《（課標(biāo)專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學(xué) 專題六 數(shù)列 3 等比數(shù)列試題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（課標(biāo)專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學(xué) 專題六 數(shù)列 3 等比數(shù)列試題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、等比數(shù)列 探考情 悟真題 【考情探究】 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測 熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點 1.等比數(shù)列及其性質(zhì) (1)理解等比數(shù)列的概念. (2)掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式. (3)能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題. (4)了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 2019課標(biāo)Ⅰ,14,5分 等比數(shù)列的通項公式 及前n項和公式 ★★★ 2018課標(biāo)Ⅲ,17,12分 等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式 指數(shù)的運算 2017課標(biāo)Ⅱ,3,5分 等比數(shù)列的前n項和公式 數(shù)學(xué)文化為背景的應(yīng)用問題 201

2、6課標(biāo)Ⅰ,15,5分 等比數(shù)列的通項公式 最值問題 2.等比數(shù)列的前n項和 2016課標(biāo)Ⅲ,17,12分 等比數(shù)列的判定 由an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式 2015課標(biāo)Ⅱ,4,5 分 等比數(shù)列的通項公式 分析解讀　　本節(jié)是高考的考查熱點,主要考查等比數(shù)列的基本運算和性質(zhì),等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式,尤其要注意以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列題,題型既有選擇題、填空題,也有解答題.考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力以及學(xué)生對函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸和分類討論思想的應(yīng)用. 破考點 練考向 【考點集訓(xùn)】 考點一　等比數(shù)列及其性質(zhì) 1.(2020屆貴州貴陽摸底,10)等比數(shù)列

3、{an}的各項均為正數(shù),且a5a6+a4a7=18,則log3a1+log3a2+…+log3a10=(　　) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 答案　B　 2.(2019湖南衡陽一模,8)在等比數(shù)列{an}中,a1a3=a4=4,則a6的所有可能值構(gòu)成的集合是(　　) A.{6} B.{-8,8} C.{-8} D.{8} 答案　D　 3.(2018天津濱海新區(qū)七所重點學(xué)校聯(lián)考,11)等比數(shù)列{an}中,各項都是正數(shù),且a1,12a3,2a2成等差數(shù)列,則a13+a14a14+a15=　　　　.? 答案　2-1 考點二　等比數(shù)列的前n項和 1.(2020屆

4、重慶一中10月月考,7)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且3a2,2a3,a4成等差數(shù)列,則S3a3=(　　) A.139 B.3或139 C.3 D.79或139 答案　B　 2.(2020屆四川天府名校第一次聯(lián)考,4)已知數(shù)列{an}各項都是正數(shù),且滿足an+2an=an+12(n∈N*),a5=16,a7=64,則數(shù)列{an}的前3項的和等于(　　) A.7 B.15 C.31 D.63 答案　A　 3.(2019湖南郴州一模,6)在數(shù)列{an}中,滿足a1=2,an2=an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn為{an}的前n項和,若a6=64,則S7的值為(　　)

5、 A.126 B.256 C.255 D.254 答案　D　 煉技法 提能力 【方法集訓(xùn)】 方法　等比數(shù)列的判定與證明 1.(2020屆安徽合肥一中9月月考,11)關(guān)于數(shù)列{an},給出下列命題:①數(shù)列{an}滿足an=2an-1(n≥2,n∈N*),則數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列;②“a,b的等比中項為G”是“G2=ab”的充分不必要條件;③數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則其前n項和Sn=a1(1-qn)1-q;④等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列,其中,真命題的序號是(　　) A.①③④ B.①②④ C.② D.②④ 答案　C

6、　 2.下列結(jié)論正確的是(　　) A.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n+1,則{an}為等差數(shù)列 B.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-2,則{an}為等比數(shù)列 C.非零實數(shù)a,b,c不全相等,若a,b,c成等差數(shù)列,則1a,1b,1c也可能構(gòu)成等差數(shù)列 D.非零實數(shù)a,b,c不全相等,若a,b,c成等比數(shù)列,則1a,1b,1c一定構(gòu)成等比數(shù)列 答案　D　 3.(2019四川宜賓第三次診斷,17)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=32an-1. (1)求證:{an}是等比數(shù)列; (2)求{an}的通項公式,并判斷{an}中是否存在三項成等差數(shù)列.若存在,請

7、舉例說明;若不存在,請說明理由. 解析　(1)證明:①當(dāng)n=1時,a1=32a1-1,∴a1=2. ②當(dāng)n≥2時,∵Sn=32an-1, ∴Sn-1=32an-1-1,∴an=32an-32an-1,∴an=3an-1. ∵an≠0,∴anan-1=3,∴{an}是等比數(shù)列. (2)由(1)知,數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且首項為2,公比為3, ∴an=2·3n-1,n∈N*, ∴數(shù)列{an}各項都是正的,且是單調(diào)遞增的. 假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項ar,as,at(其中r,s,t∈N*)構(gòu)成等差數(shù)列,不妨設(shè)r

8、s-1,即3r+3t=2·3s,即3r-s+3t-s=2. ∵r0+31=3,這與3r-s+3t-s=2相矛盾, ∴數(shù)列{an}中不存在三項構(gòu)成等差數(shù)列. 【五年高考】 A組　統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組 考點一　等比數(shù)列及其性質(zhì) 1.(2019課標(biāo)Ⅲ,5,5分)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=(　　) A.16 B.8 C.4 D.2 答案　C　 2.(2016課標(biāo)Ⅰ,15,5分)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最

9、大值為　　　　.? 答案　64 3.(2018課標(biāo)全國Ⅰ,17,12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn=ann. (1)求b1,b2,b3; (2)判斷數(shù)列{bn}是不是等比數(shù)列,并說明理由; (3)求{an}的通項公式. 解析　(1)由條件可得an+1=2(n+1)nan. 將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12. 從而b1=1,b2=2,b3=4. (2){bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列. 由條件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn, 又b1=1,所

10、以{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列. (3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n·2n-1. 4.(2016課標(biāo)Ⅲ,17,12分)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式; (2)若S5=3132,求λ. 解析　(1)由題意得a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1=11-λ,a1≠0. 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan, 即an+1(λ-1)=λan. 由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以an+1an=λλ-1. 因此{an}是首項為11-λ,公比為λλ-1的

11、等比數(shù)列,于是an=11-λ·λλ-1n-1. (2)由(1)得Sn=1-λλ-1n. 由S5=3132得1-λλ-15=3132,即λλ-15=132. 解得λ=-1. 思路分析　(1)先由題設(shè)利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1與an的關(guān)系式,要證數(shù)列是等比數(shù)列,關(guān)鍵是看an+1與an之比是不是非零常數(shù),其中說明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)問的結(jié)論解方程求出λ. 考點二　等比數(shù)列的前n項和 1.(2017課標(biāo)Ⅱ,3,5分)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞

12、燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈(　　) A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞 答案　B　 2.(2019課標(biāo)Ⅰ,14,5分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1=13,a42=a6,則S5=　　　　.? 答案　1213 3.(2018課標(biāo)Ⅲ,17,12分)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項公式; (2)記Sn為{an}的前n項和.若Sm=63,求m. 解析　本題考查等比數(shù)列的概念及其運算. (1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2

13、或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn=1-(-2)n3. 由Sm=63得(-2)m=-188.此方程沒有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 綜上,m=6. 易錯警示　解方程時,對根的檢驗易漏. 求解等比數(shù)列的公比時,要結(jié)合題意進行討論、取值,避免產(chǎn)生錯解. 解后反思　等比數(shù)列基本量運算問題的常見類型及解題策略 (1)求通項公式.求出等比數(shù)列的兩個基本量a1和q后,通項公式便可求出. (2)求特定項.利用通項公式或者等比數(shù)列的性質(zhì)求解. (3)求公比.利用等比數(shù)列的定義和性

14、質(zhì)建立方程(組)求解. (4)求前n項和.直接將基本量代入等比數(shù)列的前n項和公式求解或利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解. B組　自主命題·省(區(qū)、市)卷題組 考點一　等比數(shù)列及其性質(zhì) 1.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為(　　) A.32f B.322f C.1225f D.1227f 答案　D　 2.(2016天津

15、,5,5分)設(shè){an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n<0”的(　　) A.充要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 答案　C　 考點二　等比數(shù)列的前n項和 1.(2017江蘇,9,5分)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù),其前n項和為Sn.已知S3=74,S6=634,則a8=　　　　.? 答案　32 2.(2015湖南,14,5分)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=　　　　.? 答案　3n-1 C組　教師專用題組 考點

16、一　等比數(shù)列及其性質(zhì) 1.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則(　　) A.a1a3,a2a4 D.a1>a3,a2>a4 答案　B　 2.(2015課標(biāo)Ⅱ,4,5分)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=(　　) A.21 B.42 C.63 D.84 答案　B　 3.(2012課標(biāo)Ⅰ,5,5分)已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=(　　) A.

17、7 B.5 C.-5 D.-7 答案　D　 4.(2016四川,19,12分)已知數(shù)列{an}的首項為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*. (1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)雙曲線x2-y2an2=1的離心率為en,且e2=53,證明:e1+e2+…+en>4n-3n3n-1. 解析　(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 兩式相減得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan對所有n≥1都成立. 所以,數(shù)列{an}是首

18、項為1,公比為q的等比數(shù)列. 從而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,可得 2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*). (2)證明:由(1)可知,an=qn-1. 所以雙曲線x2-y2an2=1的離心率en=1+an2=1+q2(n-1). 由e2=1+q2=53,解得q=43. 因為1+q2(k-1)>q2(k-1),所以1+q2(k-1)>qk-1(k∈N*). 于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn-1q-1, 故e1+e2+…+en>4n-3n3n-1

19、. 5.(2015江蘇,20,16分)設(shè)a1,a2,a3,a4是各項為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列. (1)證明:2a1,2a2,2a3,2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列; (2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次構(gòu)成等比數(shù)列?并說明理由; (3)是否存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列?并說明理由. 解析　(1)證明:因為2an+12an=2an+1-an=2d(n=1,2,3)是同一個常數(shù),所以2a1,2a2,2a3,2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列. (2)令a1+d=a,則a1,a2,a3,a4分別為a-d,a

20、,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0). 假設(shè)存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次構(gòu)成等比數(shù)列, 則a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4. 令t=da,則1=(1-t)(1+t)3, 且(1+t)6=(1+2t)4-12

21、成等比數(shù)列. (3)假設(shè)存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列,則a1n(a1+2d)n+2k=(a1+d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k). 分別在兩個等式的兩邊同除以a12(n+k)及a12(n+2k), 并令t=da1t>-13,t≠0, 則(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k). 將上述兩個等式兩邊取對數(shù),得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)·ln(1+t), 且(n+k)ln(1+t

22、)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t). 化簡得2k[ln(1+2t)-ln(1+t)]=n[2ln(1+t)-ln(1+2t)], 且3k[ln(1+3t)-ln(1+t)]=n[3ln(1+t)-ln(1+3t)]. 再將這兩式相除,化簡得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(**). 令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)·ln(1+t), 則g'(t)= 2[(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3

23、(1+t)2ln(1+t)](1+t)(1+2t)(1+3t). 令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2·ln(1+t), 則φ'(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)·ln(1+t)]. 令φ1(t)=φ'(t),則φ'1(t)=6[3ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t)]. 令φ2(t)=φ'1(t),則φ'2(t)=12(1+t)(1+2t)(1+3t)>0. 由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ'2(t)>0, 知φ2(t),φ1(t),φ(t

24、),g(t)在-13,0和(0,+∞)上均單調(diào). 故g(t)只有唯一零點t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假設(shè)不成立. 所以不存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次構(gòu)成等比數(shù)列. 評析本題考查等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的運算和綜合應(yīng)用,考查演繹推理、直接證明、間接證明等邏輯思維能力. 考點二　等比數(shù)列的前n項和 1.(2013課標(biāo)Ⅱ,3,5分)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=(　　) A.13 B.-13 C.19 D.-19 答案　C　 2.(2015安徽,14,5分)已知數(shù)列

25、{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項和等于　　　　.? 答案　2n-1 3.(2015山東,18,12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn=3n+3. (1)求{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an,求{bn}的前n項和Tn. 解析　(1)因為2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3, 當(dāng)n>1時,2Sn-1=3n-1+3, 此時2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1, 所以an=3,n=1,3n-1,n>1. (2)因為anbn=log3an,所以b

26、1=13, 當(dāng)n>1時,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n. 所以T1=b1=13; 當(dāng)n>1時, Tn=b1+b2+b3+…+bn=13+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n], 所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n], 兩式相減,得 2Tn=23+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n =23+1-31-n1-3-1-(n-1)×31-n=136-6n+32×3n, 所以Tn=1312-6n+34×3n(n>1). 經(jīng)檢驗,n=1時也適合. 綜上可得Tn=1312-6n+34×3n(n∈

27、N*). 4.(2014課標(biāo)Ⅱ,17,12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1. (1)證明an+12是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式; (2)證明1a1+1a2+…+1an<32. 解析　(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12. 又a1+12=32, 所以an+12是首項為32,公比為3的等比數(shù)列. 所以an+12=3n2,因此{an}的通項公式為an=3n-12. (2)由(1)知1an=23n-1. 因為當(dāng)n≥1時,3n-1≥2×3n-1, 所以13n-1≤12×3n-1. 于是1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n

28、-1=321-13n<32. 所以1a1+1a2+…+1an<32. 評析本題考查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問題,放縮法求和是本題的難點. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.(2020屆河南名校聯(lián)盟尖子生10月調(diào)研,8)等比數(shù)列{an}滿足a1=8,a3=a2a5,則log2a1+log2a2+…+log2a100的值為(　　) A.-2550 B.-2325 C.-4650 D.-5660 答案　C　 2.(2020屆甘肅蘭州一中9月月考,10)已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)且公比大于1,前n項積為Tn,且a2·a4=a3,則使得Tn>1的n的最小值

29、為(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C　 3.(2020屆黑龍江哈爾濱三中月考,10)定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對于任意給定的等比數(shù)列{an},若{f(an)}仍是等比數(shù)列,則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函數(shù): ①f(x)=x3;②f(x)=ex;③f(x)=|x|;④f(x)=ln|x|. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的序號為(　　) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 答案　C　 4.(2019福建寧德期末質(zhì)量檢測,11)某市利用第十六屆省運會的契機,鼓勵全民健身,從2018年7月起

30、向全市投放A,B兩種型號的健身器材.已知7月份投放A型健身器材300臺,B型健身器材64臺,計劃從8月起,A型健身器材每月的投放量均為a臺,B型健身器材每月的投放量比上一月多50%,若12月月底該市A,B兩種健身器材投放總量不少于2000臺,則a的最小值為(　　) A.243 B.172 C.122 D.74 答案　D　 5.(2018河南六市第一次聯(lián)考(一模),10)若正項遞增等比數(shù)列{an}滿足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),則a6+λa7的最小值為(　　) A.-2 B.-4 C.2 D.4 答案　D　 6.(2018湖南湘潭三模,9)已知等比數(shù)列{an}

31、的前n項積為Tn,若a1=-24,a4=-89,則當(dāng)Tn取最大值時,n的值為(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案　C　 二、填空題(每小題5分,共15分) 7.(2020屆云南師大附中高三月考,13)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若3S4=2S3+S5,a2=4,則a6=　　　　.? 答案　64 8.(2020屆江西宜春重點高中第一次月考,15)若存在等比數(shù)列{an},使得a1(a2+a3)=6a1-9,則公比q的取值范圍為　　　　　　　　　　　.? 答案　-1-52,0∪0,-1+52 9.(2019河南洛陽第二次統(tǒng)考,14)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且

32、a10a11+a8a13=64,則log2a1+log2a2+…+log2a20=　　　　.? 答案　50 三、解答題(共20分) 10.(2020屆五省創(chuàng)優(yōu)名校第二次聯(lián)考,17)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1+a3=10,S4=40. (1)求{an}的通項公式; (2)若bn=(n+2)log3an+1,求1bn的前n項和Tn. 解析　本題考查了等比數(shù)列通項公式及求和公式的應(yīng)用,考查了裂項相消法求和,主要考查考生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力. (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,顯然q≠1,則a1+a1q2=a1(1+q2)=10,a1(1-q4)1-q=a1(1+q2

33、)(1+q)=40, 解得a1=1,q=3, 故an=a1qn-1=3n-1. (2)因為an=3n-1,所以an+1=3n,所以bn=(n+2)log3an+1=n(n+2), 所以1bn=1n(n+2)=12×1n-1n+2, 故Tn=12×1-13+12-14+13-15+14-16+…+1n-1-1n+1+1n-1n+2, 即Tn=12×1+12-1n+1-1n+2=34-2n+32(n+1)(n+2). 11.(2020屆陜西百校聯(lián)盟九月聯(lián)考,17)記首項為1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2·3nSn=(3n-1)an+1. (1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;

34、 (2)若bn=(-1)n·(log9an)2,求數(shù)列{bn}的前2n項和. 解析　(1)證明:依題意,得2Sn=1-13nan+1, 2Sn+1=1-13n+1an+2,(1分) 兩式相減,可得1-13n+1(an+2-3an+1)=0, 故an+2=3an+1,(3分) 又6S1=2a2,故a2=3a1,(4分) 故數(shù)列{an}是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列.(5分) (2)由(1)可知an=3n-1,所以bn=(-1)n·(log9an)2=(-1)n·(log93n-1)2=14·(-1)n·(n-1)2,(7分) 故b2n-1+b2n=14·[(-1)2n-1·(2n-2)2+(-1)2n·(2n-1)2]=14(4n-3),(8分) 記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n, 則T2n=14[1+5+9+…+(4n-3)]=12n2-14n.(10分)