《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十篇 圓錐曲線與方程《第59講雙曲線》理(含解析) 蘇教版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十篇 圓錐曲線與方程《第59講雙曲線》理(含解析) 蘇教版(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練
(時(shí)間:45分鐘 滿分:80分)
一、填空題(每小題5分,共35分)
1.若雙曲線-=1(a>0)的離心率為2,則a=________.
解析 ∵b=,∴c=,∴==2,∴a=1.
答案 1
2.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng),則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______.
解析 焦點(diǎn)(c,0)到漸近線y=x的距離為=b,則由題意知b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2,∴離心率e==.
答案
3.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=24x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為_(kāi)_
2、______.
解析 由題意可知,解得
答案?。?
4.(2011·湖南卷改編)設(shè)雙曲線-=1(a>0)的漸近線方程為3x±2y=0,則a=________.
解析 雙曲線-=1的漸近線方程為3x±ay=0與已知方程比較系數(shù)得a=2.
答案 2
5.(2011·青島一檢)設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2-=1的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)P在雙曲線上,且·=0,則|+|=________.
解析 如圖,由·=0可得⊥,又由向量加法的平行四邊形法則可知?PF1QF2為矩形,因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等,故有|+|=||=2c=2.
答案 2
6.(2011·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中
3、,雙曲線8kx2-ky2=8的漸近線方程為_(kāi)_______.
解析 由8kx2-ky2=8,得其漸近線方程為8kx2-ky2=0(k≠0),即y2=8x2,所以y=±2x.
答案 y=±2x
7.(2011·南京模擬)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A、F,它的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為B,若A是線段BF的中點(diǎn),則雙曲線C的離心率為_(kāi)_______.
解析 由題意知,B,A(a,0),F(xiàn)(c,0),于是A是線段BF的中點(diǎn),得c-=2a,∴c2-a2=2ac,
∴e2-2e-1=0.
又e>1,所以e=+1.
答案?。?
二、解答題(每小題15分,共45分)
4、
8.設(shè)雙曲線-=1(b>a>0)的半焦距為c,直線l過(guò)(a,0),(0,b)兩點(diǎn),且原點(diǎn)到直線l的距離為c,求雙曲線的離心率.
解 由l過(guò)兩點(diǎn)(a,0)、(0,b),得l的方程為bx+ay-ab=0.
由原點(diǎn)到l的距離為c,得=c.
將b=代入,平方后整理,得
162-16×+3=0.
令=x,則16x2-16x+3=0,解得x=或x=.
由e=,得e=,故e=或e=2.
∵0<a<b,∴e===>,
∴應(yīng)舍去e=,故所求離心率e=2.
9.求適合下列條件的雙曲線方程.
(1)焦點(diǎn)在y軸上,且過(guò)點(diǎn)(3,-4)、.
(2)已知雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0,且雙曲線
5、經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(,2).
解 (1)設(shè)所求雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),則因?yàn)辄c(diǎn)(3,-4),在雙曲線上,
所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,由此得
令m=,n=,則方程組化為
解方程組得
∴a2=16,b2=9.所求雙曲線方程為-=1.
(2)由雙曲線的漸近線方程y=±x,
可設(shè)雙曲線方程為-=λ(λ≠0).
∵雙曲線過(guò)點(diǎn)P(,2),∴-=λ,λ=-,
故所求雙曲線方程為y2-x2=1.
10.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,且F1F2=2,橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4,離心率之比為3∶7.
(1)求這兩曲線方程;
(2)若P為這兩曲線的
6、一個(gè)交點(diǎn),求cos∠F1PF2的值.
解 (1)由已知,得c=,設(shè)橢圓長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為a,b,雙曲線實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為m、n,
則
解得a=7,m=3.所以b=6,n=2.
故橢圓方程為+=1,雙曲線方程為-=1.
(2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn),P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn),則PF1+PF2=14,
PF1-PF2=6,
所以PF1=10,PF2=4.
又F1F2=2,
故cos∠F1PF2=
=.
B級(jí) 綜合創(chuàng)新備選
(時(shí)間:30分鐘 滿分:60分)
一、填空題(每小題5分,共30分)
1.(2011·天津卷改編)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左頂
7、點(diǎn)與拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-1),則雙曲線的焦距為_(kāi)_______.
解析 由題意得?
?c==.∴雙曲線的焦距2c=2.
答案 2
2.設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線x2-=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是雙曲線上的一點(diǎn),且3PF1=4PF2,則△PF1F2的面積是________.
解析 由可解得
又由F1F2=10可得△PF1F2是直角三角形,
則S△PF1F2=PF1×PF2=24.
答案 24
3.如圖,已知雙曲線以長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A、B為左、右焦點(diǎn),且雙曲線過(guò)C、D兩頂點(diǎn).若AB=4,BC=3,則此雙曲線的
8、標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.
解析 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0).由題意得B(2,0),C(2,3),
∴解得
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.
答案 x2-=1
4.過(guò)雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2+y2=a2的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B.若∠AOB=120°(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為_(kāi)_______.
解析 如圖,由題知OA⊥AF,
OB⊥BF且∠AOB=120°,
∴∠AOF=60°,
又OA=a,OF=c,
∴==cos 60°=,
∴=2.
答案 2
5.(2011·揚(yáng)州調(diào)研)已知點(diǎn)P是雙曲線x2-y
9、2=2上的點(diǎn),該點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,則·=________.
解析 設(shè)P(x,y),則Q(x,-y),且x2-y2=2.所以·=(x,y)·(x,-y)=x2-y2=2.
答案 2
6.(2011·山東省濟(jì)寧模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,m)(m>0)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線-y2=1的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實(shí)數(shù)a的值是________.
解析 由拋物線定義,得1+=5,所以p=8,從而M(1,4),又A(-a,0),于是由=,得a=.
答案
二、解答題(每小題15分,共30分)
7.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2
10、在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)(4,-).
(1)求雙曲線方程;
(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0;
(3)求△F1MF2的面積.
(1)解 ∵e=,
∴設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ.
又∵雙曲線過(guò)(4,-)點(diǎn),∴λ=16-10=6,
∴雙曲線方程為x2-y2=6.
(2)證明 法一 由(1)知a=b=,c=2,
∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),
∴kMF1=,kMF2=,
∴kMF1·kMF2==,又點(diǎn)(3,m)在雙曲線上,
∴m2=3,
∴kMF1·kMF2=-1,MF1⊥MF2,·=0.
法二 ∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m)
∴·
11、=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2.
∵M(jìn)在雙曲線上,∴9-m2=6,
∴m2=3,∴·=0.
(3)解 ∵在△F1MF2中,F(xiàn)1F2=4,且|m|=,
∴S△F1MF2=·F1F2·|m|=×4×=6.
8.(2011·廣東卷)設(shè)圓C與兩圓(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一個(gè)內(nèi)切,另一個(gè)外切.
(1)求圓C的圓心軌跡L的方程;
(2)已知點(diǎn)M,F(xiàn)(,0),且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn),求|MP-FP|的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
解 (1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x,y),半徑為r.
圓(x+)2+y2=4的圓心為F1(-,0),半徑為2.
圓(x-)2+y2=4的圓心為F(,0),半徑為2.
由題意得或
∴CF1-CF=4.
∵F1F=2>4,
∴圓C的圓心軌跡是以F1(-,0),F(xiàn)(,0)為焦點(diǎn)的雙曲線,其方程為-y2=1.
(2)由圖知,|MP-FP|≤MF,
∴當(dāng)M,P,F(xiàn)三點(diǎn)共線,且點(diǎn)P在MF延長(zhǎng)線上時(shí),MP-FP取得最大值MF,且MF==2.
直線MF的方程為y=-2x+2,與雙曲線方程聯(lián)立得整理得15x2-32+84=0.
解得x1=(舍去),x2=.
此時(shí)y=-.
∴當(dāng)|MP-FP|取得最大值2時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為.