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1、專題09 平面向量的線性表示 【自主熱身,歸納總結(jié)】 1、設(shè)a,b不共線,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三點共線,則實數(shù)p=.? 【答案】-1 【解析】因為=2a+pb,=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.因為A,B,D三點共線,所以=λ,即2a+pb=λ(2a-b)=2λa-λb,所以解得所以實數(shù)p的值是-1. 2、設(shè)與是兩個不共線向量,,,,若A,B,D三點共線,則 ． 【答案】： 【解析】,設(shè)．則且,解得． 3、在中,若點,,依次是邊上的四等分點,設(shè),,用,表示,則 ． 【解析】 在中,,,所以 ． 4．

2、設(shè)點,,是直線上不同的三點,點是直線外一點,若,則的值為 ． 【答案】：1 【解析】 因為點,,三點共線,所以,又因為 ,所以． 5、如圖,在中,,分別為邊,的中點. 為邊上的點,且,若,,則的值為 . 【答案】： 【解析】：因為為的中點,所以,故,。 6、已知為的外心,若,則= ． 【答案】： 誤點警示：若為銳角,則與分別是同弧所對的圓心角與圓周角,此時 =2；若為鈍角,由與的關(guān)系是,因此,必須對進行分類討論.本題從條件判斷知,必為鈍角. 7、已知點C,D,E是線段的四等分點,為直線外的任意一點,若,則實數(shù) 的值為

3、 ． 【答案】： 【解析】 因為,所以． 8．如圖,平面內(nèi)有三個向量,,,其中與的夾角為,與的夾角為,且,若,則_______,___________． 【答案】：,． 【解析】 設(shè)與,同方向的單位向量分別為,, 依題意有,又,, 則,所以,． 9、如圖,一直線與平行四邊形的兩邊分別 交于兩點,且交其對角線于,其中,,,,則的值為 ． 【答案】：． 【解析】 因為點F,K,E共線,故可設(shè) 又,所以,解得． 【問題探究,變式訓(xùn)練】 例1、在△ABC中,AB＝2,AC＝3,角A的平分線與AB邊上的中線交于點O,若＝x＋y(x,y∈R)

4、,則x＋y的值為________. 課本探源 本題的難點是＝關(guān)系的建立,借助于正弦定理,可以證明＝.實際上,必修5P54例5已經(jīng)證明了此結(jié)論,若能夠想到這一點,理順本題的解題思路就容易多了：在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,用正弦定理證明：＝. 【變式1】、如圖,在平行四邊形ABCD中,AC,BD相交于點O,E為線段AO的中點,若＝λ＋μ(λ,μ∈R),則λ＋μ＝________. 【答案】 【解析】：因為O,E分別是AC,AO的中點,所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又＝λ＋μ＝λ＋μ(＋)＝(λ＋μ)＋μ,故λ＋μ＝. . 【變式2】、在中,,若,則的值為

5、 ． 【答案】： 因為,而,所以,所以,則的值為. 【關(guān)聯(lián)1】、如圖,在△ABC中,BO為邊AC上的中線,,設(shè)∥,若,則的值為 ． 【答案】 【解析】思路一：, ,因為∥,所以λ－1＝,λ＝． 思路二：不妨設(shè),則有 【關(guān)聯(lián)2】、如圖,在同一個平面內(nèi),向量、,的模分別為1,1,,與的夾角為,且,與的夾角為,若, 則的值為____________． 【答案】：． A C B O 【解析】 由可得,,根據(jù)向量分解易得： ,即,解得 所以． 例2、在△ABC中,∠C＝45°,O是△ABC的外心,若＝m＋n(m,n∈

6、R),則m＋n的取值范圍是________． 【答案】 [－,1) 思路分析 本題中三點在圓O上是一個關(guān)鍵條件,可以建立坐標(biāo)系求出m,n的關(guān)系式,再利用三角換元求解,也可以對向量等式兩邊平方后得到m,n的關(guān)系式,再利用線性規(guī)劃求解． 因為C＝,O是△ABC外心,所以∠AOB＝90°,＝m＋n,所以C在優(yōu)弧上． 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)半徑為1,則A(0,1),B(1,0)． 設(shè)C(cosθ,sinθ), 代入＝m＋n,可得n＝cosθ,m＝sinθ,即m＋n＝cosθ＋sinθ＝sin. 又θ＋∈,所以m＋n∈[－,1)． 解后反思 本題易錯在沒有注意點C在

7、優(yōu)弧上,錯誤的認(rèn)為點C在整個圓上．本題是典型的二元函數(shù)的值域問題,解題方法比較多,可以用基本不等式、線性規(guī)劃、三角換元,但由于點C在圓弧上,最好的方法建立坐標(biāo)系,利用三角函數(shù)求解,定義域的尋找也較為簡單． 【變式1】、 如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB＝90°,AD＝AB＝4,CD＝1,動點P在邊BC上,且滿足＝m＋n(m,n均為正實數(shù)),則＋的最小值為________． 【答案】：. 解法1 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(1,4)．又kBC＝－,故BC：y＝－(x－4)．又＝m＋n,＝(4,0),＝(0,4),所以＝(

8、4m,4n),故P(4m,4n),又點P在直線BC上,即3n＋4m＝4,即4（＋）＝(3n＋4m)·（＋）＝7＋＋≥7＋2＝7＋4,所以（＋）min＝,當(dāng)且僅當(dāng)即m＝,n＝時取等號． 解法2 因為＝m＋n,所以＝m＋n(＋)＝m＋n－＝＋n.又C,P,B三點共線,故m－＋n＝1,即m＋＝1,以下同解法1. 解后反思 向量的基本運算分為線性運算和坐標(biāo)運算,本題建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運算也可以轉(zhuǎn)化為基底運算,其中三點共線可以轉(zhuǎn)化為點在直線上也可以用共線向量基本定理來轉(zhuǎn)化．基底法運算量小于坐標(biāo)法、坐標(biāo)法的思維難度低于基底法． 【變式2】、 如圖,經(jīng)過的重心G的直線與OA,OB交于點P,Q

9、,設(shè),,,則的值為 ． 【答案】：3 【解析】 連接并延長,交于點,因為是的重心,即是的中線,所以, ① 因為,所以②,同理可得③, 將②③代入①可得, 即, 設(shè), 則有, 根據(jù)平面向量基本定理,有, 故的值為3． 【關(guān)聯(lián)1】、如圖,在等腰三角形ABC中,已知AB＝AC＝1,A＝120°,E,F分別是邊AB,AC上的點,且＝m,＝n,其中m,n∈.若EF,BC的中點分別為M,N,且m＋4n＝1,則的最小值為________． 【答案】 思路分析：本題易求·＝－,所以可以利用點M,N是EF,BC的中點將轉(zhuǎn)化用和表示,再求||的最小值；

10、另外也可以通過建立平面直角坐標(biāo)系將點M,N的坐標(biāo)表示出來再求解． 【解析】1 由于M,N是EF,BC的中點,＝m,＝n,m＋4n＝1,所以＝＋,＝＋＝＋＝＋,所以＝－＝2n＋.而·＝1×1×cos120°＝－,所以||＝＝,顯然當(dāng)n＝時,||min＝. 【解析】2 如圖,以點N為坐標(biāo)原點,直線BC為x軸,直線NA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,由AB＝AC＝1,A＝120°得N(0,0),A0,,B－,0,C,0,所以＝n＝n,－n,＝m＝＝2n－,2n－(由于m＋4n＝1),從而點E,點Fn,－n＋,線段EF的中點Mn－,n＋,所以||＝＝,顯然當(dāng)n＝時,||min＝. 【關(guān)聯(lián)2】、

11、已知△ABC是邊長為3的等邊三角形,點P是以A為圓心的單位圓上一動點,點Q滿足＝＋,則||的最小值是________. 【答案】： － 思路分析 求||的最小值,就是求線段BQ長的最小值,因為點B為定點,而點Q是隨著點P的運動而運動的,那么就要關(guān)注點Q是如何運動的,即要先求出點Q的軌跡方程,通過建系運用相關(guān)點法即可求得點Q的軌跡方程,通過點Q的軌跡方程發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個圓,接下來問題就轉(zhuǎn)化為定點與圓上的動點的距離的最小值問題,那就簡單了．一般與動點有關(guān)的最值問題,往往運用軌跡思想,首先探求動點的軌跡,在了解其軌跡的基礎(chǔ)上一般可將問題轉(zhuǎn)化為點與圓的關(guān)系或直線與圓的關(guān)系或兩圓之間的關(guān)系． 解

12、法1 以A為原點,AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則＝(3,0),＝,設(shè)Q(x,y),P(x′,y′),由＝＋,得＝, 即所以兩式平方相加得2＋2＝(x′2＋y′2),因為點P(x′,y′)在以A為圓心的單位圓上,所以x′2＋y′2＝1,從而有2＋2＝,所以點Q是以M為圓心,R＝的圓上的動點,因此BQmin＝BM－R＝－＝－. 解法2 ＝－＝＋－＝. 令＝－,則＝(－),那么||＝|－|,求||的最小值,就轉(zhuǎn)化為求|－|的最小值,根據(jù)不等式的知識有： |－|≥＝,而||2＝2＝2＝2－·＋2＝×32－×3×3×＋×32＝,即||＝,所以|－|≥＝－1,從而||＝|－|≥－,當(dāng)且僅當(dāng)與同向時,取等號． 【關(guān)聯(lián)3】、在中,為邊上一點,且,為上一點,且滿足 ,求的最小值． 【解析】 因為,所以, 又因為為上一點,不妨設(shè), 所以, ,因為不共線, 所以,則． 所以, A B C E P 當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立．