《第講機(jī)械振動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本概念》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《第講機(jī)械振動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本概念（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第43講：機(jī)械振動(dòng) 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本概念 內(nèi)容：14-1, 14—2 1 .簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) （50分鐘） 2 .描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量 （50分鐘） 要求： 1 .掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征量 一一振幅、周期、頻率、相位的物理意義, 并能熟練地確定振動(dòng)系統(tǒng)的特征量，從而建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程； 2 .掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量方法與圖示法的特點(diǎn)， 并會(huì)應(yīng)用于簡(jiǎn)諧 運(yùn)動(dòng)規(guī)律的討論與分析。 重點(diǎn)與難點(diǎn)： 1 .簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程； 2 .振幅與初相位的確定； 作業(yè)： 問(wèn)題：P35: 1, 2, 7, 8 習(xí)題：P37: 2, 5, 8, 11 預(yù)習(xí)： 14-3, 14

2、-4, 14-5 第43講 機(jī)械振動(dòng)一一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本概念 第十四章機(jī)械振動(dòng) 引言： 1 .什么是振動(dòng)(Vibration) 振動(dòng)是自然界和工程技術(shù)領(lǐng)域常見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)，廣泛存在于機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電 磁運(yùn)動(dòng)、熱運(yùn)動(dòng)、原子運(yùn)動(dòng)等運(yùn)動(dòng)形式之中。從狹義上說(shuō)，通常把具有時(shí)間周 期性的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為振動(dòng)。如鐘擺、發(fā)聲體、開(kāi)動(dòng)的機(jī)器、行駛中的交通工具都有 機(jī)械振動(dòng)。廣義地說(shuō)，任何一個(gè)物理量在某一數(shù)值附近作周期性的變化，都稱(chēng) 為振動(dòng)。變化的物理量稱(chēng)為振動(dòng)量，它可以是力學(xué)量，電學(xué)量或其它物理量。 例如：交流電壓、電流的變化、無(wú)線(xiàn)電波電磁場(chǎng)的變化等等。 2 .什么是機(jī)械振動(dòng)(Mechanical Vibra

3、tion) 機(jī)械振動(dòng)是最直觀(guān)的振動(dòng)，它是物體在一定位置附近的來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)， 如活塞的運(yùn)動(dòng)，鐘擺的擺動(dòng)等都是機(jī)械振動(dòng)。 3 .研究機(jī)械振動(dòng)的意義 不同類(lèi)型的振動(dòng)雖然有本質(zhì)的區(qū)別，但是僅就振動(dòng)過(guò)程而言，振動(dòng)量 隨時(shí)間的變化關(guān)系，往往遵循相同的數(shù)學(xué)規(guī)律，從而使得不同本質(zhì)的 振動(dòng)具有相同的描述方法。 振動(dòng)是自然界及人類(lèi)生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)常發(fā)生的一種普遍運(yùn)動(dòng)形式，研究 機(jī)械振動(dòng)的規(guī)律也是學(xué)習(xí)和研究其它形式的振動(dòng)以及波動(dòng)、無(wú)線(xiàn)電技 術(shù)、波動(dòng)光學(xué)的基礎(chǔ)。 4 .機(jī)械振動(dòng)的特點(diǎn) (1)有平衡點(diǎn)。 (2)且具有重復(fù)性，即具有周期性。 5 .機(jī)械振動(dòng)的分類(lèi) (1)按振動(dòng)規(guī)律分：簡(jiǎn)諧、非簡(jiǎn)諧、隨機(jī)振動(dòng)

4、。 (2)按產(chǎn)生振動(dòng)原因分： 自由、受迫、自激、參變振動(dòng)。 (3)按自由度分： 單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)振動(dòng)。 (4)按振動(dòng)位移分：角振動(dòng)、線(xiàn)振動(dòng)。 (5)按系統(tǒng)參數(shù)特征分：線(xiàn)性、非線(xiàn)性振動(dòng)。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最基本的振動(dòng)，存在于許多物理現(xiàn)象中。本章主要研究簡(jiǎn)諧振 動(dòng)的規(guī)律，也簡(jiǎn)單介紹阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振等。 本章內(nèi)容有： 14—1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 14-2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期(頻率)與相位 14—3旋轉(zhuǎn)矢量 14 — 4單擺與復(fù)擺 14—5簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量 14—6簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 14—7阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振 14- 1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) Simple Harmonic V

5、ibration 在一切振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單和最基本的振動(dòng)稱(chēng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)量按正弦函 數(shù)或余弦函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化。任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)都可以看成是若干簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 的合成。本節(jié)以彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本概念： 1M 1 .彈簧振子： 輕質(zhì)彈簧（質(zhì)量不計(jì)）一端固定， 另一端系一質(zhì)量為 m的物體，置于光 ㈤ 滑的水平面上。物體所受的阻力忽略 ’ 不計(jì)。設(shè)在 。點(diǎn)彈簧沒(méi)有形變，此處 物體所受的合力為零，稱(chēng) 。點(diǎn)為平衡 位置。系統(tǒng)一經(jīng)觸發(fā)，就繞平衡位置 作來(lái)回往復(fù)的周期性運(yùn)動(dòng)。這樣的運(yùn) 動(dòng)系統(tǒng)叫做彈簧振子（harmonic Oscillator 2 .

6、彈簧振子運(yùn)動(dòng)的定性分析： 考慮物體的慣性和作用在物體上的彈性力: B 一。彈性力向左，加速度向左，加速， O 一 C:彈性力向右，加速度向右，減速， C 一。彈性力向右，加速度向右，加速， O 一 B:彈性力向左，加速度向左，減速， 物體在B、C之間來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)。 結(jié)論：物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件： [ I I ? 4 ! 1 1 ）,它是一個(gè)理想化的模型。 。點(diǎn)，加速度為零，速度最大; C點(diǎn)，加速度最大，速度為零; 。點(diǎn)，加速度為零，速度最大; B點(diǎn)，加速度最大，速度為零。 物體的慣性 阻止系統(tǒng)停留在平衡位置 9 作用在物體上的彈性力一一驅(qū)使系統(tǒng)回復(fù)到平衡位置 二、

7、彈簧振子的動(dòng)力學(xué)特征： 1 .線(xiàn)性回復(fù)力 IAWvW 分析彈簧振子的受力情況。 取平衡位置。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為X軸 的正方向。由胡克定律可知，物體m （可視為質(zhì)點(diǎn)）在坐標(biāo)為x （即相對(duì)于。點(diǎn)的 位移）的位置時(shí)所受彈簧的作用力 為 f=-kx 式中的比例系數(shù) k為彈簧的勁度 系數(shù)（Stiffness）,它反映彈簧的固 有性質(zhì)，負(fù)號(hào)表示力的方向與位移 的方向相反，它是始終指向平衡位置的。離平衡位置越遠(yuǎn)，力越大；在平衡位 置力為零，物體由于慣性繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。這種始終指向平衡位置的力稱(chēng)為回復(fù)力。 2 .動(dòng)力學(xué)方程及其解 根據(jù)牛頓第二定律， f=ma 可得物體的加速度為 對(duì)于給定

8、的彈簧振子, 2— k m 則上式可以改寫(xiě)為 a m和k均為正值常量，令 2x d 2x dt2 2x d2x dt2 2x = 0 這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程。 三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征: 1 .簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式(運(yùn)動(dòng)學(xué)方程) 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程的解具有正弦、余弦函數(shù)或指數(shù)形式。我們采用余弦 函數(shù)形式，即 x Acos( t ) 這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，式中 A和。是積分常數(shù)。 說(shuō)明： 1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)不僅是周期性的， 而且是有界的，只有正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)或 它們的組合才具有這種性質(zhì)，這里我們采用余弦函數(shù)。 2)考慮三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系 ei cos

9、 i sin ，則x Aei( ‘)。用 復(fù)數(shù)表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算比較簡(jiǎn)單。 減速 加速 減速 加速 2 .簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的速度和加速度 將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分別對(duì) 時(shí)間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得簡(jiǎn)諧運(yùn) 動(dòng)的速度和加速度為 dx v Asin( t ) dt d 2x 2 A ,,、 a ——2 A cos( t ) dt 說(shuō)明： 物體在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位移、速度、加速度都是周期性變化的。 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)不僅是周期性的，而且是有界的 一一只有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或 它們的組合才具有這種性質(zhì)一一采用余弦函數(shù)。 二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)： 1 .從受力角度來(lái)看一一動(dòng)力學(xué)特征 合

10、外力f=-kx與物體相對(duì)于平衡位置的位移成正比，方向與位移的方向相 反，并且總是指向平衡位置的。此合外力又稱(chēng)為線(xiàn)形回復(fù)力或準(zhǔn)彈性力。 2 .從加速度角度來(lái)看一一運(yùn)動(dòng)學(xué)特征 加速度a 2x與物體相對(duì)于平衡位置的位移成正比，方向與位移的方 向相反，并且總是指向平衡位置的。 3 .從位移角度來(lái)看： Wx~~Acos( t )是時(shí)間的周期性函數(shù)。 說(shuō)明： 1)要證明一個(gè)物體是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)， 只要證明上面三個(gè)式子中的一個(gè)即可， 且 由其中的一個(gè)可以推出另外兩個(gè)； 2)要證明一個(gè)物體是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)最簡(jiǎn)單的方法就是受力方析， 得到物體所受 的合外力滿(mǎn)足回復(fù)力的關(guān)系。 例題：一個(gè)輕質(zhì)彈

11、簧豎直懸掛，下端掛一質(zhì)量為 m的物體。今將物體向下拉一 段距離后再放開(kāi)，證明物體將作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 證明：取物體平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為 x軸的正方向，如 圖所示。物體在平衡位置時(shí)所受的合力為零，即 mg-kl=0 (1) 其中mg為物體的重力，l為物體平衡時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量。 在任一位置x處，物體所受的合力為 F=mg-k(x+l) (2) 比較(1)、(2)可得 F=-kx (3) 可見(jiàn)物體所受的合外力與位移成正比， 而方向相反，所以該物體將 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 14-2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期和相位 Amplitude , Period and Frequency , Ph

12、ase of Simple harmonic Vibration 現(xiàn)在我們討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 x=Acos( 31+())中的A、3、cot+ j ())的 物理意義。它們分別是描述諧振動(dòng)的特征量： 振幅、頻率和周期、相位和初相。 振幅、周期和相位等都是描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量。 一、振幅A(Amplitude)一反映振動(dòng)幅度的大小 引入：在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式中，因?yàn)橛嘞一蛘液瘮?shù)的絕對(duì)值不能大于 1, 所以物體的振動(dòng)范圍為 +A與-A之間。 定義：作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。 說(shuō)明：(1)A恒為正值，單位為米(m); (2)振幅的大小與振動(dòng)系統(tǒng)的能量有關(guān)，

13、由系統(tǒng)的初始條件確定。 二、周期T(Period)與頻率(Frequency)一反映振動(dòng)的快慢 1.周期 Period 定義：物體作一次完全振動(dòng)所需的時(shí)間，用 T表示，單位為秒(s)o x Acos( t ) Acos[ (t T) ] 考慮到余弦函數(shù)的周期性，有 T=2 2 因而有 T —— 2 .頻率 Frequency 定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作的完全振動(dòng)的次數(shù)，用V表示，單位為赫茲 (Hz)。 1 T 2 3 .圓頻率 Angular Frequency 定義：物體在2兀秒時(shí)間內(nèi)所作的完全振動(dòng)的次數(shù)，用3表示，單位為弧度 /秒 (rad. s-1 或 s-1)

14、。 2 2 T 說(shuō)明： 1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特性是它的周期性； 2)周期、頻率或圓頻率均有振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)所決定，故稱(chēng)之為固有周期、 固有頻率或固有圓頻率。 3) 對(duì)于彈簧振子， , T 2 m 2 m ■ k 4)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式可以表示為 2 x Acos( t ) Acos(—t ) Acos(2 t ) 三、相位(Phase)一反映振動(dòng)的狀態(tài) 1.相位 質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用該時(shí)刻的位置和速度來(lái)描述。對(duì)于作簡(jiǎn) 諧運(yùn)動(dòng)的物體來(lái)說(shuō)，位置和速度分別為 x=Acos( t+ 汴Dv=-coAsin( t+ ),當(dāng)振 幅A和圓頻率3給定時(shí)，物

15、體在t時(shí)刻的位置和速度完全由 t+來(lái)確定。即t+ 是確定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，稱(chēng)之為相位。 相位(墳+ 4)是決定諧振子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的重要物理量 cot+ 4和A, 3 一起 決定t時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即位移 X,速度V,和加速度a. 在一次全振動(dòng)中，諧振子有不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)， 分別與0?2內(nèi)的一個(gè)相位 值對(duì)應(yīng)。例如： t x V t+ 0 A 0 T/4 A T/2 A T A 0 2 在t=0時(shí)，相位為 也稱(chēng)為初相位，簡(jiǎn)稱(chēng)初相，它是決定初始時(shí)刻物體運(yùn) 動(dòng)狀態(tài)的物理量。對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，開(kāi)始計(jì)時(shí)的時(shí)刻不同，初始狀態(tài)就 不同，與之對(duì)

16、應(yīng)的初相位就不同，即初相位與時(shí)間零點(diǎn)的選擇有關(guān)。 結(jié)論：對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若 A、3、。已知，就可以寫(xiě)出完整的運(yùn)動(dòng)方程， 即掌握了該運(yùn)動(dòng)的全部信息。因此，我們把 A、3、。叫做描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三 個(gè)特征量。 3.相位差： 定義：兩個(gè)振動(dòng)在同一時(shí)刻的相位之差或同一振動(dòng)在不同時(shí)刻的相位之差。 對(duì)于同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、同時(shí)刻的相位差 x1 A1cos( t 1) x2 A2 cos( t 2) 相位差 =(t 2)( t 1) 2 1 即兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在任意時(shí)刻的相位差是恒定的。且始終等于它們的初 始相位差。 說(shuō)明： 1) 0 質(zhì)點(diǎn)2的振動(dòng)超前質(zhì)點(diǎn)1的振動(dòng) 0 質(zhì)點(diǎn)2的振

17、動(dòng)落后質(zhì)點(diǎn)1的振動(dòng) 2) 2k ,k 0,1,2,...., 同相(步調(diào)相同) (2k 1) ,k 0,1,2,...., 反相(步調(diào)相反) 小結(jié)：對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若振幅、周期和初相位已知，就可以寫(xiě)出完整的運(yùn) 動(dòng)方程，即掌握了該運(yùn)動(dòng)的全部信息，因此我們把振幅、周期和初相位叫做描 述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征量。 四、積分常數(shù)A和。的確定： 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 x=Acos( t+ ) 其中圓頻率是由系統(tǒng)本身的性質(zhì)確定的， 積分常數(shù)A和。是求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 的微分方程是引入的，其值有初始條件(即在 t=0時(shí)物體的位移與速度)來(lái)確 定。將t=0代入位移和速度的公式， 即得物體在初始時(shí)刻的位

18、移 X0和初速度V0： x0 Acos v0 A sin 由此可解得 2 Vo tg Vo Xo （或o和2兀）之間; ,般來(lái)說(shuō)有兩個(gè)值，還要有初始條件來(lái)判斷應(yīng) 說(shuō)明： 1） 一般來(lái)說(shuō) 。的取值在一兀和兀 2）在應(yīng)用上面的式子求。時(shí)， 該取哪個(gè)值； 3）常用方法：由A= |x； Vo 然后由 xo Acos 兩者的共同 Vo A sin k=o.72N/m o.o4m處釋放。 ,物體的質(zhì)量為m=2og。 求振動(dòng)方程。 部分求力。 例1： 一彈簧振子系統(tǒng)，彈簧的勁度系數(shù)為 今將物體從平衡位置沿桌面

19、向右拉長(zhǎng)到 解：要確定彈簧振子系統(tǒng)的振動(dòng)方程，只要確定 由題可知，k=o.72N/m , m=2og=o.o2kg , xo=o.o4m , vo= o, 代入公式可得 _ k o.72 , 1 6rad s ,m , o.o2 “2 o2 ” o.o42 2 oQ4m 62 又因?yàn)閤o為正，初速度 因而簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程為： vo = o,可得 o x o.o4cos(6t) (m) 例2.已知某質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng), 振動(dòng)曲線(xiàn)如圖所示, 試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫(xiě)出振動(dòng)表達(dá)式。 解：設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為 x Acos（ t ） 由圖可見(jiàn)：A=2m ,當(dāng)t=o時(shí)，有 xo 2 cos Vo 2 sin (1) (2) 由（1）可得 (2)可知sin o,所以只能取 當(dāng)t=1s時(shí), Xi 2 cos 一 4 (3) 由（3）可得 Vi 2 sin (4) 一，由（4） 2 sin o,取 一一,因而 4 2 3 可得 — 4 所以振動(dòng)方程為 x 2 cos(3 4 (m)