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1、17. 1 一元二次方程 學(xué)習(xí)目標(biāo) 知識(shí)與技能： 1 .了解一元二次方程及相關(guān)概念 2 .應(yīng)用一元二次方程的概念解決一些簡(jiǎn)單題目 過(guò)程與方法： 在探索問(wèn)題的過(guò)程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一種模型，體會(huì)方程與實(shí)際生活的 聯(lián)系。 情感態(tài)度與價(jià)值觀： 通過(guò)豐富的實(shí)例，讓學(xué)生合作探討，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力，建立數(shù)學(xué)模型并通過(guò)數(shù)學(xué) 模型自己總結(jié)一元二次方程的定義，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)和數(shù)學(xué)建模的能力。 教學(xué)過(guò)程 一、情境導(dǎo)入 問(wèn)題：一個(gè)面積為120m2的矩形苗圃，它的長(zhǎng)比寬多 2m,苗圃的長(zhǎng)和寬各是多少? 設(shè)苗圃的寬為xm,則長(zhǎng)為（x+2）m. 根據(jù)題意，得x（x+2）

2、= 120. 所列方程是否為一元一次方程？（回憶：一元一次方程的定義） （給出定義：這個(gè)方程便是即將學(xué)習(xí)的一元二次方程. ） 二、合作探究 探究點(diǎn)一：一元二次方程的概念 ［類型一元二次方程的識(shí)別 國(guó) 下列方程中，是一元二次方程的是 （填入序號(hào)即可）. ①y"-y=0;②2x2-x- 3=0;③4=3; 4 x ④ x2=2+3x;⑤ x3 —x+ 4=0;⑥ t2=2; ⑦x2+3x —3=0;⑧迎一x =2. 解析：由一元二次方程的定義知 ③⑤⑦⑧不是.答案為 ①②④⑥. 方法總結(jié)：判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再對(duì)它 進(jìn)行整理，若能

3、整理為 ax2+bx+c= 0（a, b, c為常數(shù)，aw0）的形式，則這個(gè)方程就是一元 二次方程. 變式訓(xùn)練：課本21頁(yè)第1題 ［類型二］根據(jù)一元二次方程的概念求字母的值 112 (1)ax2 — x= 2x2 — ax— 3; (2)(a — 1)xa| 1+ 2x— 7= 0. 解析：(1)將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，得 (a—2)x2+(a—1)x+ 3=0,當(dāng)a-2^0,即a^2 時(shí)，原方程是一■兀—■次方程； (2)由|a|+1=2,且a—1W0知，當(dāng)a=— 1時(shí)，原方程是一■兀 二次方程. 解：(1)將方程整理得(a—2)x2+(a—1)x+3=0,=a —2W0,

4、，aw2.當(dāng) aw2 時(shí)，原方程 為一元二次方程； (2),「|a|+1 = 2,，a= .當(dāng) a= 1 時(shí)，a— 1 = 0,不合題意，舍去.，當(dāng) a = — 1 時(shí)，原 方程為一元二次方程. 方法總結(jié)：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于 2, 列出關(guān)于某個(gè)字母的方程，再排除使二次項(xiàng)系數(shù)等于 0的字母的值. 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 2題 ［類型三］一元二次方程的一般形式 把下列方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程的一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和 常數(shù)項(xiàng). (1)x(x— 2) = 4x2—3x; x+ 1 -x- 1 (

5、3)關(guān)于 x 的方程 mx2-nx+ mx+ nx2= q — p(m+nw 0). 解析：首先對(duì)上述三個(gè)方程進(jìn)行整理， 通過(guò)“去分母” “去括號(hào)” “移項(xiàng)” “合并同類 項(xiàng)”等步驟將它們化為一般形式，再分別指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng). 解：(1)去括號(hào)，得x2- 2x= 4x2—3x.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 3x2-x= 0.二次項(xiàng)系數(shù)為3, 一次項(xiàng)系數(shù)為一1,常數(shù)項(xiàng)為0; (2)去分母，得 2x2—3(x+ 1)=3(-x-1).去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 2x2=0.二次 項(xiàng)系數(shù)為2, 一次項(xiàng)系數(shù)為0,常數(shù)項(xiàng)為0; (3)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 (m + n)x2+(m—

6、n)x+p —q= 0.二次項(xiàng)系數(shù)為 m+n, 一次項(xiàng)系 數(shù)為m-n,常數(shù)項(xiàng)為p-q. 方法總結(jié)：(1)在確定一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，首先把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一般形式， 如果在一般形式中二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，那么最好在方程左右兩邊同乘- 1,使二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)? 正數(shù)； (2)指出一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，一定要帶上前面的符號(hào)； (3)一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般形式后，若沒(méi)有出現(xiàn)一次項(xiàng) bx,則b=0;若沒(méi)有出現(xiàn)常數(shù) 項(xiàng)c,則c= 0. 變式訓(xùn)練：課本21頁(yè)第2題 探究點(diǎn)二：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立一元二次方程模型 [1 如圖，現(xiàn)有一張長(zhǎng)為 19cm,寬為 長(zhǎng)是多少的小正方形，才能將其做成底面

7、積為 15cm的長(zhǎng)方形紙片，需要在四個(gè)頂角處剪去邊 81cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒？請(qǐng)根據(jù)題意列出方 第3頁(yè)共3頁(yè) 程. 解析：小正方形的邊長(zhǎng)即為紙盒的高，中間虛線部分則為紙盒底面，設(shè)出未知數(shù)， 禾1J用 長(zhǎng)方形面積公式可列出方程. 解：設(shè)需要剪去的小正方形邊長(zhǎng)為 xcm ,則紙盒底面的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 (19- 2x)cm,寬為 (15 — 2x)cm. 根據(jù)題意，得(19 —2x)(15—2x) = 81.整理得 x2-17x+51 = 0(0

8、量之間的等量關(guān)系，正確地列出方程.在列出方程后，還應(yīng)根據(jù)實(shí)際需求， 注明自變量的取值范圍. 變式訓(xùn)練：課本21頁(yè)第3題 探究點(diǎn)三：一元二次方程的根 已知關(guān)于x的一元二次方程 x2+mx+3= 0的一個(gè)解是 x= 1,求m的值. 解析：將方程的解代入原方程，可使方程的左右兩邊相等.本題將 x=1代入原方程， 可得關(guān)于m的一元一次方程，解得 m的值即可. 解：根據(jù)方程的解的定義，將 x= 1代入原方程，得12 + mX 1 + 3=0,解得m = -4, 即m的值為一4. 方法總結(jié)：方程的根（解）一定滿足原方程，將根（解）的值代入原方程，即可得到關(guān)于未 知系數(shù)的方程，通過(guò)解方程可以求出未知系數(shù)的值，這種方法叫做根的定義法. 變式訓(xùn)練：課本21頁(yè)第4題 三.課堂小結(jié) 本節(jié)課你學(xué)到了什么？（學(xué)生回答，教師總結(jié)補(bǔ)充） 四.家庭作業(yè) 完成同步練習(xí)對(duì)應(yīng)練習(xí)