《線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析（25頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、單擊此處編輯母版標題樣式,,,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,目錄(1/1),目 錄,,,概述,,5.1,李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義,,5.2,李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理,,5.3,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,,5.4,非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,,5.5 Matlab,問題,,,本章小結,,5.3,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,,,本節(jié)主要研究李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用。,,討論的主要問題有:,,基本方法,: 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,,矩陣李雅普諾夫方程的求解,,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,,線性定常離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理及穩(wěn)定性分

2、析,李雅普諾夫方法在,線性系統(tǒng)的應用,(1/2),,由上節(jié)知,,,李雅普諾夫第二法是分析動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的有效方法,,,但具體運用時將涉及到如何選取適宜的李雅普諾夫函數來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,,由于各類系統(tǒng)的復雜性,,,在應用李雅普諾夫第二法時,,,難于建立統(tǒng)一的定義李雅普諾夫函數的方法。,,目前的處理方法是,,,針對系統(tǒng)的不同分類和特性,,,分別尋找建立李雅普諾夫函數的方法。,李雅普諾夫方法在,線性系統(tǒng)的應用,(,2/2),,本節(jié)將討論對線性系統(tǒng),,,包括,,線性定常連續(xù)系統(tǒng),、,,線性時變連續(xù)系統(tǒng),和,,線性定常離散系統(tǒng),,,,如何利用李雅普諾夫第二法及如何選取李雅普諾夫函數來分析該線性系統(tǒng)

3、的穩(wěn)定性。,李雅普諾夫方法在線性,系統(tǒng)的應用,(,3/2),,5.3.1,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,,,設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,,x,’,=,A,x,,這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點:,,1),,當系統(tǒng)矩陣,A,為非奇異時,,,系統(tǒng)有且僅有一個平衡態(tài),x,e,=0,,即為狀態(tài)空間原點;,,2),若該系統(tǒng)在平衡態(tài),x,e,=0,的某個鄰域上是漸近穩(wěn)定的,,,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的;,,3),對于該線性系統(tǒng),,,其李雅普諾夫函數一定可以選取為二次型函數的形式。,線性,定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(1,/21),,上述第(3)點可由如下定理中得到說明。,,,定理,5-7,,線性定

4、常連續(xù)系統(tǒng),,x,’,=,A,x,,的平衡態(tài),x,e,=0,為漸近穩(wěn)定的充要條件為:,,對任意給定的一個正定矩陣,Q,,,都存在一個正定矩陣,P,為矩陣方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,的解,,,并且正定函數,V,(,x,)=,x,?,P,x,即為系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數。,□,線性定常連續(xù),系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(2,/21)—,定理,5-7,,證明,(1) 先證充分性。,,即證明,,,若對任意的正定矩陣,Q,,,存在正定矩陣,P,滿足方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,,,則平衡態(tài),x,e,=0,是漸近穩(wěn)定的。,,證明思路：,線性定常連續(xù),系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析

5、,(3,/21),由于,P,正定,,,選,,擇正定函數,V,(,x,)=,x,?,P,x,為李,,雅普諾夫函數,計算李雅普諾夫函數,V,(,x,)對時間,t,的,全導數,V,’,(,x,),通過判定,V,’,(,x,)的定號性來判定平衡態(tài),x,e,的穩(wěn)定性,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(4,/21),證明過程為：,,已知滿足矩陣方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,的正定矩陣,P,存在,,,故令,,V,(,x,)=,x,?,P,x,.,,由于,V,(,x,),為正定函數,,,而且,V,(,x,),沿軌線對時間,t,的全導數為,,V,’,(,x,)=,(,x,?,P,x,),

6、’,,=,x,?,’,P,x,+,x,?,P,x,’,,=(,A,x,),?,P,x,+,x,?,P,a,x,,=,x,?,(,A,P,+,P,A,),x,,=-,x,?,Q,x,,而,Q,為正定矩陣,,,故,V,’,(,x,),為負定函數,,根據,漸近穩(wěn)定性定理,(,定理,5-4,),,即證明了系統(tǒng)的平衡態(tài),x,e,=0,是漸近穩(wěn)定的,,,于是充分性得證。,,,(2) 再證必要性。,,即證明:若系統(tǒng)在,x,e,=0,處是漸近穩(wěn)定的,,,則對任意給定的正定矩陣,Q,,,必存在正定矩陣,P,滿足矩陣方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,證明思路：,,由正定矩陣,Q,構造滿足,矩陣方程,,PA

7、,+,A,?,P,=-,Q,,的正定矩陣,P,。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(5,/21),,證明過程為,：,,對任意給定的正定矩陣,Q,,構造,矩陣,P,如下,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(6,/21),由矩陣指數函數,e,At,的定義和性質知,,,上述被積矩陣函數的各元素一定是具有,t,k,e,?,t,形式的諸項之和,,,其,?,是,A,的特征值。,,因為系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,,,則矩陣,A,的所有特征值,?,的實部一定小于零,,,因此上述積分一定存在,,,即,P,為有限對稱矩陣。,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(7,/21),又由于,,Q,正定,,

8、,,矩陣指數函數,e,At,可逆,,,,則由方程(,5-15),可知,,,P,為有限的正定矩陣。,,因此,,,P,為正定矩陣。,,線性定常,連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,(8,/21),將矩陣,P,的表達式(,5-15),代入矩陣方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,可得:,因此,,,必要性得證。,,線性定常,連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,(9,/21),上述定理給出了一個判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的簡便方法,,,該方法,,不需尋找李雅普諾夫函數,,,,不需求解系統(tǒng)矩陣,A,的特征值,,,,只需解一個矩陣代數方程即可,,,計算簡便。,,該矩陣方程又稱為李雅普諾夫矩陣代數方程。,,

9、由上述定理,,,可得如下關于正定矩陣,P,是李雅普諾夫矩陣方程的唯一解的推論。,,推論,5-1,,如果線性定常系統(tǒng),x,’,=,A,x,在平衡態(tài),x,e,=0,是漸近穩(wěn)定的,,,那么李雅普諾夫代數方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,對給定的任意正定矩陣,Q,,,存在唯一的正定矩陣解,P。,,,□,,,證明,,用反證法證明,。,,即需證明: 李雅普諾夫代數方程由兩個正定矩陣解,,,但該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。,,設李雅普諾夫代數方程由兩個正定矩陣解,P,1,和,P,2,,,則將,P,1,和,P,2,代入該方程后有,,P,1,A,+,A,?,P,1,=-,Q,,P,2,A,+,A,?,P,2,=-

10、,Q,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(10,/21)—,推論1,,兩式相減,,,可得,,(,P,1,-,P,2,),A,+,A,?,(,P,1,-,P,2,)=0,,因此,,,有,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(11,/21),所以,,,對任意的,t,,,下式均成立:,令,t,=0,和,t,=,T,(,?,0),,則有,,推論,5-1,,如果線性定常系統(tǒng),x,’,=,A,x,在平衡態(tài),x,e,=0,是漸近穩(wěn)定的,,,那么李雅普諾夫代數方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,對給定的任意正定矩陣,Q,,,存在唯一的正定矩陣解,P。,,由,定理,5-7,可知,,,當,P,

11、1,和,P,2,為滿足李雅普諾夫方程的正定矩陣時,,,則系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。,,故系統(tǒng)矩陣,A,為漸近穩(wěn)定的矩陣,,,矩陣指數函數,e,AT,將隨著,T,→,?,而趨于零矩陣,,,即,,P,1,-,P,2,=0,或,P,1,=,P,2,,,?,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(12,/21),,在應用上述基本定理和推論時,,,還應注意下面幾點:,,如果,V,’,(,x,,,t,)=-,x,?,Q,x,沿任意一條狀態(tài)軌線不恒為零,,,那么,Q,可取為非負定矩陣,,,而系統(tǒng)在原點漸近穩(wěn)定的充要條件為:,,存在正定矩陣,P,滿足李雅普諾夫代數方程。,,Q,矩陣只要選成正定的或根據上述情況選為

12、非負定的,,,那么最終的判定結果將與,Q,的不同選擇無關。,,由,定理,5-7,及其,推論,5-1,可知,,,運用此方法判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時,,,最方便的是選取,Q,為單位矩陣,,,即,Q,=,I,。,,于是,,,矩陣,P,的元素可按如下李雅普諾夫代數方程:,,PA,+,A,?,P,=-,I,,求解,,,然后根據,P,的正定性來判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(13,/21),,下面通過一個例題來說明如何通過求解矩陣李雅普諾夫方程來判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,,,例,5-9,,試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性

13、,分析,(14,/21)—,例,5-9,解,,設選取的李雅普諾夫函數為,,V,(,x,)=,x,?,P,x,,由,定理,5-7,可知,,,上式中的正定矩陣,P,滿足李雅普諾夫方程,,PA,+,A,?,P,=-,I,.,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(15,/21)—,例,5-9,于是,,,令對稱矩陣,P,為,將,P,代入李雅普諾夫方程,,,可得,展開后得,,,有:,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(16,/21),因此,,,得如下聯立方程組:,解出,p,11,,,p,12,和,p,22,,,得,,為了驗證對稱矩陣,P,的正定性,,,用合同變換法檢驗如下:,線性定常連續(xù)

14、系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(17,/21),由于變換后的對角線矩陣的對角線上的元素都大于零,,,故矩陣,P,為正定的。因此,,,系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。,,此時,,,系統(tǒng)的李雅普諾夫函數和它沿狀態(tài)軌線對時間,t,的全導數分別為,,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(1,8/21)—,例,5-10,例,5-10,,控制系統(tǒng)方塊圖如下圖所示。,,要求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,,,試確定增益的取值范圍。,解,由圖可寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(1,9/21)—,例,5-10,不難看出,,,原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。,,選取,Q,為非負定實對稱矩陣,,,則,由于為非

15、正定,,,且只在原點處才恒為零,,,其他非零狀態(tài)軌跡不恒為零。,,因此,,,對上述非負定的,Q,,,李雅普諾夫代數方程和相應結論依然成立。,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(,20/21)—,例,5-10,設,P,為實對稱矩陣并代入李雅普諾夫方程,,,可得,求得,為使原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的,,,矩陣,P,須為正定。,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(,21/21)—,例,5-10,采用合同變換法,,,有,從而得到,P,為正定矩陣的條件,即,,0<,k,<6,,,由上例可知,,,選擇,Q,為某些非負定矩陣，也可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性,,,益處是可使數學運算得到簡化。,,