《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.3 空間中直線與平面 2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系學(xué)案【含解析】新人教A版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.3 空間中直線與平面 2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系學(xué)案【含解析】新人教A版必修2（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2．1.3 & 2.1.4　空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系 空間中直線與平面的位置關(guān)系 [提出問題] 應(yīng)縣木塔，在山西應(yīng)縣城佛宮寺內(nèi)，遼清寧二年(1056年)建．塔呈平面八角形，外觀五層，夾有暗層四級，實為九層，總高67.31米，底層直徑30.27米，是國內(nèi)外現(xiàn)存最古老最高大的木結(jié)構(gòu)塔式建筑．塔建在4米高的兩層石砌臺基上，內(nèi)外兩槽立柱，構(gòu)成雙層套筒式結(jié)構(gòu)，柱頭間有欄額和普柏枋，柱腳間有地伏等水平構(gòu)件，內(nèi)外槽之間有梁枋相連接，使雙層套筒緊密結(jié)合．暗層中用大量斜撐，結(jié)構(gòu)上起圈梁作用，加強(qiáng)木塔結(jié)構(gòu)的整體性． 問題1：立柱和地面是什么位置關(guān)系？ 提示：相交． 問

2、題2：柱腳間有地伏等水平構(gòu)件看成直線，它和地面有什么關(guān)系？ 提示：在同一平面內(nèi)． 問題3：直線和平面還有其他關(guān)系嗎？ 提示：平行． [導(dǎo)入新知] 直線與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 直線a在平面α內(nèi) 直線a在平面α外 直線a與平面α相交 直線a與平面α平行 公共點(diǎn) 無數(shù)個公共點(diǎn) 一個公共點(diǎn) 沒有公共點(diǎn) 符號表示 a?α a∩α＝A a∥α 圖形表示 [化解疑難] 1．利用公共點(diǎn)的個數(shù)也可以理解直線與平面的位置關(guān)系． (1)當(dāng)直線與平面無公共點(diǎn)時，直線與平面平行． (2)當(dāng)直線與平面有一個公共點(diǎn)時，直線與平面相交． (3)當(dāng)直線與平面有兩個

3、公共點(diǎn)時，它們就有無數(shù)個公共點(diǎn)，這時直線在平面內(nèi)． 2．直線在平面外包括兩種情形：a∥α與a∩α＝A. 空間中平面與平面的位置關(guān)系 [提出問題] 觀察拿在手中的兩本書，我們可以想象兩本書為兩個平面． 問題1：兩本書所在的平面可以平行嗎？公共點(diǎn)的個數(shù)是多少？ 提示：可以．無公共點(diǎn)． 問題2：兩本書所在的平面可以相交嗎？公共點(diǎn)的個數(shù)是多少？ 提示：可以．有無數(shù)個． [導(dǎo)入新知] 兩個平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 圖示 表示法 公共點(diǎn)個數(shù) 兩平面平行 α∥β 沒有公共點(diǎn) 兩平面相交 α∩β＝l 有無數(shù)個 公共點(diǎn) (在一條 直線上) [化解疑難]

4、 1．判斷面面位置關(guān)系時，要利用好長方體(或正方體)這一模型． 2．畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行． 直線與平面的位置關(guān)系 [例1]　下列說法： ①若直線a在平面α外，則a∥α；②若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；③若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線． 其中說法正確的個數(shù)為(　　) A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 [答案]　B [類題通法] 空間中直線與平面只有三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行． 在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，這三種情形都要考

5、慮到，避免疏忽或遺漏．另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空臆斷． [活學(xué)活用] 下列說法中，正確的個數(shù)是(　　) ①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交，那么另一條直線也和這個平面相交；②一條直線和另一條直線平行，它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面都平行；③經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線，有一個平面與另一條直線平行；④兩條相交直線，其中一條與一個平面平行，則另一條一定與這個平面平行． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 平面與平面的位置關(guān)系 [例2]　(1)平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，

6、問：α∥β是否正確？為什么？ (2)平面α內(nèi)的所有直線與平面β都平行，問：α∥β是否正確？為什么？ [解]　(1)不正確． 如圖所示，設(shè)α∩β＝l，則在平面α內(nèi)與l平行的直線可以有無數(shù)條：a1，a2，…，an，…，它們是一組平行線，這時a1，a2，…，an，…與平面β都平行(因為a1，a2，…，an，…與平面β無交點(diǎn))，但此時α與β不平行，α∩β＝l. (2)正確．平面α內(nèi)所有直線與平面β平行，則平面α與平面β無交點(diǎn)，符合平面與平面平行的定義． [類題通法] 兩個平面的位置關(guān)系同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系類似，可以從有無公共點(diǎn)區(qū)分：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么由公理3可知，這兩個平

7、面相交于過這個點(diǎn)的一條直線；如果兩個平面沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個平面互相平行．這樣我們可以得出兩個平面的位置關(guān)系：①平行——沒有公共點(diǎn)；②相交——有且只有一條公共直線．若平面α與β平行，記作α∥β；若平面α與β相交，且交線為l，記作α∩β＝l. [活學(xué)活用] 1．在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有________組互相平行的面，與其中一個側(cè)面相交的面共有________個． 答案：4　6 2.如圖所示，平面ABC與三棱柱ABCA1B1C1的其他面之間有什么位置關(guān)系？ 解：∵平面ABC與平面A1B1C1無公共點(diǎn)， ∴平面ABC與平面A1B1C1平行

8、． ∵平面ABC與平面ABB1A1有公共直線AB， ∴平面ABC與平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC與平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交． 　　　　 [典例]　(12分)在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)Q是棱DD1上的動點(diǎn)，判斷過A，Q，B1三點(diǎn)的截面圖形的形狀． [解題流程] [規(guī)范解答] 由點(diǎn)Q在線段DD1上移動，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D1重合時，截面圖形為等邊三角形AB1D1，如圖甲．(4分) 當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時，截面圖形為矩形AB1C1D，如圖乙．(8分) 當(dāng)點(diǎn)Q不與點(diǎn)D，D1重合時，截面圖形為等腰梯形AQRB1，如圖丙．(12分) [

9、活學(xué)活用] 　如圖所示，G是正方體ABCDA1B1C1D1的棱DD1延長線上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)是棱AB，BC的中點(diǎn)．試分別畫出過下列各點(diǎn)、直線的平面與正方體表面的交線． (1)過點(diǎn)G及AC；(2)過三點(diǎn)E，F(xiàn)，D1. 解：(1)畫法：連接GA交A1D1于點(diǎn)M，連接GC交C1D1于點(diǎn)N；連接MN，AC，則MA，CN，MN，AC為所求平面與正方體表面的交線．如圖①所示． (2)畫法：連接EF交DC的延長線于點(diǎn)P，交DA的延長線于點(diǎn)Q；連接D1P交CC1于點(diǎn)M，連接D1Q交AA1于點(diǎn)N；連接MF，NE，則D1M，MF，F(xiàn)E，EN，ND1為所求平面與正方體表面的交線．如圖②所示．

10、 [隨堂即時演練] 1．M∈l，N∈l，N?α，M∈α，則有(　　) A．l∥α　　　　　　　　 B．l?α C．l與α相交 D．以上都有可能 答案：C 2．如圖所示，用符號語言可表示為(　　) A．α∩β＝l B．α∥β，l∈α C．l∥β，l?α D．α∥β，l?α 答案：D 3．平面α∥平面β，直線a?α，則a與β的位置關(guān)系是________． 答案：平行 4．經(jīng)過平面外兩點(diǎn)可作該平面的平行平面的個數(shù)是________． 答案：0或1 5．三個平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直線c?β，c∥b. (1)判斷c與α的位置關(guān)

11、系，并說明理由； (2)判斷c與a的位置關(guān)系，并說明理由． 解：(1)c∥α.因為α∥β，所以α與β沒有公共點(diǎn)，又c?β，所以c與α無公共點(diǎn)，則c∥α. (2)c∥a.因為α∥β，所以α與β沒有公共點(diǎn)，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，則a?α，b?β，且a，b?γ，所以a，b沒有公共點(diǎn)．由于a，b都在平面γ內(nèi)，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a. [課時達(dá)標(biāo)檢測] 一、選擇題 1．如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能確定 答案：C 2．如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這

12、條直線與另一個平面的位置關(guān)系為(　　) A．平行 B．相交 C．直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi) 答案：D 3．(浙江高考)若直線l不平行于平面α，且l?α，則(　　) A．α內(nèi)的所有直線與l異面 B．α內(nèi)不存在與l平行的直線 C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行 D．α內(nèi)的直線與l都相交 答案：B 4．已知直線m，n和平面α，m∥n，m∥α，過m的平面β與α相交于直線a，則n與a的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．相交 C．異面 D．以上均有可能 答案：A 5．給出下列幾個說法： ①過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂

13、直；③過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行；④過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與該平面平行． 其中正確說法的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 二、填空題 6．下列命題： ①兩個平面有無數(shù)個公共點(diǎn)，則這兩個平面重合； ②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β. 其中錯誤命題的序號為________． 答案：①② 7．與空間四邊形ABCD四個頂點(diǎn)距離相等的平面共有________個． 答案：7 8．下列命題正確的有________(填序號)． ①若直線與平面有兩個公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)； ②若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥

14、α； ③若直線l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的任意直線都是異面直線； ④如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線一定與該平面相交； ⑤若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面； ⑥若平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則直線a∥b. 答案：①⑤ 三、解答題 9．如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中M，N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，則下列直線與平面的位置關(guān)系是什么？ (1)AM所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系； (2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系； (3)AM所在的直線與平面CDD1C1的位置關(guān)系； (4)CN所在的直

15、線與平面CDD1C1的位置關(guān)系． 解：(1)AM所在的直線與平面ABCD相交； (2)CN所在的直線與平面ABCD相交； (3)AM所在的直線與平面CDD1C1平行； (4)CN所在的直線與平面CDD1C1相交． 10.如圖，已知平面α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈α，點(diǎn)C∈β，且A?l，B?l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論． 解：平面ABC與β的交線與l相交． 證明：∵AB與l不平行，且AB?α，l?α，∴AB與l一定相交，設(shè)AB∩l＝P，則P∈AB，P∈l. 又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β. ∴點(diǎn)P是平面ABC與β的一個公共點(diǎn)，而點(diǎn)C也是平面ABC與β的一個公共點(diǎn)，且P，C是不同的兩點(diǎn)， ∴直線PC就是平面ABC與β的交線． 即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P， ∴平面ABC與β的交線與l相交． - 9 -