(統(tǒng)考版)高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓6 直線與圓、拋物線 橢圓、雙曲線(含解析)(文)-人教版高三數(shù)學試題
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1、專題限時集訓(六) 直線與圓、拋物線 橢圓、雙曲線 1.(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為,則其漸近線方程為( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x A [因為雙曲線的離心率為,所以=,即c=a.又c2=a2+b2,所以(a)2=a2+b2,化簡得2a2=b2,所以=.因為雙曲線的漸近線方程為y=±x,所以y=±x.故選A.] 2.(2018·全國卷Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為( ) A.1- B.2- C. D.-1 D [在
2、△F1PF2中,∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60°, 設|PF2|=m,則2c=|F1F2|=2m,|PF1|=m, 又由橢圓定義可知2a=|PF1|+|PF2|=(+1)m, 則e====-1,故選D.] 3.(2020·全國卷Ⅲ)在平面內(nèi),A,B是兩個定點,C是動點,若·=1,則點C的軌跡為( ) A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線 A [以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(圖略),設A(-a,0),B(a,0),C(x,y),則=(x+a,y),=(x-a,y),∵·=1,∴(x+a)(x-a)+y·y=1,∴x2+y2=a
3、2+1,∴點C的軌跡為圓,故選A.] 4.(2020·全國卷Ⅱ)若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為( ) A. B. C. D. B [因為圓與兩坐標軸都相切,點(2,1)在該圓上,所以可設該圓的方程為(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圓心的坐標為(1,1)或(5,5),所以圓心到直線2x-y-3=0的距離為=或=,故選B.] 5.(2018·全國卷Ⅲ)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP
4、面積的取值范圍是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3] A [由題意知圓心的坐標為(2,0),半徑r=,圓心到直線x+y+2=0的距離d==2,所以圓上的點到直線的最大距離是d+r=3,最小距離是d-r=.易知A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以2≤S△ABP≤6.故選A.] 6.(2019·全國卷Ⅰ)雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°,則C的離心率為( ) A.2sin 40° B.2cos 40° C. D. D [由已知可得-=tan 130°,∴=tan 50°, ∴e==
5、= ===,故選D.] 7.(2020·全國卷Ⅰ)設F1,F(xiàn)2是雙曲線C:x2-=1的兩個焦點,O為坐標原點,點P在C上且|OP|=2,則△PF1F2的面積為( ) A. B.3 C. D.2 B [法一:設F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點,則由題意可知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),又|OP|=2,所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以△PF1F2是直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16.不妨令點P在雙曲線C的右支上,則有|PF1|-|PF2|=2,兩邊平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF
6、2|2=16,所以|PF1|·|PF2|=6,則S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=×6=3,故選B. 法二:設F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點,則由題意可知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),又|OP|=2,所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以△PF1F2是直角三角形,所以S△PF1F2===3(其中θ=∠F1PF2),故選B.] 8.(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為( ) A. B. C. D. A [由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心坐
7、標為(0,0),半徑為a. 又直線bx-ay+2ab=0與圓相切, ∴圓心到直線的距離d==a, 解得a=b,∴=, ∴e=====. 故選A.] 9.(2017·全國卷Ⅱ)過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準線,點N在l上,且MN⊥l,則M到直線NF的距離為( ) A. B.2 C.2 D.3 C [由題知直線MF的方程為y=(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3,因為點M在x軸上方,所以M(3,2),因為MN⊥l,所以N(-1,2),因為F(1,0),所以直線NF的方程為y=
8、-(x-1). 所以M到直線NF的距離為 =2.故選C.] 10.(2019·全國卷Ⅱ)設F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為( ) A. B. C.2 D. A [令雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點F的坐標為(c,0),則c=. 如圖所示,由圓的對稱性及條件|PQ|=|OF|可知,PQ是以OF為直徑的圓的直徑,且PQ⊥OF.設垂足為M,連接OP,則|OP|=a,|OM|=|MP|=,由|OM|2+|MP|2=|OP|2, 得+=a2,∴=,即離
9、心率e=.故選A.] 11.(2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為( ) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 B [由題意設橢圓的方程為+=1(a>b>0),連接F1A(圖略),令|F2B|=m,則|AF2|=2m,|BF1|=3m.由橢圓的定義知,4m=2a,得m=,故|F2A|=a=|F1A|,則點A為橢圓C的上頂點或下頂點.令∠OAF2=θ(O為坐標原點),則sin θ=.在等腰三角形ABF1中,cos 2θ==,所以=1-2
10、,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,橢圓C的方程為+=1.故選B.] 12.(2017·全國卷Ⅰ)設A,B是橢圓C:+=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是( ) A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞) A [法一:設焦點在x軸上,點M(x,y). 過點M作x軸的垂線,交x軸于點N, 則N(x,0). 故tan∠AMB=tan(∠AMN+∠BMN) ==. 又tan∠AMB=tan 120°=-, 且由+=1可得x2=3-, 則==-.
11、
解得|y|=.
又0<|y|≤,即0<≤,結(jié)合0<m<3解得0<m≤1.
對于焦點在y軸上的情況,同理亦可得m≥9.
則m的取值范圍是(0,1]∪[9,+∞).
故選A.
法二:當0
12、 5 [由雙曲線的標準方程可得漸近線方程為y=±x,結(jié)合題意可得a=5.] 14.(2018·全國卷Ⅰ)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點,則=________. 2 [根據(jù)題意,圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,所以圓的圓心為(0,-1),且半徑是2,根據(jù)點到直線的距離公式可以求得d==,結(jié)合圓中的特殊三角形,可知|AB|=2=2.] 15.(2019·全國卷Ⅲ)設F1,F(xiàn)2為橢圓C:+=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,則M的坐標為________. (3,) [設F1為橢圓的左焦點,分析可知M在以F1為圓心、焦距為半徑
13、長的圓上,即在圓(x+4)2+y2=64上. 因為點M在橢圓+=1上, 所以聯(lián)立方程可得解得 又因為點M在第一象限,所以點M的坐標為(3,).] 16.(2015·全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點,P是C的左支上一點,A(0,6).當△APF周長最小時,該三角形的面積為________. 12 [由雙曲線方程x2-=1可知,a=1,c=3,故F(3,0),F(xiàn)1(-3,0).當點P在雙曲線左支上運動時,由雙曲線定義知|PF|-|PF1|=2,所以|PF|=|PF1|+2,從而△APF的周長=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|. 因為|A
14、F|==15為定值, 所以當(|AP|+|PF1|)最小時,△APF的周長最小,由圖象可知,此時點P在線段AF1與雙曲線的交點處(如圖所示). 由題意可知直線AF1的方程為y=2x+6, 由得y2+6y-96=0, 解得y=2或y=-8(舍去), 所以S△APF=S△AF1F-S△PF1F =×6×6-×6×2=12.] 1.(2020·西城區(qū)一模)設A(2,-1),B(4,1),則以線段AB為直徑的圓的方程是( ) A.(x-3)2+y2=2 B.(x-3)2+y2=8 C.(x+3)2+y2=2 D.(x+3)2+y2=8 A [弦長AB==2, 所以半
15、徑為,中點坐標(3,0), 所以圓的方程(x-3)2+y2=2,故選A.] 2.(2020·松江區(qū)模擬)已知橢圓+=1(a>b>0)分別過點A(2,0)和點B,則該橢圓的焦距為( ) A. B.2 C.2 D.2 C [由題意可得a=2,且+=1,解得a2=4,b2=1,c2=a2-b2=4-1=3,所以c=,所以焦距2c=2,故選C.] 3.(2020·江岸區(qū)模擬)已知圓心為(1,0),半徑為2的圓經(jīng)過橢圓C:+=1(a>b>0)的三個頂點,則C的標準方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 B [由題意得,圓的方程為(x-1)2+y2=
16、4,令x=0,可得y=±;令y=0,可得x=-1或3. 由橢圓的焦點在x軸上及橢圓的對稱性可得a=3,b=, 所以橢圓的標準方程為+=1,故選B.] 4.(2020·寶雞二模)已知圓C:x2+y2-4x=0與直線l切于點P(3,),則直線l的方程為( ) A.3x-y-6=0 B.x-y-6=0 C.x+y-4=0 D.x+y-6=0 D [圓C:x2+y2-4x=0的圓心坐標為(2,0), 所以直線PC的斜率為kPC==, 所以直線l的斜率k=-=-, 所以直線l的方程為y-=-(x-3), 即x+y-6=0,故選D.] 5.(2020·會寧縣模擬)若雙曲線-
17、=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線6x-3y+1=0垂直,則該雙曲線的離心率為( ) A.2 B. C. D.2 B [∵雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線6x-3y+1=0垂直. ∴雙曲線的漸近線方程為y=±x. ∴=,得4b2=a2,c2-a2=a2. 則離心率e==.故選B.] 6.(2020·寶安區(qū)校級模擬)設F1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1的左、右焦點,P為橢圓上一點,M是F1P的中點,|OM|=2,則P點到橢圓左焦點的距離為( ) A.3 B.4 C.5 D.6 D [橢圓+=1中a=5.如圖,可得OM是三角形PF1F2的中位線,
18、∵|OM|=2,∴|PF2|=4,又|PF1|+|PF2|=2a=10,∴|PF1|=6,故選D.] 7.(2020·吉林月考)阿基米德(公元前287年-公元前212年)不僅是著名的物理學家,也是著名的數(shù)學家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的焦點在x軸上,且橢圓C的離心率為,面積為12π,則橢圓C的方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 D [由題意可得=,=ab, 因為a2=b2+c2,解得a2=16,b2=9,又因為橢圓焦點在x軸上, 所以橢圓的方程為+=1,故選D.] 8.(2020·
19、煙臺期末)已知橢圓M:+=1(a>b>0),過M的右焦點F(3,0)作直線交橢圓于A,B兩點,若AB中點坐標為(2,1),則橢圓M的方程為( ) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 D [直線AB的斜率k==-1, 設A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓方程可得: +=1,+=1,相減得+=0, 由=-1, =2,=1, 代入化簡得-=0. 又c=3,a2=b2+c2,聯(lián)立解得a2=18,b2=9. ∴橢圓M的方程為+=1.故選D.] 9.(2020·呂梁一模)直線l:mx-y+1-4m=0(m∈R)與圓C:x2+(y-1)2=25交于P
20、,Q兩點,則弦長|PQ|的取值范圍是( ) A.[6,10] B.[6,10) C.(6,10] D.(6,10) C [圓C:x2+(y-1)2=25的圓心C(0,1),半徑r=5,直線l:mx-y+1-4m=0?m(x-4)-y+1=0過定點M(4,1),并在圓C內(nèi),∴|PQ|最長為直徑,PQ最短時,點M(4,1)為弦PQ的中點,即CM⊥PQ時,算得|PQ|=2=6,但此時直線斜率不存在,∴取不到6,即|PQ|的范圍是(6,10].故選C.] 10.(2020·青島模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,P是準線l上的一點,Q是直線PF與C的一個交點,若=3,|
21、QF|=,則p的取值為( ) A. B. C.3 D.2 D [由已知得焦點F,準線l:x=-, 設P,Q(x1,y1), ∵=3,∴=3,即x1=,∴|QF|=x1+=p=,即p=2,故選D.] 11.(2020·梅河口模擬)如圖,已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F2的直線l與雙曲線C左,右兩支分別交于點B,A,若△ABF1為正三角形,則雙曲線C的漸近線方程為( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x D [設AB=BF1=AF1=m,根據(jù)雙曲線的定義可知:BF2-BF1=2a,即m+AF2-m
22、=AF2=2a, 且AF1-AF2=2a,即m-2a=2a,所以m=4a,則BF2=6a,在△BF1F2中,cos∠F1BF2===, 整理得c2=7a2,所以b2=c2-a2=6a2, 則b=a,所以漸近線方程為y=±x,故選D.] 12.(2020·濰坊模擬)已知拋物線y2=4x的焦點為F,過點F和拋物線上一點M(3,2)的直線l交拋物線于另一點N,則|NF|∶|NM|等于( ) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶ C [拋物線y2=4x的焦點為F(1,0), 所以kFM==, 由可得3x2-10x+3=0, 所以x1=3,x2=, 所以===.故選
23、C. ] 13. (2020·長沙模擬)已知F1,F(xiàn)2是橢圓與雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且>,橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,若=,則+的最小值為( ) A.6+2 B.6+2 C.8 D.6 C [設橢圓的長半軸長為a,雙曲線的半實軸長為a′,半焦距為c,則e1=,e2=, 設|PF2|=m,由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:|PF1|+|PF2|=2a?a=+c, |PF2|-|PF1|=2a′?a′=-c, 則+=+=+ =6++ ≥6+2=8, 當且僅當a=c時,取等號,故選C.] 14.(2020·湛江模擬)過拋物線y2=2px(
24、p>0)的焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,且=2,拋物線的準線l與x軸交于C,△ACF的面積為8,則|AB|=( ) A.6 B.9 C.9 D.6 B [由拋物線的方程可得焦點F,由題意可得,直線AB的斜率存在且不為0,設直線AB的方程為x=my+. 設A(x1,y1),B(x2,y2), 直線與拋物線聯(lián)立可得: 整理可得y2-2mpy-p2=0, ∴y1+y2=2mp,y1y2=-p2, 因為=2, 即=2, 所以y1=-2y2, 所以可得=, 所以|m|=,所以|y2|==, |y1|=2|y2|=p, 所以S△CFA=|CF|·|y1|=p·p
25、=8, 解得p=4, 所以拋物線的方程為y2=8x, 所以|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2m2p+2p=2××4+8=9,故選B. ] 15.(2020·贛州模擬)已知M是拋物線x2=4y上一點,F(xiàn)為其焦點,C為圓(x+1)2+(y-2)2=1的圓心,則|MF|+|MC|的最小值為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 B [設拋物線x2=4y的準線方程為l:y=-1,C為圓(x+1)2+(y-2)2=1的圓心,所以C的坐標為(-1,2),過M作l的垂線,垂足為E,根據(jù)拋物線的定義可知|MF|=|ME|,所以問題求|MF|+|MC|的最小值,就轉(zhuǎn)化為求
26、|ME|+|MC|的最小值,由平面幾何的知識可知,當C,M,E在一條直線上時,此時CE⊥l,|ME|+|MC|有最小值,最小值為CE=2-(-1)=3,故選B.] 16.(2020·赤峰模擬)已知橢圓C:+=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2是其左右焦點,若對橢圓C上的任意一點P,都有·>0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為( ) A.(-3,0)∪(0,3) B.[-3,0)∪(0,3] C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3]∪ [3,+∞) C [橢圓上的點與橢圓的焦點構(gòu)成的三角形中,∠F1PF2最大時點P為短軸上的頂點, 要使·>0恒成立,則∠F1PF2為銳角,即∠F1PO
27、<45°,即tan∠F1PO=<1,所以c2<b2,而c2=a2-b2=a2+9-a2=9,所以9<a2,解得a>3或a<-3,故選C.] 17.(2020·洛陽模擬)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P(2,)在雙曲線上,且,,成等差數(shù)列,則該雙曲線的方程為( ) A.x2-y2=1 B.-=1 C.x2-=1 D.-=1 A [設雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點坐標分別為(-c,0),(c,0), 因為|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,所以2|F1F2|=|PF1|+|PF2|=4c,又點P(2,)在雙曲線的右支
28、上,所以|PF1|-|PF2|=2a, 解得|PF1|=2c+a,|PF2|=2c-a, 即 整理得, ①-②得:8c=8ac,所以a=1, 又點P(2,)在雙曲線上,所以-=1, 將a=1代入,解得b2=1, 所以所求雙曲線的方程為x2-y2=1,故選A.] 18.(2020·衡水模擬)設F為拋物線y2=4x的焦點,A,B,C為拋物線上三點,若++=0,則||+||+||=( ) A.9 B.6 C.4 D.3 B [拋物線y2=4x焦點坐標F(1,0),準線方程:x=-1, 設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), ∵++=0, 點F是△A
29、BC重心,則=1, ∴x1+x2+x3=3. 由拋物線的定義可知: |FA|+|FB|+|FC|=(x1+1)+(x2+1)+(x3+1)=6, ∴|FA|+|FB|+|FC|=6,故選B.] 19.(2020·安慶二模)直線l是拋物線x2=2y在點(-2,2)處的切線,點P是圓x2-4x+y2=0上的動點,則點P到直線l的距離的最小值等于( ) A.0 B. C.-2 D. C [拋物線x2=2y,即y=,y′=x,在點(-2,2)處的切線斜率為-2,則切線l的方程為y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0,所以圓心(2,0)到l的距離是=,圓的半徑為2,則點P到直線
30、的距離的最小值是-2,故選C.] 20.(2020·深圳二模)已知拋物線y2=8x,過點A(2,0)作傾斜角為的直線l,若l與拋物線交于B、C兩點,弦BC的中垂線交x軸于點P,則線段AP的長為( ) A. B. C. D.8 A [由題意,直線l方程為y=(x-2), 代入拋物線y2=8x整理得3x2-12x+12=8x, ∴3x2-20x+12=0,設B(x1,y1),C(x2,y2),∴x1+x2=,∴弦BC的中點坐標為, ∴弦BC的中垂線的方程為y-=-, 令y=0,可得x=,∴P,∵A(2,0),∴|AP|=.故選A.] 21.(2020·濟寧模擬)已知ln
31、x1-x1-y1+2=0,x2+2y2-4-2ln 2=0,記M=2+2,則( ) A.M的最小值為 B.M的最小值為 C.M的最小值為 D.M的最小值為 B [由題意,M=(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ln x-x+2圖象上的點與直線x+2y-4-2ln 2=0上的點的距離的最小值的平方,由y=ln x-x+2,得y′=-1,與直線x+2y-4-2ln 2=0平行的直線斜率為-,令-1=-,解得x=2,所以切點的坐標為(2,ln 2),切點到直線x+2y-4-2ln 2=0的距離d==,即M=(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為,故選B.
32、] 22.(2020·泉州模擬)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的焦距為2c,F(xiàn)1,F(xiàn)2是E的左、右焦點,點P是圓(x-c)2+y2=4c2與E的一個公共點.若△PF1F2為直角三角形,則E的離心率為________. -1 [依題意可得|F1F2|=|PF2|=2c,又因為△PF1F2為直角三角形,所以∠PF2F1=90°,故|PF1|=·|F1F2|,·2c+2c=2a,解得==-1, 所以e=-1.] 23.(2020·淮安模擬)設F1,F(xiàn)2為橢圓C:+=1的左、右焦點,經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A,B兩點,若△F2AB是面積為4的等邊三角形,則橢圓C的方程為________.
33、+=1 [設橢圓C的焦距為2c(c>0),如圖所示,由于△F2AB是面積為4的等邊三角形,則|AB|2×sin =|AB|2=4,得|AB|=4,即△F2AB是邊長為4的等邊三角形,該三角形的周長為12=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a,解得a=3,由橢圓的對稱性可知,點A、B關(guān)于x軸對稱,則∠AF2F1=且AB⊥x軸,所以|AF2|=2|AF1|=4,∴|AF1|=2, ∴2c=|F1F2|==2,∴c=, 則b==,因此,橢圓C的標準方程為+=1.] 24.[一題兩空](2020·臨沂模擬)已知圓心在直線x-3y=0上的圓C與y軸的正半軸相切,且截x軸所得的弦
34、長為4,則圓C的方程為________,則點P到圓C上動點Q的距離最大值為________. (x-3)2+(y-1)2=9 8 [設圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(a>0,b>0),由題意可得解得所以圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=9, 設點P(6,5)到圓心C(3,1)的距離為d==5,則點P(6,5)到圓C上動點Q的距離最大值為d+r=5+3=8.] 25.(2020·洛陽模擬)已知雙曲線C:x2-4y2=1的左焦點恰好在拋物線D:y2=2px(p≠0)的準線上,過點P(1,2)作兩直線PA,PB分別與拋物線D交于A,B兩點,若直線PA,PB的傾斜角互補,則點A,
35、B的縱坐標之和為________. -4 [由題意知,雙曲線C的左焦點F(-1,0),拋物線D的準線x=-,由左焦點F(-1,0)在準線x=-上,故p=2,則拋物線方程為y2=4x.設A,B,則kPA+kPB=0?+=0?+=0?y1+y2=-4.] 26. (2020·平谷區(qū)一模)設直線l過點A,且與圓C:x2+y2-2y=0相切于點B,那么·=________. 3 [由圓C:x2+y2-2y=0配方為x2+(y-1)2=1,C(0,1),半徑r=1. ∵過點A(0,-1)的直線l與圓C:x2+y2-2y=0 相切于點B,∴·=0, ∴·=·(+)=2+·=2=2-r2=3.]
36、 27.(2020·衡水模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(1,-2),經(jīng)過焦點F的直線l與拋物線C交于A,B兩點,A在x軸的上方,Q(-1,0).若以QF為直徑的圓經(jīng)過點 B,則|AF|-|BF|=________. 4 [依題意,將(1,-2)代入拋物線的方程中,可得y2=4x,則F(1,0),如圖,設直線l的傾斜角為α,則|AF|=|AF|cos α+|QF|=|AF|cos α+2, ∴|AF|=,同理|BF|=, ∴|AF|-|BF|=-=, ∵以QF為直徑的圓經(jīng)過點B,∴BQ⊥BF, ∴|BF|==2cos α,即cos α=1-cos2α,∴|AF|-|
37、BF|==4. ] 1.拋物線y2=4x的焦點到雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線的距離是,則該雙曲線的離心率為( ) A. B. C.2 D.3 C [拋物線y2=4x的焦點(1,0)到雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線bx-ay=0的距離是,可得=,可得b2=3a2,所以c2=4a2,因為e>1, 所以雙曲線的離心率為e==2,故選C.] 2.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程不可能為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 C [依題意,雙曲線C的漸近線方程為y=±x或y=±x,觀察選項可知,雙曲線的方程
38、不可能為-=1.故選C.] 3.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為θ,且cos θ=,則該雙曲線的離心率為( ) A. B. C.2 D.4 A [設雙曲線的半個焦距為c,由題意θ∈[0,π),又cos θ=,則sin θ=,tan θ=2,=2,所以離心率e===,故選A.] 4.已知拋物線C:y2=2px(p>0),傾斜角為的直線交C于A,B兩點,若線段AB中點的縱坐標為2,則p的值為( ) A. B.1 C.2 D.4 C [由題意設直線方程為y=x+t, 聯(lián)立得y2-6py+6pt=0, 設A(x1,y1),B(x2,y2)
39、,線段AB中點的縱坐標為2,則y1+y2=,∴=4,∴p=2.故選C.] 5.已知P為圓2+y2=1上任意一點,A,B為直線l:3x+4y-7=0上的兩個動點,且=3,則△PAB面積的最大值為( ) A.9 B. C.3 D. B [由題意知圓(x+1)2+y2=1的圓心為(-1,0),半徑為1,則圓心到直線的距離為==2,所以圓上的點到直線的最大距離為2+1=3,所以S△PAB的最大值為×3×3=,故選B.] 6.圓x2+y2=4被直線y=x+2截得的劣弧所對的圓心角的大小為( ) A.30° B.60° C.90° D.120° D [由題意,設直線y
40、=x+2與圓x2+y2=4交于A,B兩點,弦AB的中點為M, 則OM⊥AB,如圖所示,由圓x2+y2=4的圓心坐標為O(0,0),半徑為r=2,得圓心O到直線y=x+2的距離為d==1,在直角△AOM中,cos∠AOM==,所以∠AOM=60°,所以∠AOB=120°,即截得的劣弧所對的圓心角的大小為120°,故選D.] 7.圓x2+y2+4x-12y+1=0關(guān)于直線ax-by+6=0(a>0,b>0)對稱,則+的最小值是( ) A.2 B. C. D. B [由圓x2+y2+4x-12y+1=0,得圓心坐標為(-2,6), 又圓x2+y2+4x-12y+1=0關(guān)于直線
41、ax-by+6=0對稱, ∴-2a-6b=-6,即a+3b=3,得+b=1, 又a>0,b>0, ∴+==++ ≥+2=. 當且僅當a=b時上式等號成立. ∴+的最小值是.故選B.] 8.如圖所示,已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,雙曲線C的右支上一點A,它關(guān)于原點O的對稱點為B,滿足∠AFB=120°,且|BF|=2|AF|,則雙曲線C的離心率是( ) A. B. C. D. C [連接AF′,BF′,由條件可得|BF|-|AF|=|AF′|-|AF|=|AF|=2a,則|AF|=2a,|BF|=4a,∠F′BF=60°, 所以F′F2=
42、AF2+BF2-2AF·BFcos 60°,可得4c2=4a2+16a2-16a2×, 即4c2=12a2,所以雙曲線的離心率為e==.故選C.] 9.已知雙曲線C:-=1(b>a>0)的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,斜率為的直線過點F2且交C于A,B兩點.若|BF2|=2|F1F2|,則C的離心率為( ) A. B. C.2+ D.2+ D [∵b>a>0,∴>. 可得過點F2斜率為的直線C交于A,B兩點,A,B在異支, ∵|BF2|=2|F1F2|,∴|BF1|=4c-2a, 在△BF1F2中,由余弦定理可得:(4c-2a)2=4c2+16c2-2×2c×4c×.
43、 ?c2-4ac+a2=0. ?e2-4e+1=0,∵e>1,∴e=2+,故選D.] 10.過拋物線x2=12y的焦點F的直線交拋物線于點A,B,交拋物線的準線于點C,若=3,則|BC|=( ) A.4 B.4 C.6 D.8 D [作BM⊥CP,AN⊥CP,BH⊥AN,如圖, 因為=3,不妨設BF=x,所以AF=3BF=3x,AB=4x, 根據(jù)拋物線的定義可得,BM=BF=HN=x, AN=AF=3x,F(xiàn)P=p=6,則AH=AN-HN=3x-x=2x, 所以sin∠ABH=sin∠ACN==,則CF=12,CB=2x, 則CF=CB+BF=3x=12,所以x
44、=4, 則BC=2x=8,故選D.] 11.在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,位于第一象限上的點P(x0,y0)是雙曲線C上的一點,滿足·=0,若點P的縱坐標的取值范圍是y0∈,則雙曲線C的離心率的取值范圍為( ) A.(,2) B.(2,4) C.(3,5) D.(,) D [由·=0,可得x-c2+y=0, 又-=1,解得y=, 由于y0∈,所以<<, <1-<,<<, 因為e>1,所以<e<.故選D.] 12.已知圓C:(x-2)2+y2=1與直線l:y=x,P為直線l上一動點,若圓上存在點A,使得∠C
45、PA=,則|PC|的最大值為( ) A.2 B.4 C.2 D.4 C [圓C:(x-2)2+y2=1的圓心坐標為C(2,0),半徑為1, 圓心到直線l的距離d==>1,可知直線與圓相離, 由正弦定理可得三角形PAC的外接圓的直徑2R==2, P為直線l上一動點,當直線PA與圓相切時,此時|PC|為外接圓的直徑,取得最大值為2. 故選C.] 13.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點D(3,0)的直線交拋物線C于點A,B,若||-||=,則·=( ) A.-9 B.-11 C.-12 D.2 A [設直線AB方程為x=my+3,A(x1,y1),B(
46、x2,y2), ∵||-||=, ∴x1-x2=?(x1+x2)2-4x1x2=13 聯(lián)立可得y2-4my-12=0. ∴y1+y2=4m,y1y2=-12. ∵(y1y2)2=16x1x2,∴x1x2=9, ∴x1+x2=7. 則·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=-9.故選A.] 14.設橢圓E:+=1(a>b>0)的右頂點為A,右焦點為F,B、C為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點,直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點,則橢圓E的離心率是( ) A. B. C. D. C [由題意可得右頂點A(a,0),F(xiàn)(c,0),設
47、B(-x1,-y1),C(x1,y1), 因為直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點,所以M, 所以B,F(xiàn),M三點共線,即=, 可得c+x1=x1+a-2c,可得a=3c, 所以離心率為e==,故選C.] 15.設橢圓+=1(a>b>0)的一個焦點為F1(0,1),M(3,3)在橢圓外,點P為橢圓上的動點,若|PM|-|PF1|的最小值為2,則橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. A [由通用的定義可得|PF1|=2a-|PF2|, 所以|PM|-|PF1|=|PM|+|PF2|-2a,當且僅當P,M,F(xiàn)2三點共線時,|PM|+|PF2|-2a最小, 所以
48、|PM|-|PF1|的最小值為|MF2|-2a=2, 再由題意c=1,F(xiàn)2(0,-1),|MF2|==5, 所以2a=5-2=3,即a=, 所以離心率e===,故選A.] 16.已知點B(4,0),點P在曲線y2=8x上運動,點Q在曲線(x-2)2+y2=1上運動,則的最小值為( ) A. B.4 C. D.6 B [如圖,設圓心為F,則F為拋物線y2=8x的焦點,該拋物線的準線方程為x=-2,設P(x,y), 由拋物線的定義得|PF|=x+2,要使最小,則|PQ|需最大, 如圖,|PQ|最大時,經(jīng)過圓心F,且圓F的半徑為1,∴|PQ|=|PF|+1=x+3, 且
49、|PB|==. ∴=, 令x+3=t(t≥3),則x=t-3, ∴=t+-6≥4,當t=5時取“=“,此時x=2.∴的最小值為4.故選B.] 17.P是雙曲線-=1的右支上一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點,則△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標為( ) A. B.2 C. D.3 A [如圖所示F1(-,0),F(xiàn)2(,0), 設內(nèi)切圓與x軸的切點是點H,與PF1,PF2的切點分別為M,N, 由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a=2, 由圓的切線長定理知,|PM|=|PN|,|F1M|=|F1H|,|F2N|=|F2H|, 故|MF1|-|NF2|=
50、2, 即|HF1|-|HF2|=2, 設內(nèi)切圓的圓心橫坐標為x,即點H的橫坐標為x, 故(x+)-(-x)=2, 所以x=.] 18.已知雙曲線C過點且漸近線為y=±x,則下列結(jié)論正確的是( ) ①C的方程為-y2=1; ②C的離心率為; ③曲線y=ex-2-1經(jīng)過C的一個焦點; ④直線x-y-1=0與C有兩個公共點. A.①② B. ①③ C.①②③ D.①③④ B [對于①:由已知y=±x,可得y2=x2,從而設所求雙曲線方程為x2-y2=λ,又由雙曲線C過點(3,),從而×32-()2=λ,即λ=1,從而①正確; 對于②:由雙曲線方程可知a=,b=1,c=
51、2,從而離心率為e===,所以②錯誤; 對于③:雙曲線的右焦點坐標為(2,0),滿足y=ex-2-1,從而③正確; 對于④:聯(lián)立整理,得y2-2y+2=0,由Δ=(2)2-4×2=0,知直線與雙曲線C只有一個交點,④錯誤.故選B.] 19.已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1的直線交橢圓于A,B兩點,交y軸于點M,若F1,M是線段AB的三等分點,則橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. D [由已知可知,若F1,M是線段AB的三等分點,則M為AF1的中點,所以AF2∥OM, 所以AF2⊥x軸,A點的坐標為,M, M,B關(guān)于F1對稱,易知
52、B點坐標,將其代入橢圓方程得a2=5c2,所以離心率為,故選D.] 20.已知雙曲線-=1(a>1)上存在一點M,過點M向圓x2+y2=1作兩條切線MA,MB,若·=0,則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.(1,) B.(1,] C.[,+∞) D.(,+∞) B [雙曲線-=1(a>1)上存在一點M,過點M向圓x2+y2=1作兩條切線MA,MB,若·=0,可知MAOB是正方形,MO=,所以雙曲線的實半軸長的最大值為, 所以a∈(1,].故選B.] 21.點F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2-=1的左、右焦點,直線4x-y-12=0與該雙曲線交于兩點P,Q,則|F1P|+|F1Q|-
53、|PQ|=( ) A.4 B.4 C.2 D.2 B [雙曲線x2-=1的右焦點是F2(3,0),直線4x-y-12=0經(jīng)過點F2(3,0), P,Q兩點在右支上,于是|F1P|+|F1Q|-|PQ|=|F1P|-|F2P|+|F1Q|-|F2Q|=2a+2a=4.故選B.] 22.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的虛軸的一個頂點為N(0,1),左頂點為M,雙曲線C的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P為線段MN上的動點,當·取得最小值和最大值時,△PF1F2的面積分別為S1,S2,若S2=2S1,則雙曲線C的離心率為( ) A. B.2 C.2 D.2 A [根
54、據(jù)條件,M(-a,0),b=1,則直線MN方程為y=x+1,因為點P在線段MN上, 可設P,其中m∈(-a,0],設雙曲線焦距為2c,則c2=a2+1,F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0), 則·==m2-c2+=, 因為m∈(-a,0],所以當m=-時,·取最小值,此時S1=×2c=, 當->-時,即a>1時,無最大值, 故0<a≤1,此時在m=0處取得最大值,此時S2=c, 因為S2=2S1,所以c=2×,解得a=1, 故a=1,b=1,c=, 則離心率e==,故選A.] 23.如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點P(x0,2)是拋物線C上一點.以P為圓心
55、的圓與線段PF相交于點Q,與過焦點F且垂直于對稱軸的直線交于點A,B,|AB|=|PQ|,直線PF與拋物線C的另一交點為M,若|PF|=|PQ|,則=( ) A.1 B. C.2 D. B [設圓的半徑為r,則|AB|=|PQ|=|PB|=|PA|=r,∴△PAB為正三角形,∴x0=, 由拋物線的定義可知,|PF|=x0+=, 又|PF|=|PQ|,∴=r,化簡得=, ∵P,F(xiàn), ∴直線PF的方程為y=, 聯(lián)立消去y可得 x2-x+=0, 由根與系數(shù)關(guān)系可知,x0xM=, ∴xM====, 由拋物線的定義可知,|FM|=xM+=, ∴==·=·=,故選B.]
56、 24.已知點A(a,0),B(0,b),橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過點D(-2,-),點F為橢圓的右焦點,若△FAB的一個內(nèi)角為120°,則橢圓C的方程是________. +=1 [如圖, 由題意得,+=1,① AB2=FA2+FB2-2FA·FB·cos 120°, 即a2+b2=(a-c)2+a2+a(a-c),② 又a2=b2+c2,③ 聯(lián)立①②③,解得a2=8,b2=6. ∴橢圓C的方程是+=1.] 25.已知定點A(0,-2),點B在圓C:x2+y2-4y-32=0上運動,C為圓心,線段AB的垂直平分線交BC于點P,則動點P的軌跡E的方程為________. +=1 [如圖,連接PA,由題意,得|PA|=|PB|, ∴|PA|+|PC|=|PB|+|PC|=r=6>|AC|=4, ∴點P的軌跡E是以A,C為焦點的橢圓,其中c=2,a=3,∴b=, ∴橢圓方程為+=1.]
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