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（江蘇專用）高考數學二輪專題復習 解答題強化練 第一周 函數與導數問題 理-人教版高三數學試題

上傳人：文*** 文檔編號：239560410 上傳時間：2024-02-04 格式：DOC 頁數：2 大?。?2.50KB
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1、星期四　(函數與導數問題)　 2016年____月____日 已知函數f(x)＝kex－x2(其中k∈R，e是自然對數的底數． (1)若k＜0，試判斷函數f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的單調性； (2)若k＝2，當x∈(0，＋∞)時，試比較f(x)與2的大?。? (3)若函數f(x)有兩個極值點x1，x2(x1＜x2)，求k的取值范圍，并證明0＜f(x1)＜1. 解　(1)由f′(x)＝kex－2x可知，當k＜0時，由于x∈(0，＋∞)，f′(x)＝kex－2x＜0，故函數f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調遞減函數． (2)當k＝2時，f(x)＝2ex－x2， 則f′(x)＝2ex

2、－2x， 令h(x)＝2ex－2x，h′(x)＝2ex－2， 由于x∈(0，＋∞)， 故h′(x)＝2ex－2＞0， 于是h(x)＝2ex－2x在(0，＋∞)為增函數， 所以h(x)＝2ex－2x＞h(0)＝2＞0， 即f′(x)＝2ex－2x＞0在(0，＋∞)恒成立， 從而f(x)＝2ex－x2在(0，＋∞)為增函數， 故f(x)＝2ex－x2＞f(0)＝2. (3)函數f(x)有兩個極值點x1，x2， 則x1，x2是f′(x)＝kex－2x＝0的兩個根， 即方程k＝有兩個根，設φ(x)＝， 則φ′(x)＝， 當x＜0時，φ′(x)＞0， 函數φ(x)單調遞增且φ(x)＜0； 當0＜x＜1時，φ′(x)＞0， 函數φ(x)單調遞增且φ(x)＞0； 當x＞1時，φ′(x)＜0， 函數φ(x)單調遞減且φ(x)＞0. 要使k＝有兩個根，只需0＜k＜φ(1)＝，如圖所示， 故實數k的取值范圍是(0，)． 又由上可知函數f(x)的兩個極值點x1，x2滿足0＜x1＜1＜x2， 由f′(x1)＝kex1－2x1＝0，得k＝. ∴f(x1)＝kex1－x＝ex1－x ＝－x＋2x1＝－(x1－1)2＋1， 由于x1∈(0，1)， 故0＜－(x1－1)2＋1＜1， 所以0＜f(x1)＜1.

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