《山東省煙臺(tái)招遠(yuǎn)市2024屆高考三模 數(shù)學(xué)試題【含答案】》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《山東省煙臺(tái)招遠(yuǎn)市2024屆高考三模 數(shù)學(xué)試題【含答案】（21頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2024年全國新高考Ⅰ卷模擬試題 數(shù) 學(xué) 注意事項(xiàng)： 1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘. 2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上. 3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效 一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求. 1．已知集合，，則（????） A． B． C． D． 2．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（????） A．1 B． C． D．2 3．若橢圓與橢圓（）的離心率相同，則實(shí)數(shù)b的值為（?

2、???） A． B． C． D． 4．一袋子中裝有5個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，從中不放回的每次取出1個(gè)小球，連續(xù)取兩次，則取出的這兩個(gè)小球顏色不同的概率為（????） A． B． C． D． 5．若圓與軸沒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????） A． B． C． D． 6．若函數(shù)在上有且只有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則正整數(shù)的值為（????） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知向量，滿足，在方向上的投影向量為，且，則的值為（????） A．4 B． C．16 D．48 8．若定義在上的函數(shù)滿足：，，且對(duì)任意，，都有，則（????） A． B

3、．為偶函數(shù) C．是的一個(gè)周期 D．圖象關(guān)于對(duì)稱 二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分. 9．下列說法正確的有（????） A．?dāng)?shù)據(jù)1，2，5，7，10的分位數(shù)為8.5 B．設(shè)隨機(jī)變量，若，則 C．已知回歸直線方程為，若樣本中心為，則 D．的極差小于，的極差 10．如圖1，半圓O的直徑為4，點(diǎn)B，C三等分半圓，P，Q分別為OB，OC的中點(diǎn)，將此半圓以O(shè)A為母線卷成如圖2所示的圓錐，D為BC的中點(diǎn)，則在圖2中，下列結(jié)論正確的有（????） A． B．平面 C．平面

4、D．三棱錐與公共部分的體積為 11．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則（????） A．邊上的高為 B．為定值 C．的最小值為2 D．若，則 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分. 12．展開式的中間一項(xiàng)的系數(shù)為 . 13．已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，其右焦點(diǎn)為F，若直線與在第一象限的交點(diǎn)為P且軸，則實(shí)數(shù)k的值為 . 14．在平面直角坐標(biāo)系中，若定義兩點(diǎn)和之間的“t距離”為，其中表示p，q中的較大者，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的“t距離”為 ；若平面內(nèi)點(diǎn)和點(diǎn)之間的“t距離”為，則A

5、點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為 . 四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15．為提高學(xué)生對(duì)航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某學(xué)校組織學(xué)生參加航天科普知識(shí)挑戰(zhàn)賽，比賽共設(shè)置A，B，C三個(gè)問題，規(guī)則如下：①每位參加者計(jì)分器的初始分均為50分，答對(duì)問題A，B，C分別加10分，20分，30分，答錯(cuò)任一題減10分；②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于40分或答完三題時(shí)累計(jì)分?jǐn)?shù)不足80分，答題結(jié)束，挑戰(zhàn)失??；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于80分時(shí)，答題結(jié)束，挑戰(zhàn)成功；③每位參加者按問題A，B，C順序作答，直至挑戰(zhàn)結(jié)束.設(shè)甲同學(xué)能

6、正確回答出問題A，B，C的概率分別為，，，且回答各題正確與否互不影響. (1)求甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率； (2)用X表示甲同學(xué)答題結(jié)束時(shí)答對(duì)問題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 16．如圖，在直三棱柱中，，M，N分別為，中點(diǎn)，且． (1)證明：； (2)若D為棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求二面角的余弦值. 17．在數(shù)列中，已知，. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：. 18．已知拋物線C：（）過點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，A，B為C上不同于原點(diǎn)O的兩點(diǎn). (1)若，試探究直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由； (2)若，求面積的最小

7、值. 19．已知函數(shù). (1)討論函數(shù)的單調(diào)性； (2)當(dāng)時(shí)，若方程有三個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 1．C 【分析】解對(duì)數(shù)不等式化簡集合，由集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算即可得解. 【詳解】因?yàn)?，所以? 因?yàn)?，所? 故選：C. 2．B 【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解. 【詳解】若復(fù)數(shù)z滿足，則由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集是線段的垂直平分線，其中， 所以的最小值為. 故選：B. 3．A 【分析】由離心率相等列出關(guān)于的方程求解即可. 【詳解】若橢圓與橢圓（）的離心率相同， 則，解得滿足題意. 故選：A. 4．D 【分析】分第一次取出為紅球和黑球兩種情況

8、求解即可. 【詳解】由題意，第一次取出可能為紅球或黑球，故連續(xù)取兩次，則取出的這兩個(gè)小球顏色不同的概率為. 故選：D 5．C 【分析】求出圓心坐標(biāo)利用幾何法得到不等式，解出即可. 【詳解】即， ，解得或， 且其圓心坐標(biāo)為，若該圓與軸沒有交點(diǎn)， 則，解得 故選：C. 6．C 【分析】先得出，然后結(jié)合已知列出關(guān)于的不等式組，結(jié)合是正整數(shù)即可得解. 【詳解】由題意且是整數(shù)， 若，則， 若函數(shù)在上有且只有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心， 所以，解得，即. 故選：C. 7．B 【分析】根據(jù)題意結(jié)合投影向量可得，再根據(jù)垂直關(guān)系可得，進(jìn)而可求模長. 【詳解】由題意可知：，即，

9、 因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛?，可得? 又因?yàn)?，則，可得， 則，所以. 故選：B. 8．D 【分析】首先得出的對(duì)稱中心以及周期，結(jié)合剩下的已知來構(gòu)造函數(shù)，以此排除ABC，并證明D選項(xiàng). 【詳解】在中，令，得，則是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心， 在中，令，得，所以，是的一個(gè)周期， 接下來我們構(gòu)造反例說明ABC錯(cuò)誤，然后證明D正確： 首先對(duì)于ABC而言，由以上分析不妨設(shè)， 而 ， ， 若要恒成立， 只需恒成立，只需， 因?yàn)?，所以，從而滿足題意的可以是， 但是，故A錯(cuò)誤； ，故B錯(cuò)誤； 是函數(shù)的一個(gè)最小正周期，故C錯(cuò)誤； 現(xiàn)在我們來證明D是正確的： 對(duì)于D，由以上分析

10、有，，這表明圖象關(guān)于對(duì)稱，故D正確. 故選：D. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得出是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，且是函數(shù)的一個(gè)周期，由此即可順利得解. 9．AC 【分析】根據(jù)第百分位定義計(jì)算可判斷A；根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差計(jì)算可判斷B；根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心代入計(jì)算可判斷C；根據(jù)極差的概念計(jì)算可判斷D. 【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，所以第分位?shù)為，故A正確； 對(duì)B，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，解得或， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤； 對(duì)C，因?yàn)闃颖局行脑诨貧w直線方程上，所以，解得，故C正確； 對(duì)D，原數(shù)據(jù)極差為：，新數(shù)據(jù)極差為：， 因?yàn)椋? 所以的極差大于，的極差，故D錯(cuò)誤. 故選：AC 1

11、0．ACD 【分析】對(duì)于A，先求出圓錐的底面圓半徑，再利用正弦定理求出，進(jìn)而可判斷；對(duì)于B，由勾股定理逆定理結(jié)合，可得與不垂直，由此即可判斷；對(duì)于C，由中位線定理得，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷；對(duì)于D，連接交于點(diǎn)，連接并延長，可知交于點(diǎn)，則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐，再確定點(diǎn)的位置即可求解體積并判斷D. 【詳解】對(duì)于A，在圖中，設(shè)圓錐的底面圓半徑為， 則，解得， 因?yàn)樵趫D1中，點(diǎn)、三等分半圓， 所以在圖中，點(diǎn)、為圓錐的底面圓周的三等分點(diǎn)， 所以為等邊三角形， 所以，所以， 又因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)， 所以，故A正確； 對(duì)于B， 連接，因?yàn)槿切芜呴L為的等邊三

12、角形，三角形為等腰三角形， 點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以， 而，所以，這表明與不垂直，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)， 所以， 因?yàn)槠矫?，平面? 所以平面，故C正確； 對(duì)于D，連接交于點(diǎn)，連接并延長，則由對(duì)稱性可知必定交于點(diǎn)， 則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐， 因?yàn)辄c(diǎn)分別是、的中點(diǎn)， 所以為的重點(diǎn)，所以， 由上易知，圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形，所以圓錐的高為， 所以， 所以三棱錐與三棱錐公共部分的體積為，故D正確. 故選：ACD. 11．ABD 【分析】對(duì)A，根據(jù)邊上的高為求解即可；對(duì)B，由正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡即可；對(duì)C，由正弦定理結(jié)合三角

13、恒等變換化簡，結(jié)合B中，再根據(jù)基本不等式求解即可；對(duì)D，根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系，結(jié)合兩角和差的正切公式與正弦定理判斷即可. 【詳解】對(duì)A，邊上的高為，由題意，故A正確； 對(duì)B，由正弦定理即， 故， 又銳角，故，即，故B正確； 對(duì)C，， 又，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)， 即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，與銳角矛盾，故C錯(cuò)誤； 對(duì)D，， 即，又，即， 故，解得，故. 則，即，解得. 故，，或，. 不妨設(shè)，， 則，， 故，，， 故，由正弦定理，故D正確. 故選：ABD 12． 【分析】中間一項(xiàng)是第4項(xiàng)，結(jié)合二項(xiàng)展開式的系數(shù)的計(jì)算公式即可求解. 【詳解】因?yàn)檎归_式共有7項(xiàng)，它的中間一項(xiàng)是

14、第4項(xiàng)， 所以展開式的中間一項(xiàng)的系數(shù)為. 故答案為：. 13． 【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可得，由軸得，利用斜率公式可得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)殡p曲線：（，）的漸近線方程為，依題意有， 即，又右焦點(diǎn)為，且軸，所以， 所以， 故答案為：. ?? 14． 4 【分析】第一空：直接根據(jù)“t距離”的定義計(jì)算即可求解；第二空：根據(jù)“t距離”的定義分兩種情況討論得出A點(diǎn)的軌跡是正方形的四條線段；由此即可得解. 【詳解】第一空：點(diǎn)與點(diǎn)之間的“t距離”為 ； 第二空：若平面內(nèi)點(diǎn)和點(diǎn)之間的“t距離”為， 則， 不妨設(shè)，解得或，此時(shí)，即， 由對(duì)稱性可知，當(dāng)或時(shí)，

15、，如圖所示： ??，所以A點(diǎn)的軌跡就是正方形的四條線段， 則A點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為. 故答案為：；4. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是嚴(yán)格按照“t距離”的定義進(jìn)行計(jì)算，由此即可順利得解. 15．(1) (2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為 【分析】（1）用表示甲第i個(gè)問題回答正確，表示甲第i個(gè)問題回答錯(cuò)誤，分析甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪包括，分別求概率，再相加； （2）分析出的可能取值：0，1，2，分別求概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可. 【詳解】（1）用表示甲第i個(gè)問題回答正確，表示甲第i個(gè)問題回答錯(cuò)誤，則; . 記事件Q：甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率，則： . 即甲同學(xué)

16、能進(jìn)入下一輪的概率為. （2）由題意知的可能取值：0，1，2， ∴;, ， ， ∴的分布列為： 0 1 2 ∴, 即數(shù)學(xué)期望為. 16．(1)證明過程見解析 (2) 【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，證明即可； （2）當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的位置，再求出二面角所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式即可運(yùn)算求解. 【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，而平面，平面， 所以，， 因?yàn)?，，平面，平面? 所以平面， 因?yàn)槠矫妫? 所以， 因?yàn)?，? 所以兩兩互相垂直， 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直

17、角坐標(biāo)系， 因?yàn)?，M，N分別為，中點(diǎn)， 所以，， 所以， 所以， 所以，即； （2） 由（1）得，， 設(shè)， 所以， 因?yàn)槠矫妫? 所以取平面的一個(gè)法向量為， 設(shè)與平面所成角為， 所以與平面所成角的正弦值為， 若要與平面所成角最大，則當(dāng)且僅當(dāng)最大， 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)， 因?yàn)?，，平面，平面? 所以平面， 因?yàn)槠矫?，平面，平面? 所以平面和平面是同一個(gè)平面， 所以平面， 所以可取平面的一個(gè)法向量為， 若的坐標(biāo)為，且注意到， 所以， 設(shè)平面的法向量為， 由，可得，令，解得， 所以取平面的一個(gè)法向量為， 由圖可知二面角是銳角， 所以

18、二面角的余弦值為， 綜上所述，二面角的余弦值為. 17．(1) (2)證明見解析 【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列數(shù)列即可求得通項(xiàng)公式； （2）代入（1）中的通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)，結(jié)合累加求和證明即可. 【詳解】（1）由可得，則，即， 故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. 故，則，. （2）. 易得，故. 又， 故 . 綜上有，即得證. 18．(1)直線過定點(diǎn) (2) 【分析】（1）首先根據(jù)已知點(diǎn)求出拋物線方程，設(shè)，，聯(lián)立拋物線方程，有，結(jié)合，由向量垂直的坐標(biāo)表示可列出方程，由此解出，進(jìn)一步檢驗(yàn)判別式即可得解； （2）由得條件等式，進(jìn)一步得出的取值范圍是或，由

19、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式表示出面積，結(jié)合的范圍即可得解. 【詳解】（1） 已知拋物線C：（）過點(diǎn)， 所以，所以拋物線的方程為， 直線斜率不可能為0，否則直線與拋物線沒有兩個(gè)交點(diǎn)， 故可設(shè)，， 聯(lián)立拋物線的方程為，可得 ，， 由韋達(dá)定理有， 因?yàn)椋? 所以， 因?yàn)锳，B為C上不同于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，所以，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意； 即， 所以直線過定點(diǎn)； （2） 顯然，由（1）得，， 因?yàn)椋? ， 即有條件等式成立，而 ， 所以首先有，其次，或， 因?yàn)闉橹本€在軸上的截距，且與相異，由圖可知， 從而的取值范圍是或， ， 點(diǎn)到直線的距離為，

20、 所以的面積可表示為：， 因?yàn)榈娜≈捣秶腔颍? 所以或， 所以當(dāng)，即時(shí)，， 綜上所述，面積的最小值為. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問的關(guān)鍵是得出的取值范圍以及面積的表達(dá)式，由此即可順利得解. 19．(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2) 【分析】（1）直接使用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性； （2）將方程化為，再討論方程的解的個(gè)數(shù)，然后得到方程的根滿足的條件，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍. 【詳解】（1）求導(dǎo)知. 當(dāng)時(shí)，由可知，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，對(duì)有，對(duì)有，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在

21、上單調(diào)遞減. （2）當(dāng)時(shí)，，故原方程可化為. 而，所以原方程又等價(jià)于. 由于和不能同時(shí)為零，故原方程又等價(jià)于. 即. 設(shè)，則，從而對(duì)有，對(duì)有. 故在上遞增，在上遞減，這就得到，且不等號(hào)兩邊相等當(dāng)且僅當(dāng). 然后考慮關(guān)于的方程： ①若，由于當(dāng)時(shí)有，而在上遞增，故方程至多有一個(gè)解； 而，，所以方程恰有一個(gè)解； ②若，由于在上遞增，在上遞減，故方程至多有兩個(gè)解； 而由有， 再結(jié)合，，，即知方程恰有兩個(gè)解，且這兩個(gè)解分別屬于和； ③若，則. 由于，且不等號(hào)兩邊相等當(dāng)且僅當(dāng)，故方程恰有一解. ④若，則，故方程無解. 由剛剛討論的的解的數(shù)量情況可知，方程存在三個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不同的根，且，. 一方面，若關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不同的根，且，，則首先有，且. 故， ，所以. 而方程的解是，兩解符號(hào)相反，故只能，. 所以，即. 這就得到，所以，解得. 故我們得到； 另一方面，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不同的根，. 且有，，. 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于取值范圍問題，使用分類討論法是最直接的手段.