《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第47課 橢圓的方程及幾何性質(zhì)教師用書-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第47課 橢圓的方程及幾何性質(zhì)教師用書-人教版高三數(shù)學(xué)試題（14頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第47課 橢圓的方程及幾何性質(zhì) [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) √ 1．橢圓的定義 (1)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓．這兩個定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距． (2)集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F(xiàn)1F2＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. ①當(dāng)2a>F1F2時，M點(diǎn)的軌跡為橢圓； ②當(dāng)2a＝F1F2時，M點(diǎn)的軌跡為線段F1F2； ③當(dāng)2a

2、 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 離心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c 的關(guān)系 c2＝a2－b2 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．(　　)

3、(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)．(　　) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　) (4)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是________． ＋＝1　[橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c＝1. 又離心率為＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3， 故橢圓的方程為＋＝1.] 3．(2015·廣東高考改編)已知橢圓＋＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4,0

4、)，則m＝________. 3　[由左焦點(diǎn)為F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.] 4．(2016·全國卷Ⅰ改編)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為________． 　[如圖，OB為橢圓中心到l的距離，則OA·OF＝AF·OB，即bc＝a·，所以e＝＝.] 5．橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)△FAB的周長最大時，△FAB的面積是__________． 3　[直線x＝m過右焦點(diǎn)(1,0)時，△FAB的周長最大，由橢圓定義知，其周長為4a

5、＝8，即a＝2， 此時，AB＝2×＝＝3， ∴S△FAB＝×2×3＝3.] 橢圓的定義及應(yīng)用 　(1)如圖47-1所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)， M是圓周上一動點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是________． (2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且⊥. 若△PF1F2的面積為9，則b＝__________. 圖47-1 (1)橢圓　(2)3　[(1)由條件知PM＝PF. ∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝R>OF. ∴P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)為焦點(diǎn)

6、的橢圓． (2)由定義，PF1＋PF2＝2a，且⊥， ∴PF＋PF＝F1F＝4c2， ∴(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝4c2， ∴2PF1·PF2＝4a2－4c2＝4b2，∴PF1·PF2＝2b2. ∴S△PF1F2＝PF1·PF2＝×2b2＝9，因此b＝3.] [規(guī)律方法]　(1)利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a>F1F2這一條件． (2)當(dāng)涉及到焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明時，常利用勾股定理、正(余)弦定理、橢圓定義，但一定要注意PF1＋PF2與PF1·PF2的整體代換． [變式訓(xùn)練1]　與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且與圓C2：(x－3)2＋

7、y2＝81內(nèi)切的動圓圓心P的軌跡方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：62172260】 ＋＝1　[設(shè)動圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有PC1＝r＋1，PC2＝9－r. 所以PC1＋PC2＝10>C1C2， 即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓上，得點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1.] 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 　(1)已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點(diǎn)P(3,0)，則橢圓的方程為____________． (2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1(，1)，P2(－，－)，則橢圓的方程為________． (1)＋y2＝

8、1或＋＝1　(2)＋＝1　[(1)若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為＋＝1(a>b>0)，∵橢圓過P(3,0)， ∴＋＝1，即a＝3， 又2a＝3×2b， ∴b＝1，方程為＋y2＝1. 若焦點(diǎn)在y軸上， 設(shè)方程為＋＝1(a>b>0)． ∵橢圓過點(diǎn)P(3,0)．∴＋＝1，即b＝3. 又2a＝3×2b，∴a＝9. ∴方程為＋＝1. ∴所求橢圓的方程為＋y2＝1或＋＝1. (2)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． ∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)P1，P2， ∴點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)適合橢圓方程． 則 ①②兩式聯(lián)立，解得 ∴所求橢圓方程為＋＝1.] [規(guī)律方法]　求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

9、的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定位，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，若焦點(diǎn)位置不確定，可把橢圓方程設(shè)為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式． [變式訓(xùn)練2]　(1)過點(diǎn)(，－)，且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為________． (2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0

10、2a＝＋，解得a＝2. 由c2＝a2－b2可得b2＝4. 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 法二：設(shè)所求橢圓方程為＋＝1(k<9)，將點(diǎn)(，－)的坐標(biāo)代入可得＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B上方，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c＝，則可設(shè)A(c，b2)，B(x0，y0)，由AF1＝3F1B，可得1＝3，故即代入橢圓方程可得＋b2＝1， 得b2＝，故橢圓方程為x2＋＝1.] 橢圓的幾何性質(zhì) 　(1)(2016·江蘇高考)如圖47-2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，直線y＝與橢圓交于

11、B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是 ________. 圖47-2 (2)橢圓＋＝1上有兩個動點(diǎn)P，Q，E(3,0)，EP⊥EQ，則·的最小值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：62172261】 (1)　(2)6　[(1)將y＝代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得＋＝1， 所以x＝±a，故B，C. 又因?yàn)镕(c,0)，所以＝，＝. 因?yàn)椤螧FC＝90°，所以·＝0， 所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，將b2＝a2－c2代入并化簡，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(負(fù)值舍去)． (2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，則＋＝1，所以PE＝＝＝，因?yàn)椋?≤m≤6，所以PE的最小值

12、為， 所以·＝·(－)＝－·＝，所以·的最小值為6.] [規(guī)律方法]　1.求橢圓離心率的方法 (1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解． (2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解． 2．利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系． [變式訓(xùn)練3]　(1)已知直線x＝t與橢圓＋＝1交于P，Q兩點(diǎn)．若點(diǎn)F為該橢圓的左焦點(diǎn)，則使·取得最小值時，t的值為________． (2)已知橢圓E：＋＝

13、1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個端點(diǎn)為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若AF＋BF＝4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是________． (1)－　(2)　[易知橢圓的左焦點(diǎn)F(－4,0)．根據(jù)對稱性可設(shè)P(t，y0)，Q(t，－y0)，則＝(t＋4，y0)，＝(t＋4，－y0)，所以·＝(t＋4，y0)·(t＋4，－y0)＝(t＋4)2－y. 又因?yàn)閥＝9＝9－t2，所以·＝(t＋4)2－y＝t2＋8t＋16－9＋t2＝t2＋8t＋7，所以當(dāng)t＝－時，·取得最小值． (2)左焦點(diǎn)F0，連結(jié)F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形．

14、 ∵AF＋BF＝4，∴AF＋AF0＝4，∴a＝2. 設(shè)M(0，b)，則≥，∴1≤b<2. 離心率e＝＝＝＝∈. [思想與方法] 1．橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關(guān)鍵，應(yīng)注意定義中的常數(shù)大于F1F2，避免了動點(diǎn)軌跡是線段或不存在的情況． 2．求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時，設(shè)方程為＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)可以避免討論和煩瑣的計(jì)算，也可以設(shè)為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)，這種形式在解題中更簡便． 3．討論橢圓的幾何性質(zhì)時，離心率問題是重點(diǎn)，常用方法： (1)

15、求得a，c的值，直接代入公式e＝求得； (2)列出關(guān)于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2＝a2－c2，消去b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解． [易錯與防范] 1．判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的分母大?。? 2．注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)時，則|x|≤a，這往往在求與點(diǎn)P有關(guān)的最值問題中用到，也是容易被忽視而導(dǎo)致求最值錯誤的原因． 3．橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的最大距離為a＋c，最小距離為a－c. 課時分層訓(xùn)練(四十七) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．(2017·徐州模擬)

16、若方程＋＝1表示一個橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______________． (2,4)∪(4,6)　[由題意可知解得2b>0)，由e＝，即＝，得a＝2c，則b2＝a2－c2＝3c2. 所以橢圓方程可化為＋＝1. 將A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.] 3．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個焦點(diǎn)在BC邊上，則△A

17、BC的周長是________. 【導(dǎo)學(xué)號：62172262】 4　[由橢圓的方程得a＝.設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為F，則由橢圓的定義得BA＋BF＝CA＋CF＝2a，所以△ABC的周長為BA＋BC＋CA＝BA＋BF＋CF＋CA＝(BA＋BF)＋(CF＋CA)＝2a＋2a＝4a＝4.] 4．(2017·泰州模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為________． 　[如圖，設(shè)AF＝x，則cos∠ABF＝＝. 解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由橢圓及直線關(guān)于原點(diǎn)對稱可知AF1

18、＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，∴F1F＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴＝.] 5．已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，且點(diǎn)N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動點(diǎn)P的軌跡是________． 橢圓　[點(diǎn)P在線段AN的垂直平分線上， 故PA＝PN，又AM是圓的半徑， 所以PM＋PN＝PM＋PA＝AM＝6>MN， 由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓．] 6．橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，則PF1＝________. 　[因線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，故可知P，即

19、P，所以PF1＝10－＝.] 7．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為________. 【導(dǎo)學(xué)號：62172263】 (－5,0)　[因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝1， 所以圓心坐標(biāo)為(3,0)，所以c＝3.又b＝4， 所以a＝＝5.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的左頂點(diǎn)為(－5,0)．] 8．已知圓M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半徑為2，橢圓C：＋＝1的左焦點(diǎn)為F(－c,0)，若垂直于x軸且經(jīng)過F點(diǎn)的直線l與圓M相切，則a的值為________． 2　[圓M的方程可化為(x＋m)2＋y2＝

20、3＋m2， 則由題意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，所以m＝－1，則圓心M的坐標(biāo)為(1,0)．由題意知直線l的方程為x＝－c，又因?yàn)橹本€l與圓M相切，所以c＝1，所以a2－3＝1，所以a＝2.] 9．若m≠0，則橢圓＋＝1的離心率的取值范圍是________． 　[因?yàn)闄E圓方程中m>0，m2＋1≥2m>m(m>0)，所以a2＝m2＋1，b2＝m，c2＝a2－b2＝m2－m＋1， e2＝＝＝1－＝1－≥1－＝，所以≤e<1.] 10．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，若P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為________． 6　[由題意知，O(0,0)，F(xiàn)(－1,0)

21、，設(shè)P(x，y)，則＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2， ∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2. ∵－2≤x≤2，∴當(dāng)x＝2時，·有最大值6.] 二、解答題 11．(2017·蘇州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C過點(diǎn)(0,2)，其焦點(diǎn)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)已知點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：62172264】 [解]　(1)由題意可知，c＝，b＝2，所以a2＝b2＋c2＝9， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)法一：由

22、(1)可知，F(xiàn)1F2＝2，PF1＋PF2＝6， 又PF1＝4，所以PF2＝2， 所以PF＋PF＝F1F，所以PF1⊥PF2， 所以△PF1F2的面積為×PF1·PF2＝4. 法二：由(1)可知e＝，設(shè)P(x0，y0)， 因?yàn)镻F1＝4，所以3＋x0＝4，解得x0＝， 代入方程得＋＝1，解得|y0|＝， 所以△PF1F2的面積為×2×＝4. 12．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為F(－2,0)，且長軸與短軸長的比是2∶. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)．當(dāng)PM最小時，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解

23、]　(1)由題意知解得 所以橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)P(x0，y0)，且＋＝1，所以PM2＝(x0－m)2＋y ＝x－2mx0＋m2＋12＝x－2mx0＋m2＋12 ＝(x0－4m)2－3m2＋12(－4≤x0≤4)． 所以PM2為關(guān)于x0的二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為x0＝4m. 由題意知，當(dāng)x0＝4時，PM2最小，所以4m≥4，所以m≥1. 又點(diǎn)M(m,0)在橢圓長軸上，所以1≤m≤4. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．已知橢圓＋＝1(a>b>0)與－＝1(m>0，n>0)有相同的焦點(diǎn)(－c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中項(xiàng)，n2是2m2與c2的

24、等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率為________． 　[因?yàn)闄E圓＋＝1(a>b>0)與－＝1(m>0，n>0)有相同的焦點(diǎn)(－c,0)和(c,0)，所以c2＝a2－b2＝m2＋n2，因?yàn)閏是a，m的等比中項(xiàng)，n2是2m2與c2的等差中項(xiàng)，所以c2＝am,2n2＝2m2＋c2， 所以m2＝，n2＝＋，所以＋＝c2，化為＝，所以e＝＝.] 2．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則PM＋PF1的最大值為________． 15　[PF1＋PF2＝10，PF1＝10－PF2，PM＋PF1＝10＋PM－PF2，易知M點(diǎn)在橢圓外，連結(jié)MF2并延長交橢圓于

25、P點(diǎn)(圖略)，此時PM－PF2取最大值MF2，故PM＋PF1的最大值為10＋MF2＝10＋＝15.] 3．已知點(diǎn)M(，)在橢圓C：＋＝1(a>b>0)上，且橢圓的離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)若斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(－3,2)，求△PAB的面積． [解]　(1)由已知得 解得 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為D(x0，y0)． 由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0， 則x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m， 即D. 因?yàn)锳B

26、是等腰三角形PAB的底邊， 所以PD⊥AB，即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2. 此時x1＋x2＝－3，x1x2＝0， 則|AB|＝|x1－x2|＝·＝3. 又點(diǎn)P到直線l：x－y＋2＝0的距離為d＝， 所以△PAB的面積為S＝|AB|·d＝. 4．(2017·蘇州模擬)已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，P為C1上任一點(diǎn)，MN是圓C2：x2＋(y－3)2＝1的一條直徑，在y軸上截距為3－的直線l與AF平行且與圓C2相切． (1)求橢圓C1的離心率； (2)若橢圓C1的短軸長為8，求·的最大值． [解]　(1)由題意，得F(c,0)，A(0，b)，kAF＝－， ∵在y軸上截距為3－的直線l與AF平行， ∴直線l：y＝－x＋3－，即bx＋cy＋(－3)c＝0. ∵直線l與圓C2相切，∴＝1，＝1，e＝， (2)∵橢圓C1的短軸長為8， ∴2b＝8，b＝4. ∵a2＝b2＋c2，＝1，∴a＝c,2c2＝b2＋c2， ∴c＝b＝4，a＝4，∴橢圓方程是＋＝1，設(shè)P(x，y)， ∴·＝(2＋)·(＋) ＝()2＋·(＋)＋· ＝()2＋·＝x2＋(y－3)2－1＝32＋(y－3)2－1＝－y2－6y＋40＝－(y＋3)2＋49，又y∈[－4,4]，∴·的最大值是49.