《（課標專用 5年高考3年模擬A版）高考數學 第八章 立體幾何 1 空間幾何體的三視圖、表面積和體積試題 文-人教版高三數學試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（課標專用 5年高考3年模擬A版）高考數學 第八章 立體幾何 1 空間幾何體的三視圖、表面積和體積試題 文-人教版高三數學試題（33頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第八章　立體幾何 【真題典例】 §8.1　空間幾何體的三視圖、表面積和體積 挖命題 【考情探究】 考點 內容解讀 5年考情 預測熱度 考題示例 考向 關聯考點 空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖 ①認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征,并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構;②能畫出簡單空間圖形的三視圖,能識別三視圖所表示的立體模型;會用斜二測畫法畫出簡單幾何體的直觀圖;③會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖和直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式 2018課標全國Ⅰ,9,5分 空間幾何體的三視圖 空間幾何體的結構特征及

2、空間幾何體表面最短路徑問題 ★★★ 2018課標全國Ⅲ,3,5分 空間幾何體的三視圖 數學文化及空間幾何體的俯視圖 空間幾何體的表面積 通過對柱、錐、臺、球的研究,掌握柱、錐、臺、球的表面積的求法 2018課標全國Ⅰ,5,5分 圓柱的表面積 圓柱的軸截面 ★★★ 2017課標全國Ⅰ,16,5分 三棱錐外接球的表面積 面面垂直的性質定理及三棱錐的體積 2016課標全國Ⅰ,7,5分 球的表面積 空間幾何體的三視圖 2015課標Ⅰ,11,5分 組合體的表面積 空間幾何體的三視圖 空間幾何體的體積 ①理解柱、錐、臺體的體積概念;②能運用公式求解柱、錐、臺、球的

3、體積,并且熟悉臺體、柱體與錐體之間的轉換關系 2018課標全國Ⅰ,10,5分 長方體的體積 直線與平面所成角 ★★★ 2017課標全國Ⅱ,6,5分 不規(guī)則幾何體的體積 空間幾何體的三視圖 2015課標Ⅰ,6,5分 空間幾何體的體積 數學文化,圓錐的體積公式 分析解讀　　1.理解柱、錐、臺、球的概念,牢記它們的幾何特征及形成過程.正確把握軸截面、中截面的含義及空間問題轉化為平面問題的方法.2.理解三視圖的形成過程及掌握三視圖與直觀圖的畫法.3.理解柱、錐、臺、球的表面積和體積的概念,掌握其表面積和體積公式.4.高考對本節(jié)內容的考查主要以幾何體的三視圖為背景考查幾何體

4、的表面積和體積,分值約為5分,屬于中檔題. 破考點 【考點集訓】 考點一　空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖 1.(2018遼寧六校協作體12月聯考,6)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,∠ACB=90°,AB=2,PA=BC=1,則此幾何體的左視圖的面積是(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.14 B.1 C.32 D.12 答案　D　 2.(2015北京,7,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐最長棱的棱長為(　　) A.1 B.2 C.3 D.2 答案　C　

5、 3.某幾何體的主視圖和左視圖如圖1,它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1,如圖2,其中O1A1=6,O1C1=2,則該幾何體的側面積為(　　) A.48 B.64 C.96 D.128 答案　C　 考點二　空間幾何體的表面積 1.(2016課標全國Ⅱ,4,5分)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(　　) A.12π B.323π C.8π D.4π 答案　A　 2.(2018湖北八校12月聯考,8)已知一幾何體的三視圖如圖所示,它的側視圖與正視圖相同,則該幾何體的表面積為(　　) A.16+12π B.32+12π C.24+12π

6、 D.32+20π 答案　A　 3.(2017河北衡水中學周測卷(十六),2)一個空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(　　) A.48 B.32+817 C.48+817 D.80 答案　C　 考點三　空間幾何體的體積 1.(2019屆湖北武漢重點中學9月聯考,9)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為2,則此球的體積為(　　) A.43π B.63π C.6π D.46π 答案　A　 2.(2017浙江,3,4分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是(　　)

7、A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1 D.3π2+3 答案　A　 3.(2018吉林長春質檢,8)《九章算術》卷五商功中有如下問題:今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高一丈,問積幾何.芻甍:底面為矩形的屋脊狀的幾何體(網格紙中粗線部分為其三視圖,設網格紙上每個小正方形的邊長為1丈),那么該芻甍的體積為(　　) A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.12立方丈 答案　B　 煉技法 【方法集訓】 方法1　空間幾何體表面積的求解方法 1.(2016課標全國Ⅱ,7,5分)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(　　)

8、 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.20π B.24π C.28π D.32π 答案　C　 2.(2018安徽皖南八校二聯,8)榫卯是我國古代工匠極為精巧的發(fā)明,它是在兩個構件上采用凹凸部位相結合的一種連接方式.我國的北京紫禁城,山西懸空寺,福建寧德的廊橋等建筑都用到了榫卯結構.圖中網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是一種榫卯構件中榫的三視圖,則其體積與表面積分別為(　　) A.24+52π,34+52π B.24+52π,36+54π C.24+54π,36+54π D.24+54π,34+52π 答案　C　 3.(2

9、018福建六校12月聯考,11)如圖是某幾何體的三視圖,正視圖是等邊三角形,側視圖和俯視圖為直角三角形,則該幾何體的表面積為(　　) A.43 B.4+3 C.3+3 D.4+5 答案　B　 4.(2019屆廣東韶關一調,15)若圓錐與球的體積相等,且圓錐底面半徑與球的直徑相等,則圓錐側面積與球面面積之比為　　　　.? 答案　5∶2 方法2　空間幾何體體積的求解方法 1.(2017北京,6,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為(　　) A.60 B.30 C.20 D.10 答案　D　 2.(2019屆湖南長沙長郡中學9月月考,8)若某四棱錐

10、的三視圖如圖所示,則該四棱錐的體積為(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 答案　B　 3.(2018江蘇,10,5分)如圖所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為　　　　.? 答案　43 方法3　與球有關的切、接問題的求解方法 1.(2018云南民族大學附中月考,8)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著.書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”,若某“陽馬”的三視圖如圖所示(單位:cm),則該陽馬的外接球的體積為(　　) A.100π cm3 B.5003π cm3 C.400π cm3 D.4 0003

11、π cm3 答案　B　 2.(2019屆安徽皖中入學摸底考試,10)將半徑為3,圓心角為2π3的扇形圍成一個圓錐(接縫處忽略不計),則該圓錐的內切球的體積為(　　) A.2π3 B.3π3 C.4π3 D.2π 答案　A　 3.(2016課標全國Ⅲ,11,5分)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是(　　) A.4π B.9π2 C.6π D.32π3 答案　B　 4.(2017天津,11,5分)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為　　　　.? 答案　

12、92π 過專題 【五年高考】 A組　統一命題·課標卷題組 考點一　空間幾何體的結構及其三視圖和直視圖 1.(2018課標全國Ⅰ,9,5分)某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.217 B.25 C.3 D.2 答案　B　 2.(2018課標全國Ⅲ,3,5分)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來.構件的凸出部分叫榫頭,凹進部分叫卯

13、眼,圖中木構件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是(　　) 答案　A　 考點二　空間幾何體的表面積 1.(2018課標全國Ⅰ,5,5分)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為(　　) A.122π B.12π C.82π D.10π 答案　B　 2.(2016課標全國Ⅰ,7,5分)如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是28π3,則它的表面積是

14、(　　) A.17π B.18π C.20π D.28π 答案　A　 3.(2016課標全國Ⅲ,10,5分)如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為(　　) A.18+365 B.54+185 C.90 D.81 答案　B　 4.(2015課標Ⅰ,11,5分)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　B　 5.(2017課標全國Ⅱ,15,5分)

15、長方體的長,寬,高分別為3,2,1,其頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為　　　　.? 答案　14π 6.(2017課標全國Ⅰ,16,5分)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為　　　　.? 答案　36π 考點三　空間幾何體的體積 1.(2018課標全國Ⅰ,10,5分)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30°,則該長方體的體積為(　　) A.8 B.62 C.82 D.83 答案　C　 2.

16、(2017課標全國Ⅱ,6,5分)如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為(　　) A.90π B.63π C.42π D.36π 答案　B　 3.(2017課標全國Ⅲ,9,5分)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為(　　) A.π B.3π4 C.π2 D.π4 答案　B　 4.(2015課標Ⅰ,6,5分)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻

17、角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 答案　B　 5.(2018課標全國Ⅱ,16,5分)已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為　　　　.? 答案　8π 6.(2017課標全國Ⅱ,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠AB

18、C=90°. (1)證明:直線BC∥平面PAD; (2)若△PCD的面積為27,求四棱錐P-ABCD的體積. 解析　(1)證明:在平面ABCD內, 因為∠BAD=∠ABC=90°, 所以BC∥AD. 又BC?平面PAD,AD?平面PAD,故BC∥平面PAD. (2)取AD的中點M,連接PM,CM. 由AB=BC=12AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四邊形ABCM為正方形,則CM⊥AD. 因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD. 因為CM?底面ABCD, 所以PM⊥CM. 設BC=x,

19、則CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x. 取CD的中點N,連接PN, 則PN⊥CD,所以PN=142x. 因為△PCD的面積為27, 所以12×2x×142x=27, 解得x=-2(舍去)或x=2. 于是AB=BC=2,AD=4,PM=23. 所以四棱錐P-ABCD的體積V=13×2×(2+4)2×23=43. 7.(2016課標全國Ⅱ,19,12分)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置. (1)證明:AC⊥HD'; (2)若AB=5,AC=6,AE=54,

20、OD'=22,求五棱錐D'-ABCFE的體積. 解析　(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD. 又由AE=CF得AEAD=CFCD,故AC∥EF.(2分) 由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分) (2)由EF∥AC得OHDO=AEAD=14.(5分) 由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2=4. 所以OH=1,D'H=DH=3. 于是OD'2+OH2=(22)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH. 由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',因為OD'?平面BHD',所以AC⊥OD'. 又由OD'⊥O

21、H,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分) 又由EFAC=DHDO得EF=92. 五邊形ABCFE的面積S=12×6×8-12×92×3=694.(10分) 所以五棱錐D'-ABCFE的體積V=13×694×22=2322.(12分) B組　自主命題·省(區(qū)、市)卷題組 考點一　空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖 1.(2018北京,6,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側面中,直角三角形的個數為(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C　 2.(2014

22、湖北,7,5分)在如圖所示的空間直角坐標系O-xyz中,一個四面體的頂點坐標分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號為①、②、③、④的四個圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(　　) A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 答案　D　 3.(2014北京,11,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐最長棱的棱長為　　　　.? 答案　22 考點二　空間幾何體的表面積 1.(2015福建,9,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于(　　) A.8+2

23、2 B.11+22 C.14+22 D.15 答案　B　 2.(2015陜西,5,5分)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(　　) A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4 答案　D　 3.(2016浙江,9,6分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是　　　　cm2,體積是　　　　cm3.? 答案　80;40 考點三　空間幾何體的體積 1.(2018浙江,3,4分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　C　 2.(

24、2016山東,5,5分)一個由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.13+23π B.13+23π C.13+26π D.1+26π 答案　C　 3.(2017山東,13,5分)由一個長方體和兩個14圓柱體構成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為　　　　.? 答案　2+π2 4.(2016北京,11,5分)某四棱柱的三視圖如圖所示,則該四棱柱的體積為　　　　.? 答案　32 C組　教師專用題組 考點一　空間幾何體的

25、結構及其三視圖和直觀圖 1.(2016天津,3,5分)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(左)視圖為(　　) 答案　B　 2.(2014課標Ⅰ,8,5分)如圖,網格紙的各小格都是正方形,粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體是(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱 答案　B　 3.(2014湖南,8,5分)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示,將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大

26、球的半徑等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B　 考點二　空間幾何體的表面積 1.(2015安徽,9,5分)一個四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的表面積是(　　) A.1+3 B.1+22 C.2+3 D.22 答案　C　 2.(2014大綱全國,10,5分)正四棱錐的頂點都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為(　　) A.81π4 B.16π C.9π D.27π4 答案　A　 3.(2015課標Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點.若三棱錐O-AB

27、C體積的最大值為36,則球O的表面積為(　　) A.36π B.64π C.144π D.256π 答案　C　 4.(2013課標Ⅰ,15,5分)已知H是球O的直徑AB上一點,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為　　　　.? 答案　9π2 5.(2013課標Ⅱ,15,5分)已知正四棱錐O-ABCD的體積為322,底面邊長為3,則以O為球心,OA為半徑的球的表面積為　　　　.? 答案　24π 考點三　空間幾何體的體積 1.(2015課標Ⅱ,6,5分)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分

28、體積與剩余部分體積的比值為(　　) A.18 B.17 C.16 D.15 答案　D　 2.(2015浙江,2,5分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是(　　) A.8 cm3 B.12 cm3 C.323 cm3 D.403 cm3 答案　C　 3.(2015山東,9,5分)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A.22π3 B.42π3 C.22π D.42π 答案　B　 4.(2015重慶,5,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體

29、的體積為(　　) A.13+2π B.13π6 C.7π3 D.5π2 答案　B　 5.(2015湖南,10,5分)某工件的三視圖如圖所示.現將該工件通過切削,加工成一個體積盡可能大的正方體新工件,并使新工件的一個面落在原工件的一個面內,則原工件材料的利用率為材料利用率=新工件的體積原工件的體積(　　) A.89π B.827π C.24(2-1)3π D.8(2-1)3π 答案　A　 6.(2014課標Ⅱ,6,5分)如圖,網格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖,該零件由一個底面半徑為3 cm,高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉

30、部分的體積與原來毛坯體積的比值為(　　) A.1727 B.59 C.1027 D.13 答案　C　 7.(2014湖北,10,5分)《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現存最早的有系統的數學典籍,其中記載有求“囷蓋”的術:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計算其體積V的近似公式V≈136L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈275L2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取為(　　) A.227 B.258 C.15750 D.355113 答案　B　 8.(20

31、14遼寧,7,5分)某幾何體三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(　　) A.8-π4 B.8-π2 C.8-π D.8-2π 答案　C　 9.(2014四川,4,5分)某三棱錐的側視圖、俯視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是(　　) 錐體體積公式:V=13Sh,其中S為底面面積,h為高 A.3 B.2 C.3 D.1 答案　D　 10.(2014浙江,3,5分)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是(　　) A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm3 答案　B　 11.(2014重慶,7,5分)某幾

32、何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(　　) A.12 B.18 C.24 D.30 答案　C　 12.(2013課標Ⅰ,11,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(　　) A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 答案　A　 13.(2012課標全國,7,5分)如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為(　　) A.6 B.9 C.12 D.18 答案　B　 14.(2012課標全國,8,5分)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為

33、2,則此球的體積為(　　) A.6π B.43π C.46π D.63π 答案　B　 15.(2010全國Ⅰ,12,5分)已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點,若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為(　　) A.233 B.433 C.23 D.833 答案　B　 16.(2016四川,12,5分)已知某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是　　　　.? 答案　33 17.(2015天津,10,5分)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為　　　　m3.? 答案　83π 18.(2014天津,10,5分)一個幾何體的三

34、視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為　　　　m3.? 答案　20π3 19.(2011課標,16,5分)已知兩個圓錐有公共底面,且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上.若圓錐底面面積是這個球面面積的316,則這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為　　　　.? 答案　13 20.(2015課標Ⅱ,19,12分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形. (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理

35、由); (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值. 解析　(1)交線圍成的正方形EHGF如圖: (2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因為EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6. 因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值為9779也正確. 21.(2015安徽,19,13分)如圖,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱錐P-ABC的體積; (2)證明:在線段PC上存在點M,使得AC

36、⊥BM,并求PMMC的值. 解析　(1)由題設AB=1,AC=2,∠BAC=60°, 可得S△ABC=12·AB·AC·sin 60°=32. 由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱錐P-ABC的高,又PA=1, 所以三棱錐P-ABC的體積 V=13·S△ABC·PA=36. (2)證明:在平面ABC內,過點B作BN⊥AC,垂足為N.在平面PAC內,過點N作MN∥PA交PC于點M,連接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM?平面MBN,所以AC⊥BM. 在直角△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=12,從而NC=AC

37、-AN=32.由MN∥PA,得PMMC=ANNC=13. 22.(2014廣東,18,13分)如圖1,四邊形ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如圖2折疊:折痕EF∥DC,其中點E,F分別在線段PD,PC上,沿EF折疊后點P在線段AD上的點記為M,并且MF⊥CF. (1)證明:CF⊥平面MDF; (2)求三棱錐M-CDE的體積. 解析　(1)證明:∵PD⊥平面ABCD, AD?平面ABCD,∴PD⊥AD. ∵四邊形ABCD是矩形,∴AD⊥DC. 又∵PD∩DC=D, ∴AD⊥平面PCD. ∵CF?平面PCD, ∴AD⊥CF. 又∵M

38、F⊥CF,MF∩AD=M, ∴CF⊥平面MDF. (2)由(1)知CF⊥DF,PD⊥DC, 在△PCD中,DC2=CF·PC. ∴CF=CD2PC=12. 又∵EF∥DC, ∴PCPD=FCED?ED=PD·FCPC=3×122=34. ∴PE=ME=3-34=334, ∴S△CDE=12DC·ED=12×1×34=38. 在Rt△MDE中,MD=ME2-ED2=62, ∴VM-CDE=13S△CDE·MD=13×38×62=216. 23.(2014福建,19,12分)如圖,三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD. (1)求證:CD⊥平面ABD; (2)若

39、AB=BD=CD=1,M為AD中點,求三棱錐A-MBC的體積. 解析　(1)證明:∵AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD,AB∩BD=B, AB?平面ABD,BD?平面ABD,∴CD⊥平面ABD. (2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD. ∵AB=BD=1,∴S△ABD=12. ∵M是AD的中點,∴S△ABM=12S△ABD=14. 由(1)知,CD⊥平面ABD, ∴三棱錐C-ABM的高h=CD=1, 因此三棱錐A-MBC的體積VA-MBC=VC-ABM=13S△ABM·h=112. 解法二:由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平

40、面BCD, 又平面ABD∩平面BCD=BD, 如圖,過點M作MN⊥BD交BD于點N, 則MN⊥平面BCD,且MN=12AB=12, 又CD⊥BD,BD=CD=1, ∴S△BCD=12. ∴三棱錐A-MBC的體積VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD =13AB·S△BCD-13MN·S△BCD=112. 24.(2014江西,19,12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1. (1)求證:A1C⊥CC1; (2)若AB=2,AC=3,BC=7,問AA1為何值時,三棱柱ABC-A1B1C1體積最大?并求此最大值. 解析　(1)證明:由

41、AA1⊥BC知BB1⊥BC, 又BB1⊥A1B, 故BB1⊥平面BCA1,則BB1⊥A1C, 又BB1∥CC1, 所以A1C⊥CC1. (2)解法一:設AA1=x, 在Rt△A1BB1中,A1B=A1B12-BB12=4-x2. 同理,A1C=A1C12-CC12=3-x2. 在△A1BC中,cos∠BA1C=A1B2+A1C2-BC22A1B·A1C =-x2(4-x2)(3-x2),所以sin∠BA1C=12-7x2(4-x2)(3-x2), 所以S△A1BC=12A1B·A1C·sin∠BA1C=12-7x22. 從而三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△A1BC

42、·AA1=x12-7x22. 因為x12-7x2=12x2-7x4=-7x2-672+367, 故當x=67=427,即AA1=427時,體積V取到最大值377. 解法二:過A1作BC的垂線,垂足為D,連接AD. 由于AA1⊥BC,A1D⊥BC, 故BC⊥平面AA1D,BC⊥AD. 又∠BAC=90°, 所以S△ABC=12AD·BC=12AB·AC,得AD=2217. 設AA1=x,在Rt△AA1D中, A1D=AD2-AA12=127-x2, S△A1BC=12A1D·BC=12-7x22. 從而三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△A1BC·AA1=x12-7

43、x22. 因為x12-7x2=12x2-7x4=-7x2-672+367, 故當x=67=427,即AA1=427時,體積V取到最大值377. 25.(2013課標Ⅱ,18,12分)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點. (1)證明:BC1∥平面A1CD; (2)設AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱錐C-A1DE的體積. 解析　(1)證明:連接AC1交A1C于點F, 則F為AC1中點. 由D是AB中點,連接DF,則BC1∥DF. 因為DF?平面A1CD,BC1?平面A1CD, 所以BC1∥平面A1CD. (2)因為ABC

44、-A1B1C1是直三棱柱, 所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D為AB的中點, 所以CD⊥AB. 又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1. 由AA1=AC=CB=2,AB=22得 ∠ACB=90°,CD=2,A1D=6,DE=3,A1E=3, 故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D. 所以VC-A1DE=13×12×6×3×2=1. 【三年模擬】 時間:45分鐘　分值:65分 一、選擇題(每小題5分,共45分) 1.(2019屆安徽蕪湖11月調研,7)如圖,一個直三棱柱容器中盛有水,且側棱AA1=8.當側面AA1B1B水平放置時,液面恰好過AC,B

45、C,A1C1,B1C1的中點,當底面ABC水平放置時,液面高為(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.7 B.6 C.4 D.2 答案　B　 2.(2019屆湖北孝感摸底測試,8)已知正四棱錐P-ABCD,底面ABCD為正方形,點P在底面的投影為O,已知PO=1,該四棱錐的側面積為42,則該四棱錐的體積為(　　) A.8 B.83 C.4 D.43 答案　D　 3.(2019屆河南聯盟尖子生調研考試,7)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則在該幾何體的所有頂點中任取兩點,它們之間的距離不可能為(　　) A.6 B.3 C

46、.2 D.5 答案　C　 4.(2018廣東佛山一模,9)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(　　) A.212 B.15 C.332 D.18 答案　C　 5.(2019屆湖北武漢重點中學9月聯考,11)已知四棱錐S-ABCD的三視圖如圖所示,則圍成四棱錐S-ABCD的五個面中最大面的面積是(　　) A.3 B.6 C.8 D.10 答案　C　 6.(2019屆河南信陽期中聯考,10)我國古代數學名著《九章算術》對立體幾何有深入的研究,從其中的一些數學用語可見,譬如“塹堵”意指底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱,“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底

47、面的四棱錐.現有一如圖所示的“塹堵”,即三棱柱ABC-A1B1C1,其中AC⊥BC,若AA1=AB=1,當“陽馬”(四棱錐B-A1ACC1)體積最大時,“塹堵”(三棱柱ABC-A1B1C1)的表面積為(　　) A.2+1 B.3+1 C.22+32 D.3+32 答案　C　 7.(2017河南天一12月聯考,10)如圖,在四面體PABC中,PA=PB=PC=4,點O是點P在平面ABC上的投影,且tan∠APO=22,則四面體PABC的外接球的體積為(　　) A.24π B.48π C.86π D.323π 答案　C　 8.(2018云南玉溪一中期中,11)已知三棱錐P-A

48、BC的各頂點都在同一球面上,且PA⊥平面ABC,若該三棱錐的體積為233,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則球的表面積等于(　　) A.5π B.20π C.8π D.16π 答案　B　 9.(2019屆湖北八校9月調研,10)某四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的四個面中,直角三角形的面積和是(　　) A.2 B.4 C.2+5 D.4+25 答案　C　 二、填空題(每小題5分,共20分) 10.(2019屆安徽皖中入學摸底考試,15)已知某三棱柱的三視圖如圖所示,那么該三棱柱的側面中,最大側面的面積為　　　　.? 答案　5 11.(2018陜西部分重點中學摸底檢測,14)把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,形成的三棱錐C-ABD的正視圖與俯視圖如圖所示,則側視圖的面積為　　　　.? 答案　14 12.(2017福建四地六校聯考,15)一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面均相切,已知這個球的體積為323π,則該正三棱柱的體積為　　　　.? 答案　483 13.(2019屆陜西四校期中聯考,16)直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,側棱長等于底面三角形的斜邊長,若其外接球的體積為32π3,則該三棱柱體積的最大值為　　　　.? 答案　42