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(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八篇《第50講 立體幾何中的向量方法(1)——證明平行與垂直 》理(含解析) 蘇教版

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1、 A級 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練 (時間:45分鐘 滿分:80分) 一、填空題(每小題5分,共35分) 1.若直線l1,l2的方向向量分別為a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),則l1與l2的關(guān)系是________(填“垂直”“平行”). 答案 垂直 2.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c與a及b都垂直,則m,n的值分別為________. 解析 由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1), 故a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n-9=0. 解得 答案?。?,2 3.已知a=,b=滿足a∥b,則λ等于________.

2、 解析 由==,可知λ=. 答案  4.若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,在下列四組向量中能使l∥α的是________(填序號). ①a=(1,0,0),n=(-2,0,0) ②a=(1,3,5),n=(1,0,1) ③a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) ④a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析 若l∥α,則a·n=0. 而①中a·n=-2, ②中a·n=1+5=6, ③中a·n=-1,只有④選項(xiàng)中a·n=-3+3=0. 答案?、? 5.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,點(diǎn)M在AC1上且=,N為B1B的中點(diǎn),則||為________.

3、 解析 以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),N. 設(shè)M(x,y,z), ∵點(diǎn)M在AC1上且=, ∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z), ∴x=a,y=,z=.得M, ∴||= =a. 答案 a 6.如圖所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E為PB的中點(diǎn),cos 〈,〉=,若以DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________. 解析 設(shè)PD=a,則A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,

4、a), E,∴=(0,0,a),= 由cos〈,〉=,∴=a ·,∴a=2. ∴E的坐標(biāo)為(1,1,1). 答案 (1,1,1) 7.已知向量a=(-1,2,3),b=(1,1,1),則向量a在向量b方向上的投影為________. 解析 b·a=(1,1,1)·(-1,2,3)=,則a在向量b上的投影為. 答案  二、解答題(每題15分,共45分) 8.已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求: (1)a,b,c; (2)(a+c)與(b+c)夾角的余弦值. 解 (1)因?yàn)閍∥b,所以==, 解得x=2,y=-4,

5、 這時a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又因?yàn)閎⊥c, 所以b·c=0,即-6+8-z=0, 解得z=2,于是c=(3,-2,2). (2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1), 設(shè)(a+c)與(b+c)夾角為θ,因此cos θ==-. 9.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別為BB1、C1D1的中點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求平面AMN的一個法向量. 解 以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示). 設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則A(1,0,0), M,N. ∴=, =.

6、設(shè)平面AMN的一個法向量為n=(x,y,z) ∴ 令y=2,∴x=-3,z=-4.∴n=(-3,2,-4). 10.在底面是菱形的四棱錐PABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,點(diǎn)E在PD上,且PE∶DE=2∶1. (1)證明:PA⊥平面ABCD; (2)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論. (1)證明 ∵底面是菱形,∠ABC=60°, ∴AB=AD=AC=a, 在△PAB中,由PA2+AB2=2a2=PB2,知PA⊥AB. 同理,PA⊥AD, ∴PA⊥平面ABCD. (2)解 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),

7、直線AD、AP分別為y軸、z軸,過A點(diǎn)垂直于平面PAD的直線為x軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 由題設(shè)條件知,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,0,0), B,C,D(0,a,0),P(0,0,a),E. ∴A=,A=,A=,P=,B=. 設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn),且BF∥平面AEC, P=λ=,其中0<λ<1,則B=B+P=+ =. 令B=λ1A+λ2A,得 即 解得 B級 綜合創(chuàng)新備選 (時間:30分鐘 滿分:60分) 一、填空題(每小題5分,共30分) 1.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1

8、的棱長為1,E、F分別是棱BC、DD1上的點(diǎn),如果 B1E⊥平面ABF,則CE與DF的和的值為________. 解析 以D1A1、D1C1、D1D分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)CE=x,DF=y(tǒng), 則易知E(x,1,1),B1(1,1,0),∴=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y),B(1,1,1),∴F=(1,1,y), 由于A⊥B1E,又因?yàn)锽1E⊥平面ABF, 只需F·=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0?x+y=1. 答案 1 2.已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1

9、,5).若|a|=,且a分別與,垂直,則向量a=________. 解析 由已知條件=(-2,-1,3),=(1,-3,2),可觀察出a=±(1,1,1). 答案 ±(1,1,1) 3.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),則以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為________. 解析 |a|==3,|b|==3, a·b=2×2+(-1)×2+2×1=4,∴cos〈a,b〉==,sin〈a,b〉=,S平行四邊形=|a||b|sin〈a,b〉=. 答案  4.已知e1、e2、e3為不共面向量,若a=e1+e2+e3,b=e1-e2+e3,c=e1+e2-e3,d=e1+2e

10、2+3e3,且d=xa+yb+zc,則x、y、z分別為______________. 解析 由d=xa+yb+zc得e1+2e2+3e3=(x+y+z)e1+(x-y+z)e2+(x+y-z)e3, ∴解得: 答案 ,-,-1 5.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱DD1的中點(diǎn).在棱C1D1上存在一點(diǎn)F,使B1F∥平面A1BE,此時=________. 答案 1 6.在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A=,M是CC1的中點(diǎn),則A1B與AM的位置關(guān)系是________.(填“垂直”或“不垂直”) 答案 垂直 二、解答題(每

11、小題15分,共30分) 7.如圖,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體,點(diǎn)E在AA1上,點(diǎn)F在CC1上,且AE=FC1=1. (1)求證:E,B,F(xiàn),D1四點(diǎn)共面; (2)若點(diǎn)G在BC上,BG=,點(diǎn)M在BB1上,GM⊥BF,垂足為H,求證:EM⊥面BCC1B1. 證明 (1)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則=(3,0,1),=(0,3,2),=(3,3,3). 所以=+, 故、、共面. 又它們有公共點(diǎn)B, 所以E、B、F、D1四點(diǎn)共面. (2)如圖,設(shè)M(0,0,z), 則=,而=(0,3,2), 由題設(shè)得·=-×3+z×

12、2=0,得z=1. 因?yàn)镸(0,0,1),E(3,0,1),所以=(3,0,0). 又=(0,0,3),=(0,3,0), 所以·=0,·=0, 從而ME⊥BB1,ME⊥BC. 又BB1∩BC=B, 故ME⊥平面BCC1B1. 8.如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn). 求證:(1)AM∥平面BDE; (2)AM⊥平面BDF. 證明 (1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)AC∩BD=N,連接NE. 則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別為 、(0,0,1). ∴=. 又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是(,,0)、 ∴=. ∴=且NE與AM不共線.∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE,AM?平面BDE, ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知=, ∵D(,0,0),F(xiàn)(,,1),∴=(0,,1) ∴·=0,∴AM⊥DF. 同理AM⊥BF. 又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.

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