《高等數(shù)學牛頓—萊布尼茨公式》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數(shù)學牛頓—萊布尼茨公式（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1 . 變 上 限 的 定 積 分6.3萊 布 尼 茨 公 式2. 萊 布 尼 茨 公 式 公 式 1. 變 上 限 的 定 積 分如 果 x 是 區(qū) 間 a, b上 任 意 一 點 ， 定 積 分xa ttf d)(表 示 曲 線 y = f (x) 在 部 分 區(qū) 間 a, x 上 曲 邊 梯 形AaxC 的 面 積 ， 如 圖 中 陰 影 部 分 所 示 的 面 積 . 當 x 在區(qū) 間 a, b 上 變 化 時 ,陰 影 部 分 的 曲 邊 梯 形 面積 也 隨 之 變 化 ， 所 以 變上 限 定 積 分 xa ttf d)( y xy = f (x)a x bO A C B是 上

2、限 變 量 x 的 函 數(shù) .記 作 即 F(x) xa ttf d)( xa ttfx d)()(則 )(x 變 上 限 的 積 分 有 下 列 重 要 性 質 :定 理 1 若 函 數(shù) f (x) 在 區(qū) 間 a, b 上 連 續(xù) ，則 變 上 限 定 積 分在 區(qū) 間 a, b 上 可 導 ， 并 且 它 的 導 數(shù) 等 于 被 積 函 數(shù) ，即 xa ttfx d)()( x a ttfx d)()( )()( xfx )(d)( xfttfdxd x a 或 積 分 上 限 函 數(shù) 求 導 定 理 ,)( 上 連 續(xù)在 閉 區(qū) 間如 果 baxf xa ttfx d)()(則定 理

3、2 (原函數(shù)存在定理）a b)(xfy O xy x)(x.,)( 上 的 一 個 原 函 數(shù)在是 baxf 例 1 (1) 21( ) e d ,x tx t 已 知 求 (x).解 2 21( ) e d e .x t xx t (2) 求 2 41 11xd dtdx t解 2 2 4 2 4 81 1 1 2( )1 1 ( ) 1xd xdt xdx t x x 變上限的積分求導：b xu ttfx )( d)(dd)2( )( d)(dd)1( xua ttfx )()( xuxuf )( )(21 d)(dd)3( xu xu ttfx )()()()( 2211 xuxufxu

4、xuf )()( xuxuf 例 見 書 定 理 如 果 函 數(shù) f (x) 在 區(qū) 間 a, b上 連 續(xù) ，F(xiàn)(x) 是 f (x) 在 區(qū) 間 a, b 上 任 一 原 函 數(shù) ，).()(d)( aFbFxxfba 那 么 為 了 今 后 使 用 該 公 式 方 便 起 見 ， 把 上 式 右 端 的,)()()( baxFaFbF 記 作 這 樣 上 面 公 式 就 寫 成 如 下 形 式 ：.( ) ( ) ( ) ( )b baa f x x F x F b F a d “ Newton Leibniz公 式 ” 2. 牛 頓 萊 布 尼 茨 公 式 公式 例 3 計 算 下 列

5、 定 積 分 . 解 ;d1 1)1( 10 2 xx 30(2) sin d .x xxx d1 1)1( 10 2 10arctanx ;40arctan1arctan 30(2) sin dx x 30cos x cos ( cos0)3 1 112 2 例4. 計算.112 dxx例6. 計算正弦曲線軸所圍成上與在xxy ,0sin 的面積 . y o xxy sin 例5. 計算.|2|31 dxx 例 見 書 內(nèi)容小結,)()(,)( xfxFbaCxf 且設則有1. 微積分基本公式 xxfba d)(積分中值定理)( abF )()( aFbF 微分中值定理)( abf 牛頓 萊布尼茲公式2. 變限積分求導公式