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1、《結(jié)構(gòu)化學(xué)》教案 授課章節(jié) A章量子力學(xué)基礎(chǔ)和原子結(jié)構(gòu) 任課教師 及職稱 劉奉嶺，教授 教學(xué)方法 與手段 多媒體教學(xué) 課時安排 20課時 使用教材和 主要參考書 潘道皚等，《物質(zhì)結(jié)構(gòu)》（第二版）潘道皚等，《物質(zhì)結(jié)構(gòu)》（第二版）； 江元生，《結(jié)構(gòu)化學(xué)》，高等教育出版社，1997 周公度，《結(jié)構(gòu)與物性》（第二版）,高等教育出版社，2000 周公度，段連運，《結(jié)構(gòu)化學(xué)基礎(chǔ)》（第三版），北京大學(xué)出版社，2004 郭用猷，《物質(zhì)結(jié)構(gòu)基本原理》，高等教育出版社，1985 張三慧，《量子物理》（第二版），清華大學(xué)出版社，2000 Ira N.賴文善，寧世光等譯,《量子化學(xué)》，

2、高等教育出版社，1981 徐光憲等，《量子化學(xué)基本原理和從頭計算法 （上）,（中）》，科學(xué)出版社，1981 趙成大，《理論無機化學(xué)》，東北師范大學(xué)出版社,1999 楊宗璐等，《結(jié)構(gòu)化學(xué)問題選講》，科學(xué)出版社，2000 教學(xué)目的與要求： 通過本章知識的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解量子力學(xué)建立的實驗基礎(chǔ)， 掌握《結(jié)構(gòu)化學(xué)》中應(yīng)用的量子力學(xué)基 礎(chǔ)知識；掌握量子力學(xué)處理單電子原子的方法，以及所得到的主要結(jié)果；掌握多電子原子的量子力學(xué)理論 處理方法以及原子軌道的概念；了解電子自旋問題的提出過程，掌握電子自旋的處理方法以及泡利不相 容原理；掌握多電子原子整體狀態(tài)的描述方法，理解原子光譜項的概念及推求方法。

3、 教學(xué)重點，難點： 重點是：量子力學(xué)基礎(chǔ)，單電子原子及多電子原子的量子力學(xué)處理。 難點是：波函數(shù)與幾率密度，薛定謂方程的得來線索，原子體系波函數(shù)的圖形表示，原子軌道的概 念，光譜項及其推求方法。 教學(xué)內(nèi)容： 量子力學(xué)創(chuàng)立的歷史背景是物理學(xué)遇到了無法克服的困難，通過修補經(jīng)典物理學(xué)又不 能完全解決這些困難,因此需要建立一種全新的理論,在這種情況下創(chuàng)立了量子力學(xué)。 本阜 內(nèi)谷分二大部分： 一、量子力學(xué)基礎(chǔ) 二、單電子原子的量子力學(xué)處理 三、多電子原子的量子力學(xué)處理 1 — 1經(jīng)典物理學(xué)的困難和量子論的誕生 1.經(jīng)典物理學(xué)的困難及三個著名實驗 到19世紀(jì)末，經(jīng)典物理學(xué)已經(jīng)很完善

4、，包括牛頓力學(xué)、麥克斯韋電磁理論、玻爾滋曼等 人建立統(tǒng)計力學(xué)等,它們幾乎成功地解釋了當(dāng)時所考慮到的所有的物理現(xiàn)象。 但是，當(dāng)把經(jīng)典物理學(xué)應(yīng)用到高速運動和小線度范圍時 ，結(jié)果卻失敗了。 授課時間 2007年5月 第1到7次課  2 二v W (v,T ) - -2- kT c 普朗克.工 圖1-2德國物理學(xué)家普朗克 (1)黑體輻射實驗一一量子論的引入 實驗證明，在任何溫度下，任何物體都向外發(fā)射各種頻率的電磁波。這種能量按頻率的 分布隨溫度而不同的電磁輻射叫做熱輻射。單位時間內(nèi)從單位表面積發(fā)出的頻率在 v附近單 位頻率區(qū)間的電磁波的能量稱為光譜輻射出射度 ，用w(v,T)

5、表示。維恩從經(jīng)典熱力學(xué)和麥 克斯韋分布律出發(fā)，導(dǎo)出了一個公式，即維恩公式： W(v,T) = : v3exp(— v/T) (1.1-1) 式中5P是常量。這一公式在低頻范圍有較大偏差。瑞利和金斯根據(jù)經(jīng)典電磁學(xué)和能量均分 原理導(dǎo)出的公式為： (1.1-2) 這一公式在低頻范圍還能 符合實驗結(jié)果，但在高頻 范圍內(nèi)相差很遠，甚至趨 向無限大值。當(dāng)時，物理學(xué) 家把這稱為“紫外災(zāi)難”。 經(jīng)典物理學(xué)不能很好 地解釋黑體輻射問題，為 了解釋黑體輻射問題,1900 年德國物理學(xué)家普朗克提 出“能量子”％的概 念：%=hv ,成功地解釋了 黑體輻射問題。 圖1-1黑體輻射的能量分布曲線 2 二

6、h v3 W(v，T)二2-ehv/k「i (1.1-3) 1900年12月14日，普朗克發(fā)表了他根據(jù) 能量子”％的概念導(dǎo)出的黑體輻射公式: 這一公式在全部頻率范圍內(nèi)和實驗都符合。 普朗克的能量量子化的概念第一次沖擊了經(jīng)典物理學(xué)的束縛， 開創(chuàng)了對小線度的微觀粒 子用量子論研究的新時代。 (2)光電效應(yīng)實驗一一愛因斯坦光子學(xué)說提出 1905年，愛因斯坦在光電效應(yīng)基礎(chǔ)上提出了 光子學(xué)說”。 金屬在光照射下發(fā)射出電子的現(xiàn)象，就是光電效應(yīng)。逸出的電子稱為光電子。使電子從 金屬表面逸出所需做的功，稱為逸出功，用 W0表示。實驗發(fā)現(xiàn)： ①對于每一種金屬，只有當(dāng)入射光頻率 v大于一定頻

7、率v。時，才能得到光電效應(yīng)。頻率 v。是金屬的特性。 ②光電子的動能與入射光的頻率有如下關(guān)系： Kmax =h(v-v。) (1.1-4) 式中h是普朗克常數(shù)，v為入射光頻率。 ③單位時間單位面積上發(fā)射的光電子數(shù)與入射光頻率無關(guān) ，但與入射光強成正比。 經(jīng)典物理學(xué)無法解釋光電效應(yīng)。因為，經(jīng)典物理學(xué)認為，光的能量與光的強度成正比 當(dāng)光的強度足夠大時，就應(yīng)該有光電子逸出，并且光電子的動能應(yīng)該與光的強度成正比。事 實上，實驗結(jié)果卻不是這樣。為此，愛因斯坦在普朗克量子論的基礎(chǔ)上提出了他的光子學(xué)說。 愛因斯坦光子學(xué)說的主要內(nèi)容為： ⑴光是由光子組成的,每個光子的能量oo=hv (2)光的

8、強度取決于單位體積內(nèi)的光子數(shù)。 (3)光子的動質(zhì)量和動量分別為： _ 0 hv h _ h m = 2 = 2 ; p = mc = (1.1-5) c c c (4)光子與電子之間的相互作用服從能量守恒和動量守恒定律。 根據(jù)光子學(xué)說可以很好地解釋光電效應(yīng)。因為 ，金屬表面上的電子吸收一個光子后，這 個光子的能量被電子吸收。當(dāng)光子的能量大于電子的逸出功時 ，除克服逸出功外，剩余的能 量就轉(zhuǎn)變成了電子的動能，可用下面的公式表示： 1 2 ”-、 hv m W0,W0 = hv0 (1.1-6) 2 光的強度與光子數(shù)的多少成正比，因此光的強度越大，光電流也越大。 (3)氫原子

9、光譜一一玻爾原子結(jié)構(gòu)理論的建立 宇宙中最多元素是氫。因此，氫光譜很早就引起了人們的重視。下圖是實驗上得到的氫 光譜圖。 線索限‘ 紫外——可見 ” 圖1-3氫原子光譜示意圖 35 圖1-4玻爾 1885年，巴耳末把當(dāng)時已知的氫原子的光譜線歸納成一個公式，該公式被里德堡用波數(shù) 表示出來后，成為 ~ =1 = Rh號-；)n =3,4,5，… (1-7) 2 n 式中RH稱為里德堡常數(shù)，數(shù)值為RH =1.096776Ml07m 020世紀(jì)初，又在遠紫外區(qū)發(fā)現(xiàn)了許 多譜線，公式(1-7)推廣為： ?1 二 1 1 ~ Rh ( 2 一 2) n2 - n1

10、1 (1-8) R n2 為了解釋氫原子光譜的實驗結(jié)果，1913年，玻爾在盧瑟福原子結(jié)構(gòu)模型和量子論的基礎(chǔ) 上，提出了三大著名假說并用來研究氫原子光譜. (1)原子存在具有確定能量的穩(wěn)定態(tài)(簡稱定態(tài))，定態(tài)中的原子不輻射能量。能量最低的 定態(tài)是基態(tài)，其余定態(tài)是激發(fā)態(tài)。 (2)運動電子的角動量是量子化的，其值是nh/2n。 (3)只有當(dāng)電子從一個定態(tài)E2躍遷到另一個定態(tài)E1時，才放出或吸 收輻射能(光)。其頻率滿足： (1-9) |E2 - E1 | v 二 h 公式(1-9)被稱為玻爾頻率規(guī)則。 玻爾得出處理氫原子體系的兩個方程 _ 2 2 . (1-10) mv

11、 e nh 2, M = = mvr r 4兀；0r 2冗 求解上式得到 和2 - 2 Ttme n2 =52.9n2(pm) =0.529n2(A) En 8二；0r 4 me 1 2 2 2 = -13.6-2 eV 80h2n2 n2 (1-11) h2 其中，a。=3—z = 52.9(pm) =0.529(A)稱為玻爾半徑。將(1-11)式的能量表達式代入(1-8)式, 二 me 求出里德堡常數(shù)Rh為Rh =1.09737x107m-1,與實驗值基本一致。實際上，考慮到電子是繞 體系的質(zhì)心而不是繞原子核旋轉(zhuǎn)的事實，將電子質(zhì)量m用約化質(zhì)量

12、口 =上^代替，將得到 m M 非常符合實驗值的結(jié)果?？梢姡柪碚摵芎玫亟忉屃藲湓庸庾V問題。 但當(dāng)進一步研究氫原子光譜的精細結(jié)構(gòu)和多原子光譜時，卻遇到了無法克服的困難。由 此可見，必須創(chuàng)建完全嶄新的物理理論。 20世紀(jì)20年代，一門嶄新的學(xué)科一一量子力學(xué)建立起來了。 2.物質(zhì)波”概念的提出 1924年，法國物理學(xué)家德布羅意，在愛因斯坦光子學(xué)說的基礎(chǔ)上，運用類比的方法，提 ,又具有波的性質(zhì)，這就是實物微 (1-12) 該關(guān)系式給出了物質(zhì)波波長的 出了物質(zhì)波”的概念。他認為：實物粒子既具有粒子的性質(zhì) 粒的波粒二象性。聯(lián)系波粒二象性的公式是： h -hv, p =— 0

13、 將(1-12)式變換，得到九=0 =舟,這就是德布羅意關(guān)系式 計算方法。根據(jù)該式計算得到的波長和實驗結(jié)果是 否符合呢？ 3 .物質(zhì)波”實驗證明及統(tǒng)計解釋 物質(zhì)波的假設(shè)，1927年分別被戴維遜一革末的 電子束在Ni單晶上的反射實驗和湯姆遜的電子衍 射實驗所證實。 戴維遜一革末的實驗示意圖見圖1-5。 物質(zhì)波波長的理論計算值： =h/p E 動能二mv2/2=p2/2m 所以，p=(2mE)1/2, 54eV 的電子動量為：p=(2mE)1/2=3.97X 10-24kg m/s, =h/p=0.167nm。 物質(zhì)波波長的實驗測定值： 波在兩相鄰晶面上的衍射公式為：

14、=2dsin? 根據(jù)該公式求出=0.165nmo可見理論與實驗相當(dāng)符合。說明物質(zhì)波的假設(shè)是正確的。 微觀粒子具有波動性，微觀粒子性和波動性如何聯(lián)系到一起呢 ？為此玻恩提出了物質(zhì)波 的統(tǒng)計解釋。統(tǒng)計解釋認為：空間任意一點波的強度與粒子在該點出現(xiàn)的幾率成正比 。 請注意:微觀粒子的波動性是微觀粒子的本性，不是粒子之間相互作用的結(jié)果。但物質(zhì)波 也表現(xiàn)出波的相干特性。 圖1-6電子衍射圖像 4 .波粒二象性的必然結(jié)果——不確定關(guān)系” 電子衍射示意圖如右圖。上述 下面通過電子束的單縫衍射來說明不確定關(guān)系”的存在 單縫衍射的光程差（當(dāng)l >>d時）為： d =d sina

15、 =九（電子的波長） 時發(fā)生衍射相消，因此可以求出sino（為： , 九 sin 二 動量在x軸上的分量px為: 0 - Px - P sin_： 動量在x軸上是不確定的，其不確定程度為： - - h px = p sin — sin 二 九 電子在通過單縫時，其在x軸上位置的不確定程度為 x = d 因此由于實物微粒具有波動性，其位置與動量不可能同時具有確定值， 它們的不確定性 滿足下面關(guān)系： h lx「px d ^h 該關(guān)系是海森堡提出來的.量子力學(xué)中，不確定關(guān)系”的精確表達式應(yīng)為： 同‘蒼注意：不但位置與動量,其它一些力學(xué)量也滿足這一關(guān)系,如能量 4

16、二 與時間等。即： |ie| |At|>h （應(yīng)為巾4町 （1-14） 目前人們已經(jīng)認識到，不確定關(guān)系”是微觀世界的基本規(guī)律，它不是實驗儀器精度不夠 造成的。不確定關(guān)系”給出了同時測定兩個相關(guān)力學(xué)量的限制，但要精確測定一個力學(xué)量不 受 不確定關(guān)系”的限制。 本節(jié)需要掌握的知識 1 .概念：能量量子化，光子，玻爾規(guī)則，物質(zhì)波，物質(zhì)波的統(tǒng)計解釋，不確定關(guān)系” 2 .理論：根據(jù)光子學(xué)說解釋光電效應(yīng)，玻爾理論研究氫原子光譜，實驗如何驗證物質(zhì) 3 .計算：有關(guān)物質(zhì)波波長的計算，氫原子光譜的計算，有關(guān)不確定關(guān)系”的計算。 本節(jié)作業(yè) 1.思考：第 1,2 兩題；2.將第 16, 17,

17、19(a),(d),(e), 20(b),(c), 21,23, 24題做到作業(yè)本上 1-2實物微粒運動狀態(tài)的表示方法及態(tài)疊加原理 1 .波函數(shù)中 經(jīng)典力學(xué)描述質(zhì)點的運動可以用坐標(biāo)、動量等力學(xué)量，知道某一時刻力學(xué)量的值就可以 求得另一時刻的值。 對于微觀粒子來說，由于具有波動性，上述運動狀態(tài)表示方法不適用 ，必須尋找新方 新的表示方法應(yīng)該能夠描述微觀粒子的波動性。微觀粒子波動性的統(tǒng)計解釋是 ：空間任 意一點波的強度與粒子在該點出現(xiàn)的幾率成正比。對于電磁波 ，是用電場或磁場強度 U(x,y,z,)來描述,|U(x,y,z,t)|2代表t時刻x,y,z點電磁波的強度。如果是微觀粒子的

18、波動性，仿 照電磁波的描述方法，也應(yīng)該可以用一個函數(shù)來描述，這個函數(shù)表示為中(x,y,z,),稱為波函 數(shù)。與電磁波類似 呼(x,y,z,t)|2應(yīng)正比與物質(zhì)波的強度，即正比與粒子在t時刻x,y,z點單位體 積內(nèi)出現(xiàn)的幾率。 對于化學(xué)上的穩(wěn)定狀態(tài) 悍(x,y,z,)|2應(yīng)該與時間t無關(guān)，這時波函數(shù)可以用y (x,y力表示， 這樣的狀態(tài)稱為定態(tài). 2 .波函數(shù)的性質(zhì) |叼2二甲*^」里審(注意甲 色與甲？呸同)，V*是甲的復(fù)共腕函數(shù)，由甲求V*的 方法是：將甲中i(虛數(shù))前面的符號改變，即若原來是正號變?yōu)樨撎枺粼瓉硎秦撎栕優(yōu)檎?號。 如：{(2i+4x)exp(—ih)}*= (―2i

19、+4x)exp(ih)(1)合格波函數(shù) 里的條件 ①連續(xù)：似其對空間坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)必須連續(xù)。 ②單值：可在空間一點只能取一個數(shù)值。 ③有限或稱為模的平方可積，即|甲2|是可積的。 (2)皿與甲描述相同的狀態(tài)如測量100次不同空間 區(qū)域出現(xiàn)的次數(shù) 出現(xiàn)的幾率(正比與［叼2)為 測量1000次不同空間 區(qū)域出現(xiàn)的次數(shù) 出現(xiàn)的幾率(正比與［叼2) 可見上述實例說明c與甲描述的狀態(tài)，幾率密度相同，具有相同的物理意義，是同一個 狀態(tài)。 這樣描述同一個狀態(tài)的波函數(shù) c有很多個，如何統(tǒng)一？這就是波函數(shù)的歸一化。波函 數(shù)的歸一化： 即對于函數(shù)c求出系數(shù)c,使下式成立： (1-15) fl

20、c^ 12 dt = 1 可求得系數(shù) 1 C= . r _,由于中歸一化 二C 得到歸一化波函數(shù)為：中歸一化= 「2d 例題： 1 .下列函數(shù)滿足合格波函數(shù)(即品優(yōu)函數(shù))條件的是 ①(―oo

21、 2 1 =[A dx = A 2n = 1 得中(x) = , exp(im x) 0 ■, 2 二 3 .自由粒子波函數(shù)——德布羅意波函數(shù) 自由粒子是不受任何外界力場作用的粒子。 對自由粒子來說，它的總能量名和動量p是常數(shù)，物質(zhì)波的波長K=h/p和頻率V也是常 數(shù)。在波動學(xué)中，凡頻率和波長都有確定值的波動稱為簡諧波。三角函數(shù)形式的波函數(shù)為 ： x . x (x,t) = Acos2n (- - vt)或丫 (x, t) = Asin 2n(丁 一式) 九 九 轉(zhuǎn)化成指數(shù)函數(shù)形式為： x x x ■ (x,t) ^Aexp{2-：i(- t)}=Acos2二(一t) iA

22、sin2二(1 t) (1-16) /u Aj /u 將V=8 /h, z=h/p代入簡諧波的波函數(shù)(1-16)式中，得到一維空間中運動的自由粒子波函數(shù) ^p(x,t) =Aexp{2p-(px x-st)} (1-17) x h 三維空間中運動的自由粒子波函數(shù)： (1-18) 一 2」「J- p(r，t)=Aexp{V(pr-；t)} 上式中：p r = pxx pyy pzZ 4.態(tài)疊加原理 如果凡(i=1,2,…⑴描述微觀體系的n個可能狀態(tài)，則有它們線性疊加所得波函數(shù) n :=二 Q-；i (1-19) i 1 也描述這個體系的一個可能狀態(tài)，這就是量子力學(xué)的最

23、基本原理一一態(tài)疊加原理。 本節(jié)需要掌握的知識 1 .概念：波函數(shù)，定態(tài)波函數(shù)，合格波函數(shù)的條件，自由粒子，態(tài)疊加原理 2 .理論及計算：波函數(shù)的歸一化方法及具體計算，合格波函數(shù)的判斷，自由粒子波函數(shù) 的形式 本節(jié)作業(yè)： 課下思考p144第三題。 3實物微粒的運動規(guī)律 ——薛定謂方程薛定川：奧地利理論物理學(xué)家，波動力學(xué) 的創(chuàng)始人。1887年8月12日生于維也納。1910年獲得維也納大學(xué)博士學(xué)位。1926年1?6 月，他一連發(fā)表了四篇論文，題目都是《量子化就是本征值問題》，系 統(tǒng)地闡明了波動力學(xué)理論。1933年，薛定川與P狄拉克共同獲得諾 貝爾物理學(xué)獎。 1944年，薛定川還發(fā)

24、表了《生命是什么？》一書，使薛定川成了 今天蓬勃發(fā)展的分子生物學(xué)的先驅(qū)。 1961年1月4日，他在奧地利的阿爾卑巴赫山村病逝。 1.定態(tài)及含時薛定謂方程的得來線索 自由粒子波函數(shù)具體形式為： .2 二 i 1 1 Pp(r,t) =Aexp{ Jp r - t)} h 將p t = px x + py y + pz z 代如上式得： Pp(x,y,x,t) = Aexp{—(pxx pyy PzZ- t)} h 將(1-20)式兩邊對x求一階導(dǎo)數(shù)，可以得到： cW 2ni f2ni, - - f 2由 皿 Px Aexp{--( p r - St)} =-- PxW x

25、h h h 將(1-21)式兩邊對x再求一階導(dǎo)數(shù)，得： , 2 . 2 二 「 2二i 2 2：i 4二 2一 —2 =(——Px) Aexp{——(p r-；t)}=- 2 Px" :x h h h 茸定博，E. 1-7物理學(xué)家薛定川 (1 - 20) (1-21) (1-22) 同理得: ■ 2二 i 2 .2 二i 、 4二 2 2=( py)2 Aexp{ (p r - ；t)} = - . p2彳 .:y h h h .：2P 2：i 、2 〃 2：i, … 4二2 2 一2 二(—pz) Aexp{一(p r- ；t)}=-「2 pz甲 :z h

26、h h (1-23) (1-24) 2 2 2 2 d w d w d w 4n / 2 ^2― 7-2- 2- = 721 ( px x cy 二z h 2 2 "y "z浬 2 2 2 2 2 2 2 h 6甲3甲 a W px+py + pz c 2 ( 2 2 - 2 )= 8二 m 二x 二y 二z 2m 2 2 2 px py pz 2m 2 p = e 口2 2m kin, h2 c 得：一訴▽手=&n中 (1-25) (1 - 26) (1 - 27) 將(1-22),(1-23),(1-24)三式相加后,整理得: (1-27

27、)式就是自由粒子所滿足的微分方程。 對處于勢能為V(x,y,z)的勢場運動的粒子，將(1-27)式兩邊加上V(x,y,zN,得: (1-28)由于 E=Ekin+V,考慮 h2 2 [一百寸 +V(x,y,z膽=(Ekin+V涯 到甲=中exp(—也~E)式(1-28)整理得: h h2 2 ，2m-V(x,y,z)「E (1-29) (1-29)式就是著名的定態(tài)薛定諸方程。可用它來研究定態(tài)問題。令(1-20)式中的8=E,得: , 、 A , 2 ? . i , __、、 Vp(x, y,x,t) =Aexp{——(p r - Et)} h (11)兩邊對t求一階

28、導(dǎo)數(shù)，得： (1-30) ft 整理得: ,2 i -- E Aexp{2-L(p r - Et)} h h EP 2二 i JLe甲 h (1-31) 2 i ft (1 - 32) 比較(1-29)和(1-32)兩式，得含時薛定川方程 (1 - 33) [-上〒2 8m (1-33)式中,施= 光子的躍遷幾率等， 。用含時薛定川可以來處理非定態(tài)問題 結(jié)果證明含時薛定川方程是正確的0 ,例如有關(guān)原子、分子輻射或吸收  2.實例一一在勢箱中運動的粒子 k 0 當(dāng) 0 l 由于勢箱

29、外中=0,所以不必求解薛定川方程。勢箱內(nèi) V(x)=0得薛定tf方程： 二0 V ) 6 V(x) V=0 =0 V > Q0 2 d 2 ■ - d 2 = E; 2m dx (1-34) (1-34)式，是典型的二階常系數(shù)微分方程，求解可得到： 中(x) =Acos($2mEx) +Bsin( j2mEx),代入邊界條件得: (0) = Acos(0) Bsin(0) =0, A = 0 中(l) =BsinH12mE；)=0, B=0,sin(歷mE：) =0 x= x= 邊界條件：1(0)= > (l)=0 可以得到：2mEl- =n：,=

30、mE Fl Ft 根據(jù)上式得能量及波函數(shù)： n2h2 En=8ml2「(x)=Bsin( )(n= 1,2,3,……) 討論：n的取值為什么是(n=1,2,3, ????)? 將波函數(shù)歸一化，求得常數(shù)B: 0,(x)|2dx = B2 0sin2(n^x)dx =1,得：B = 這樣得到一維勢箱薛定川方程解的具體形式是 En n2h2 8mlL (x) = . 2 sin( )(n=1,2,3,…) 解的討論： (a)能量： 從一維勢箱體系的能量表達式可以看出能量與 m、l之間的關(guān)系。另外該體系的最低能 一—一 h2 量不是0,而是：-=奇，該能量稱為零點能

31、 注意：零點能是一種量子力學(xué)效應(yīng)。 能 級n+1與n之間的能量差為：Ei-En 一 2 {( n 1) - n 8ml2 2t ,=2n，從上式可以看出 經(jīng)典力學(xué)與量 8ml 子力學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系。 ?為什么有機共腕體系越大，體系的最大 討論：為什么對宏觀物體可認為能量是連續(xù)的 吸收波長越長？ (b)波函數(shù)： 波函數(shù)及幾率密度的圖示見教材 44頁。一維勢箱波函數(shù)的節(jié)點及節(jié)點數(shù) 節(jié)點：除邊界條件（這里即x=0和x=l）外，其它x使中（x）= 0的點稱為節(jié)點。從波函數(shù)圖示 可以看出，一維勢箱的節(jié)點數(shù)與n的關(guān)系是：節(jié)點數(shù)=n- 1。因此，節(jié)點數(shù)越多，所對應(yīng)波函 數(shù)的能

32、量越高。 (1-35) 注意：對一維空間中運動粒子波函數(shù)的 節(jié)點，在二維空間中對應(yīng)節(jié)線，三維空間中對應(yīng) 節(jié)面。波函數(shù)的正交性（一般表達式）： [「md. = m,；nd. =0 對一維勢箱波函數(shù)來說,表達式為（mw n）: 工t： * 1-n1-md.= T l * 2 l n 二x m 二x 0 - n- mdx-l 0sin( l )sin( —)dx 2 l 1 (m -n)r：x. / =「02[cos(——l——) - cos( (m n)二 x )]dx = 0 *二 mn 正交歸一性條件的統(tǒng)一表達 (1-36) 第n是克羅內(nèi)克符

33、號，其意義是: 、’mn (m 二 n) (m = n) (1-37) 練習(xí)題： 計算下列積分： l 0sin( 2 二x 2 二x —)sin(-)dx = l - x 2 . x 0sin( l )sin( l )dx = 2 l 一 !. sin( l 0 )sin( )dx = 1 2 l ? 2二x、. / -0sin(--)sin( g、3m 量子力學(xué)中的隧道效應(yīng)問題： V(x) V=0 E

34、 STM的原理及掃描圖象示意圖 在經(jīng)典力學(xué)中,若勢阱中粒子的總能量 E小于勢阱的高度 V=c,這時粒子不可能跑到勢 阱外面。但在量子力學(xué)中，同樣情況時，由于粒子具有波動性，通過理論計算可以證明，粒子 可以出現(xiàn)在勢阱外。掃描隧道顯微鏡STM就是根據(jù)量子力學(xué)中的隧道效應(yīng)研制成功的。 三維勢箱問題： 三維勢箱內(nèi)質(zhì)量為 m的粒子其薛定川方程為： h2 8二2m(改2 1彳-彳 2 2)= EP y 二z (1-38)方程(1-38)可以采用 分離變量法求解。這時令 中(x,y,z)=X(x) Y(y) 2(z)代如(1-38)式可以通過分離變量得到與一維勢箱薛定川

35、方 程類似的三個方程，求解這三個方程得到能量和波函數(shù)。三維勢箱的能量及波函數(shù)如下 Enxnynz ,2 2 h C ( 2 8m a 2 2 ny nz 22) (nx,ny,nz =1,2,) c nxnynz 8 nx~ x ny (x, y,z) ="obcsin(-a-)sin(一 y nz二 z )sin( z-) c 當(dāng)a=b=c時，成為立方勢箱，這時能量: h , 2 2 2、 Enxnynz 2 ( nx n y nz ), ( nx, n y , nz =1,2, ) 8ma 由立方勢箱能量及波函數(shù)的表達式可知： h2 2 2 2、

36、 Enxnynz 2 (nx ny nz )(乩,心,G=1,2,) 8ma 8 nxr： x ny二 y nz 二 z nxnynz (x, y, z) = 3 sin( ) sin( ) sin( ) ；,a a a a 雖然中112W%21W里211，但Eii2= Ei21= E2II,象這樣一個能級對應(yīng)兩個或兩個以上的狀態(tài)，稱 此能級為簡并能級，相應(yīng)的狀態(tài)為簡并態(tài)，簡并態(tài)的數(shù)目稱為簡并度。由此可知，與對應(yīng)能 級E112的簡并度為3。 練習(xí)題： 3h2 2 8ma 9h2 2 8ma 11h2 8ma2 12h2 2一 8ma 與下列立方勢箱能量對應(yīng)的能

37、級是否簡并 ？如果簡并，簡并度是幾？分別對應(yīng)什么狀態(tài)？ 不簡并，對應(yīng)-111 簡并，對應(yīng)中221 =中212=^122 簡并，對應(yīng)上13=^131 =中311 不簡并，對應(yīng)中222 波函數(shù)及幾率密度立體圖的問題： 二維勢箱波函數(shù) 巴2和中21為: 咒2(x, y)=，宗$訪(：)$訪 ,。(x,y) =J：sin(空)sin(?) I ab a b 它們對應(yīng)的立體圖如下 y (a) 圖1-10二維勢箱波函數(shù) (b) %2和521的立體圖 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，可以看出求解薛定川方程應(yīng)注意的問題是 1 .確定V,寫出薛定川方程并確定如何求解； 2 .確定并運用邊界條

38、件； 3 .能量量子化如何由V及邊界條件自然得出； 4 .波函數(shù)的正交歸一性問題； 5 .能量高低與節(jié)面數(shù)的關(guān)系； 6 .零解的出現(xiàn)及消除； 7 .簡并問題。 本節(jié)需要掌握的知識 1 .概念：定態(tài)薛定川方程，含時薛定川方程，勢箱，能級，正交歸一性條件，節(jié)點(節(jié)面), 簡并度，簡并狀態(tài)，簡并數(shù)，零點能 2 .理論：了解薛定川方程的得來線索，能寫出并求解一維勢箱的薛定川方程，理解波函 數(shù)及幾率密度立體圖的意義 3 .計算：一維勢箱波函數(shù)的正交歸一性計算，用一維勢箱模型討論共腕體系電子躍遷 問題。 本節(jié)作業(yè) 1 .課下自己思考：p144,第4, 5兩題 2 .將第22, 2

39、5題做到作業(yè)本上。 4定態(tài)薛定調(diào)方程的算符表達式 1.算符及力學(xué)量的算符表示: 若令 H?二 h2 8 二 2m -2 \ 2 V - - 、，2 V 2m (1-39) 則定態(tài)薛定諸方程可寫為： H?J = E1- 密頓算符。什么是算符呢？ (1-40)上式中,H?被稱為哈 方程呢？ 本征方程: imx (1)e (2)3x3 y2z (3)cos5x sin5x (4) coS2x sinmx 所謂算符就是指對一個函數(shù)施行某種運算(或動作)的符號，如J, log,且等都是算符。 dx 對任意算符A?,作用到函數(shù)f1上，一

40、般得到： Af1 = f2f2是與f1不同的函數(shù)。例如： ■d-(3x6+6y2x+2)=18x5+6y2有一種特殊情況就是 本征方程。什么是本征 dx 滿足下式的方程 Af1 =afe是該本征方程的本征值,f1是算符反的本征函數(shù),上述方程就是 本征方程。 d2 練習(xí)題：下列函數(shù)哪些是算符 d 2-的本征函數(shù)？若是求出本征值。 dx2 是，本征信為 不是 是，本征信為 25 討論: m = 2和0時是，本征值為 4; 否則不是 根據(jù)見p146: 26, 27題討論什么是線性算符？什么是厄米算符？什么是線性厄米算符？ 在量子力學(xué)中每個力學(xué)量對應(yīng)一個線性厄米算符

41、，力學(xué)量算符的表達式如何寫出呢？ (1)時空算符就是它們自己： ? = x,y?= y,?=z,? = t(2)動量算符定義為： Q(x, y, z, Px, Py, =吊且，？z=吊色(3)任意力學(xué)量Q的算符表達式為： 二 y 二 z ,Pz,t)= Q(x,y,z,-/,-/9,_/邑,t)例如，動能算符的寫法： ；x ；:y ；z 在經(jīng)典力學(xué)中，動能可以用動量來表示： 2 2 2 1 2 Px Py Pz Ekin = J 2 2m 將動量算符的形式代入上式，得到動能算符為： ?y + 2m 2m(*2 .=；{( 〃!)2+(342十(，42} 2m 6

42、3 C 勢能是空間坐標(biāo)的函數(shù)， -2 .2 -2 . — .—)=_ 1 2 2 -2 一y 二z 2m 即：V = V(x,y,z)。因此，勢能算符與它原來完全一樣：V？(x, y,z) =V(x, y,z)。角動量算符的寫 法: Px y Py Pz -(ypz-zpy)i (zpx-xpz)j (xpy-ypz)k 2 2 2 =Mx My Mz, M =M M = Mx My M 練習(xí)題: 因此:M?* = -i (y"z” M?z (x— y-) -i( z；x-x；z)， y M2 -2{(y二-zj)2 z y 1.函數(shù)sin(6x)是否

43、是算符 —, dx x (z - x - 2 - - 2 - _x-) (x--y-) } d 2 ■dr的本征函數(shù)，若是求本征值. dx2 3.下列算符，哪些是線性算符log, dX, ^sin, cos, H? 2.力學(xué)量平均值的求法 對于一個力學(xué)量算符(?,當(dāng)體系處于狀態(tài)+n時，若滿足方程：的n=QMn 則測量力學(xué)量Q時，一定得到測

44、量值Qn. 根據(jù)態(tài)疊加原理,若以(i=1,2,……描述體系的可能的狀態(tài),則甲= c^i仍然描述體系 的可能的狀態(tài).這時若測量力學(xué)量Q會得到什么值呢？ 因為：Q?中=Q?Z cWi = Qc* =QiG+i +Q2c2中2 十…十Qic^i 十所以會得到 Qi, Q2, - Qn i 1 i 1 中的某一個值。 對于處于任意狀態(tài)中時，力學(xué)量Q的平均值是多少呢？可采取下面的公式計算： * , Q = * (1-41) 若干是歸一化的，則上式變?yōu)椋? (1-42) * 一 q =性d4 可根據(jù)情況，分別用(1-41),(1-42)兩式來計算力學(xué)量的平均值。 如體系處于W=Z

45、 cyi的狀態(tài)，且，(i =1,2,……是正交歸一化的，同時中又是歸一化， i 1 根據(jù)(2)式求出力學(xué)量Q的平均值為： * Q = aQKt=J(Z cWi)d( G%)dT = J② G巴)② Cig)M i W i =1 i 1 i 1 =』( Ci^i) (Z GQi中i)d^ =c1h1+辰包2 + =Z |ci『Qi i 1 i=1 i=1 例如，對一維勢箱中的粒子，若處于: 1 , , + 2+][1匕狀態(tài)，求該粒子能量的平均值.這里巴，七，匕 > 6 分別是能級E1E2E3的波函數(shù)。解：根據(jù)上述公式得 E =(口)2 E1 +(，工)2巳+([1)2匕=[三

46、十1E2+2E33.動能算符用于解釋 ,3 ：2 6 3 2 6 原子不塌縮”之謎 可以根據(jù)動能算符和求平均值的公式來說明原子為什么能夠存在。 假設(shè)原子核外任一電子的歸一化波函數(shù)為 則動能的平均值為： h2 Ekin =即* &dT=-口出* ▽卻dT在一維情況下，由分部積分法可以求出: 8 二 m V 到: a?中 “- *(——廣； 一 x )dx = p *d(--) 二二 x dx = -「| fx fx 二 二：七 * 三 |2dx x 根據(jù)上面兩式，可得 一2 Ekin = Q ( 2m . 2 ）dT用上式可以解釋原子 不塌縮”

47、之謎：在原子 核附近，波函數(shù)隨空間坐標(biāo)的變化很大，這時電子動能的平均值很大，即當(dāng)電子靠近原子核 時，動能的平均值很大，能產(chǎn)生足夠的離心力用以抗衡原子核對它的吸引力 ，從而使電子不 會被吸到原子核上，能夠穩(wěn)定存在。本節(jié)需要掌握的知識 1.概念 2.理論 3.計算 本節(jié)作業(yè) 算符，本征方程，本征函數(shù)，本征值，力學(xué)量的平均值 坐標(biāo)表象中力學(xué)量算符的寫法. 求任意狀態(tài)下力學(xué)量的平均值. 1.課下自己思考:p144,第6,7兩題; 2.將第26, 29, 30題做到作業(yè)本上。 5氫原子與類氫離子的定態(tài) 薛定調(diào)方程及其解1.氫原子與類氫離子的 定態(tài)薛定調(diào)方程 2 Ze2 4二

48、0r 氫原子是個兩粒子體系，具哈密頓算符為： C 一2 c 一2 H? N — 2M N 2m 因此其薛定川方程可以為： H? ={- -2 -2 ——V 2M ——v 2m 2 Ze2 (1-43) 要求解該體系的薛定額方程，可將兩粒子運動問題約化成整個質(zhì)心的平動及兩粒子之間的 相對運動（見賴文著，寧世光等譯？量子化學(xué)？p108.）,兩粒子之間相對運動所對應(yīng)的方程為： -2 (--> 1 2」 2 Ze2 4二；0r 尸: E1- (1-44) ■2 -2 -2 - 2 y 2 即：{-/(， ， ，)-, }1 (x,y,z)=E -

49、 (x,y,z) 2」：x ：y 二z 4 0r 上式中：N = Mm稱為約化(折合)質(zhì)量,r=Jx2+y2+z2。 M m (1-45) 2.氫原子與類氫離子的定態(tài) 薛定調(diào)方程的球極坐標(biāo)表達式  球極坐標(biāo)及其與直角坐標(biāo)的關(guān)系: x =rsinicos y = r sin【sin z = r cosi 2 2 2 r = x y - z d = r2 sin「drd id 0 < r ::二，0 <： 1 :二二，0 _ _ 2二 0 * X 圖1-11球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)圖示 z p (x,y,z) (r”，) (x,y) 在球坐標(biāo)中拉普拉斯算符為:

50、 1 ： 2 ： 1 . - 2 (r —) -2 (sin【 ) r 升 ；:r r sin ： r2sin* ； 2 球坐標(biāo)中氫原子及類氫離子 的薛定川方程為: 4 Ci Ci A Ci 口 1 . 2 - 1 {——(r T) ■ (sinT) r 二r 二r r sin「二 ？ r2sin2i ：： 2 十能(E+嚴泮=0 4 二；0r (1-46) 3.基態(tài)的解 對于基態(tài)，氫原子和類氫離子波函數(shù)中應(yīng)該是球?qū)ΨQ的 詈=。,詈=。其對應(yīng)的薛定謬方程為: d21- 2 dl 2」 : :-2 (E r dr Ze ,與角度無關(guān)，即： 2 d

51、r2 4二；0r )：二0 用試探波函數(shù)甲=Ne3可以求得最簡單特解。 思考:特解為什么是該形式？ 將波函數(shù)代入方程求%N的值，得到： Z 0h2 -= ,a0 2 = 52.9pm a0 二 me 同時求得波函數(shù)和能量為： 微分方程 Zr =Ne-a0 ，歸-化后:fge I - a0 L -7 2 e E = -Z 2 2 8；h 分離變量法 Zr a0 Z 2 2 (e 戶「13.6Z2(eV) 2 4 二；0a0 4.將偏微分方程化為常 般來說，偏微分方程化為常微分方程后才能求解。令： W(r”,*) =R(r)Y(8,*) = R

52、(r)?⑼牛肉 代入薛定詩方程(1-46)式,先將徑向部 ,分別移到方程的兩邊。這樣該方程兩邊應(yīng)等于同一個常數(shù)。 然后在將角度部分分離成只含一個變量的兩個常微分方程 ，就將偏微分方程分離成了三個 常微分方程。 三個方程分別為： 2 1 d , 2 dR、 r2」.Ze 、 k 徑向（r為自變重）方程： r一（r 一）+[k（+ ）_:]R = 0 r dr dr 4二；0r r 變量為0方程：工3（sin 2二。+ k。= 0變量為$方程:g? + m29 = 0常數(shù) sin id di sin r d k和m2是分離變量過程中引入的常數(shù)。類氫離子波函數(shù)的歸一化問題 ：

53、 」(r,u, ) =R(r) 0(f)。() 二歸一■化表達式為： |1- |2d . = |R(r)。([)。()fr2sinWrdud 2 二 2 二 . 2 二 _ 2 2 =0 卜：，()|2d .0|O(Q2sinW>0 |R(r)|2r2dr=1 上式可以變成三個表達式： 5.①⑴方程的解: 2 1 4 0 TM) 12 d =1 JI 0 |。(1) |2 sinid i -1 二二 2 2 0 |R(r)|2 r2dr =1 d 2 fB ①（可方程是：* + m2①=0 d 求解該方程的條件：邊界條件？無；合格波函數(shù)的條件：單值？有;連續(xù),有限

54、？ 該方程是二階常系數(shù)微分方程，根據(jù)微分方程理論，求得方程的解為：①mY） = AeimR式 中 A 是歸一化系數(shù)，如何求得？ 歸一化求 A : ^Xmd* =(限％5%而加=1,求得: A= 1 , %( )= 1 4 2二 ％ 2二 m=?根據(jù)單值性條件得出，m=0, 1, 2, ①⑼的復(fù)函數(shù)形式組合成實函數(shù)的問題： 1 =-/=cosm 5 1 T^sinm仲6. 0 (日)方程的解： "V JI ⑼方程為： 1 d sin - d - .dO m2 一 一 (sin -7) - 2 。 k。- 0 d” sin2i 這是一個連屬勒讓德方程，

55、需要用級數(shù)法解 有限（級數(shù)解要收斂）。 要得到收斂結(jié)果，無窮級數(shù)需變成多項式 求解條件：邊界條件？無;合格波函數(shù)條件： 即在某項后截斷，這要求：k=l（l+1）, l取 0,1,2, ?…,??并且l》|m|,即m=0, 1,…匕。土這樣可求得。(日)方程的解具體形式。用導(dǎo)數(shù)表示 的連屬勒讓德函數(shù)的形式為： 一 |m| . _ 2l 1 G：，l,mC) =C Pl (cosu),C =[ 2 (l-|m|)! (l |m|)! mi 1 2 mi Pl (cosu ) =21 J1-cos u) d l |m| dcosJm1 1 ]2是歸一化常數(shù) 練習(xí)題:

56、 (cos2 1-1)l 推出l=2, m=1和m =- 1的0 (句函數(shù)形式。解: 2l 1 (l — |m I)!112 mi,.、 - Gl m(^)式 ]2 Pl (cosu) 2 (l |m|)! Pl 。2,1 ⑴=/,()=[ 2 2 1 (2 -1)! 5— —(1 -cos2 8)% 12 22 2! ,15 sin [ cos] 4 (2 1)! 3 d cosi3 1c 1 ]2 P2(cosu) (cos2? -1)2 7. R(r)方程的解： 2 R(r)方程為：丁d(r2dR)+[蕓(E+-Ze-)-J1)]R

57、 = 0這是一個連屬拉蓋爾方程，也 r2 dr dr 2 4二；0r r2 需要用級數(shù)法解。 求解條件：邊界條件？無；合格波函數(shù)條件：有限(級數(shù)要有收斂的解)。要得到收斂結(jié)果， 無窮級數(shù)需變成多項式，即在某項后截斷，這要求(能量為負值時)： 」e4 Z2 1 e2 Z2 E 二一 n 2.2 2 8 0h n 2(4 二;0a0)n2 ,n = 1,2,3,……上式中的n為主量子數(shù)，取從1開 始的正整數(shù)，并要求n才+1,即l的取值為:l=0,1,  n-1)o 決定類氫離子能量大小的因素： ①與折合質(zhì)量 m成正比；②與核電荷數(shù)的平方Z2成正比; ③與主量子

58、數(shù)的平方n2成反比。 求得R(r)方程的解具體形式 為: 1 2Z 3 (n -l -1)! Rn,l(r)T(——) 3}2 na0 2n[(n l)!] ,2l 1 其中Ln；(P)=科.[e~ .Zr/na0 e ①l JI% ()Ln l ( ) na0 na0 dn l dDnl (e ：』)] L：? ( P)也可表示成一個多項式 形式: Zr ? Zr ? 1 ... Zr n」 Rn,i(r)={c[( ) c2( ) ■ cn_l( ) } e a0 a0 a0 ■Z- n-k 7 na0 \ / Zr \ l i -1 =

59、ci () i =1 a0 Zr na0 e 求解得到氫原子和類氫離子的完全波函數(shù) n-l- 為: 一 Zr (r,e,G) =Rn,i(r)，Q,m(9)①m($) = c{乙 G(一) Zr Li 4 na0 e }Pim(cos「)eim i =1 a0 例題：電子偶素是有一個電子束縛到一個正電子上構(gòu)成的一個體系 ，試計算它的基態(tài)能 量及第一激發(fā)態(tài)的電離勢(用eV表示) 解：這也是一個類氫離子問題，Z =1,注意：對氫原子N m(電子質(zhì)量)，但對電子偶素 m=m/2,故基態(tài)能量 E=H/2= —6.8eV,第一激發(fā)態(tài)的電離勢=6.8/4=1.7e

60、V。本節(jié)需要掌握的 1 .概念：類氫離子，球坐標(biāo)，折合質(zhì)量，分離變量法 2 .需要掌握：類氫離子哈密頓算符的寫法，球坐標(biāo)中波函數(shù)的歸一化，類氫離子薛定川 方程求解的思路及量子數(shù)引入的問題 3 .計算：能根據(jù)類氫離子能量表達式進行計算。 本節(jié)作業(yè)：第34, 37題做到作業(yè)本上。 6氫原子與類氫離子的解的討論 1.量子數(shù)求解氫原子的薛定川方程, 數(shù)決定著一個具體的波函數(shù)，即一個狀態(tài)； 這三個量子數(shù)的取值范圍如下： 引進了三個量子數(shù)，分別是 n、1、m。三個量子 只要n、1、m中有一個不同，就處于不同的狀態(tài)。 …n=1, n =1,2,3, ? e .. .，八

61、 -=- M = —1 (1 2m e 1)2m = - 1(1 1) n=1,2, 3, 1= 0, 1,2, < m=0,七方 H (a)主量子數(shù)n 、 決定能量En E _ _ ee Z2 _ 1 ( e2 )Z2 n 8 2h2 n2 2 4二；0a0 n2 決定能級的簡并度，即能量相等的狀態(tài)數(shù)。對n 一定的狀態(tài)，簡并度 為:g = (21 +1)=1 +3+5+…+(2-1) = (1+2?1) n=n2另外，它還決定著波函數(shù)的總節(jié)面 l =0 2 數(shù)。(b)角量子數(shù)l 與光譜對應(yīng)的符號：1=0, 1, 2, 3,……s, p, d, f,……它

62、決定軌道的形狀及角 動量的大小。因為： M?2 =M?2R(r)YQ, ) =R(r)M?2Y(u,尸R(r) 1(1 1)一2丫。) = 1(1 1) 2R(r)Y(u, ) -1(1 1) 2- 所以，軌道角動量為：M = J(1 +1蘆 同時角量子數(shù)1還決定著軌道磁矩的大小 上式中，”是角動量的單位，稱為玻爾磁子。 (c)磁量子數(shù)m 決定著角動量在磁場方向上(一般取 Z 軸)的大 因為 M\Wn1m =?5{%(「)劭m)⑦mT)} = Rn1(r)1m(8){-溥《(白 e)} ?。?2二 =m和n1m,所以 MZ=m" m = 0,1,2, ，土1 △E = _Nh

63、 H =_（—上 m與H =m%H這就導(dǎo)致了原子光譜中的 塞曼效應(yīng)”。 2me 例如氫原子3P + 2s的躍遷，如下圖所示: 單電子 外磁場后 應(yīng)不思 未加外磁場前只有一條譜線 原來的一條譜線分裂為三條 圖1-13塞曼效 圖 原子體系中三個常用的本征方程: H?\lm(r,『) =En\m(r,；), En = ,-,2 4 」Z e 2r~2 2~2 8 ；0 h n -,2 : Z e 8 二；0a0n2 Z2 --13.6—(eV) n 58 M?”nlm(r,U, )=1(1 1)々 nlm(r”，) M?z- nim(「，)=mFn

64、m(r〃，) 2 .波函數(shù)的特點： 節(jié)面：r為某一數(shù)值時（但「W0 和r w 00除外），R（r）=0,從而使波函數(shù) =R（r）0 1 從而3波函數(shù) =R（r）O 節(jié)面的數(shù)目及形狀 徑向節(jié)面的數(shù)目 這樣的節(jié)面稱為徑向節(jié)面。日巾為某一數(shù)值時，o日中 日小 這樣的節(jié)面稱為角度節(jié)面。 （實波函數(shù)形式）： n上 Rn,l(LG(廣 i 1 a0 Zr e na0 0 J (g 02r ■■ 「Cnj Zr n -k-1 na0 )e 根據(jù)上式可知，應(yīng)該有n-l-1個徑向節(jié)面。兩個節(jié)面之間應(yīng)該有一個極值點，因此應(yīng)該有n-l 個徑向極值點。這里需要注意，對于S態(tài)l=0,

65、r=0時就是一個徑向極值點。 徑向節(jié)面的形狀 r=c時，在三維空間作圖是一個球面，因此任何徑向節(jié)面的形狀都是球面。 角度節(jié)面的數(shù)目及形狀（實波函數(shù)形式）： 與小有關(guān)的節(jié)面：|m|個，形狀是平面；與8有關(guān)的節(jié)面：l-|m|個，形狀是圓錐面（但當(dāng)H 5/2 是平面）。因此，角度節(jié)面的總數(shù)是l個。 Y2 Px (") = \i,sinecos 有1個節(jié)面, 如2p三個軌道角度部分為：Y2Py（e,@）=，端sine sine 有1個節(jié)面, yz面 有1個節(jié)面, xy平面

66、 節(jié)面與能量之關(guān)系：波函數(shù)的總節(jié)面數(shù)越多，能量越高! 3 .實波函數(shù)和復(fù)波函數(shù) 由于63)方程的解，既可以是實函數(shù)形式又可以是復(fù)函數(shù)形式,故中二R(r)O(6)力仲)也有 實波函數(shù)和復(fù)波函數(shù)兩種形式. 注意復(fù)波函數(shù)一般在軌道符號的右下腳寫上磁量子數(shù) m的數(shù)字，如2p0、2P-1、2p1等；而 實波函數(shù)在右下角上注明直角坐標(biāo)的記號,如2Px、3dxy等，這些直角坐標(biāo)符號代表波函數(shù) 的極值所在的方向。 實波函數(shù)與復(fù)波函數(shù)的關(guān)系： 實波函數(shù)是復(fù)波函數(shù)線性組合得到的，實際上只是中心)的線性組合。如: 1 3 . -2px =R2,1(D01,1C) tGi t」)= R2,1(r)「——sin^cos 、2 , 4 二 -i 3 . 2py = R2,1( r )r--；，1,1(7l) ( q1 - P = R2,1(r 晨—sin ^sin y 2 . 4二 干2Pz = R2,1(r)01,0(8) ■^^el0=R2,1(r)iEcose