≤6}.
2.(2011·福建卷)設(shè)不等式|2x-1|<1的解集為M.
(1)求集合M;
(2)若a,b∈M,試比較ab+1與a+b的大?。?
解 (1)由|2x-1|<1得-1<2x-1<1,解得0<x<1,所以M={x|0<x<1}.
(2)由(1)和a,b∈M可知0<a<1,0<b<1,所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0,故ab+1>a+b.
3.(2011·南通調(diào)研)已知x,y,z均為正數(shù).求證:++≥++.
證明 因?yàn)閤,y,z都是為正數(shù),所以+=≥.
同理,可得+≥,+≥.
將上述三個(gè)不等式兩邊分別相
3、加,并除以2,得++≥++.
4.(2011·鹽城調(diào)研)已知m>0,a,b∈R,求證:2≤.
證明 因?yàn)閙>0,所以1+m>0,所以要證2≤,即證(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),
即證m(a2-2ab+b2)≥0,即證(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0顯然成立,故2≤.
5.(2011·南京模擬)已知a,b都是正實(shí)數(shù),且a+b=2,求證:+≥1.
證明 法一 左邊-右邊=+-1
=
=
因?yàn)閍+b=2,所以左邊-右邊=.
因?yàn)閍,b都是正實(shí)數(shù),所以ab≤=1.
所以左邊-右邊≥0,即+≥1.
法二 由柯西不等式,得
[()2+()2]≥(a+b)2.
因
4、為a+b=2,所以上式即為×4≥4.
即+≥1.
法三 因?yàn)閍,b都是正實(shí)數(shù),所以+≥2a,+≥2b.
兩式相加,得+++≥2a+2b,
因?yàn)閍+b=2,所以+≥1.
6.(2011·宿遷聯(lián)考)設(shè)x,y,z為正數(shù),證明:2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).
證明 因?yàn)閤2+y2≥2xy≥0,
所以x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)≥xy(x+y).
同理y3+z3≥yz(y+z),z3+x3≥zx(z+x).
三式相加,即可得2(x3+y3+z3)≥xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x).
又xy(x+y)+yz(y+z)
5、+zx(z+x)=x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).
所以2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).
7.(2011·鎮(zhèn)江調(diào)研)已知a,b,c為正數(shù),且滿足acos2θ+bsin2θ<c.
求證:cos2θ+sin2θ<.
證明 由柯西不等式,可得
cos2θ+sin2θ
≤[(cos θ)2+(sin θ)2](cos2θ+sin2θ)
=(acos2θ+bsin2θ)<.
8.(2011·南通調(diào)研)若正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求++的最小值.
證明 因?yàn)檎龜?shù)a,b,c滿足a+b+c=1,所以[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥(1+1+1)2,
即++≥1,
當(dāng)且僅當(dāng)3a+2=3b+2=3c+2,即a=b=c=時(shí),原式取最小值1.